錯在哪里？

（一）

題目. 已知α是第三象限角，且sinα=-，則tan= .

解法1：因為α是第三象限角，且sinα=-，所以cosα=-=-，故tanα==，又tanα=，所以12tan2+7tan-12=0，解得tan=-，或tan=-.

解法2：因為sinα=2sincos===-，整理得12tan2+7tan-12=0，解得tan=-，或tan=-.

評注：兩法異曲同工，都得到了相同的答案，但這個結果是錯的！增解了！那么錯在哪里呢？該題的錯誤比較隱蔽，不易發現.

因為α是第三象限角，且sinα=-<-，所以+2kπ<α<+2kπ，得+kπ<<+kπ，k∈Z，所以-

解法3：因為α是第三象限角，且sinα=-，所以cosα=-=-，又cosα=2cos2-1，所以解得cos=±.由π+2kπ<α<+2kπ，得+kπ<<+kπ，k∈Z，所以是第二象限角或第四象限角.

當是第二象限角時，cos=-，sin==，所以tan==-；當是第四象限角時，cos=，sin==-，以tan==-.

綜上所述，tan=-.

解法4：因為α是第三象限角，且sinα=-，所以cosα=-=-，則tan====-.

解法5：因為α是第三象限角，且sinα=-，所以cosα=-=-，則tan====-.

評注：解法3是以角所在象限為標準分類討論求解，是一種基本解法；解法4、解法5利用同角三角基本關系式的商數關系，并靈活運用正弦、余弦的二倍角公式達到了輕松求解，是以三角基礎知識扎實掌握為基礎的靈活解法.

（二）

題目. 已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，且an+1=Sn（n，1，2，3，…），求通項an.

解法1：因為an+1=Sn……①，所以an=Sn-1……②，故an+1-an=Sn-Sn-1=an，得an+1=an……③，所以數列{an}是首項為1、公比為的等比數列，于是an=1×（）n-1=（）n-1.

評注：在上述解題過程中出現了好幾處錯誤的地方，由①式推得②式時，應該增加條件n≥2，所以得③式后也應該增加條件n≥2，于是數列{an}僅是從第二項開始的等比數列，而非第一項開始的等比數列；因為a2=S1=，所以an=×（）n-1……④，此處④式的指數n-1也是錯的！應該為n-2；在得到an=×（）n-2后還應該對n=1的情況進行驗證.

正解：因為an+1=Sn，所以an=Sn-1（n≥2），故an+1-an=Sn-Sn-1=an，得an+1=an（n≥2），所以數列{an}是從第二項開始的等比數列，且a2=S1=，故an=·（）n-2（n≥2）；當n=1時，a1=·（）1-2=≠1，所以an=1，n=1×（）n-2.n≥2

小結：由Sn求an時，要分n=1和n≥2兩種情況討論，然后驗證兩種情況可否用統一的解析式表示，若不能，則用分段函數的形式表示為an=a1，n=1Sn-Sn-1. n≥2一般已知條件含有an與Sn關系的數列題均可考慮上述關系，但并不一定非要化為通項an關系，化為前n項和Sn關系也可以.

另解：因為an+1=Sn+1-Sn=Sn，所以Sn+1=Sn，故數列{Sn}是首項為S1=a1=1、公比為的等比數列，于是Sn=1×（）n-1=（）n-1.當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（）n-1-（）n-2=×（）n-2；而n=1時，a1=×（）1-2=≠1，所以an=1，n=1×（）n-2.n≥2

小結：同樣的解題依據：利用數列通項an與前n項和Sn關系，不一樣的解題方法，告訴我們，只要肯認真鉆研，必定能打開解題的思路，得到一個比一個更優秀的解法.

（作者單位：浙江省紹興市越城區皋埠鎮中學）

責任編校 徐國堅