抽象函數的“合情推理”

【問題引入】對于任意的x∈N*都有f（x）∈N*，且f（x）滿足：f（n+1）>f（n），f（f（n））=3n，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=（ ）

A. 61 B. 62 C. 63 D. 64

【思維分析】通過題中給出的兩個條件：f（n+1）>f（n）和f（f（n））=3n，我們分析其中能得到f（x）的值的是第二個，∵x∈N*都有f（x）∈N*，我們不妨假設一下f（1）：若f（1）=1，則f（f（1））=f（1）=3，與已知顯然矛盾；若f（1）=2，則f（f（1））=f（2）=3，符合.

若f（1）=m（m≥3），則f（f（1））=f（m）=3，這與f（n+1）>f（n）矛盾，從而得出f（1）=2. ∵ f（1）=2，f（f（1））=f（2）=3，f（f（2））=f（3）=6，f（f（3））=f（6）=9，問題產生了，上面的推導過程中，從f（3）直接過渡到了f（6），那么f（4）和f（5）怎么處理？我們再讀一遍題目，就會發現：f（x）∈N*和f（n+1）>f（n）這兩個條件還沒有利用充分.細心考慮這兩個條件，其實這里隱藏了一個非常重要的關系：“一一對應”關系！

這時候由已經得到的f（3）=6和f（6）=9，找到f（4）=7，f（5）=8，從而進一步推出：f（f（4））=f（7）=12，f（f（5））=f（8）=15.到這里問題就完美解決了.

【詳細解答】∵x∈N*都有f（x）∈N*，我們不妨假

設一下f（1）：若f（1）=1，則f（f（1））=f（1）=3，與已知顯然矛盾；若f（1）=2，則f（f（1））=f（2）=3，符合；若f（1）=m（m≥3），則f（f（1））=f（m）=3，這與f（n+1）>f（n）矛盾，從而得出f（1）=2.

∵ f（1）=2，f（f（1））=f（2）=3，f（f（2））=f（3）=6，f（f（3））=f（6）=9，又f（x）∈N*和f（n+1）>f（n），則f（4）=7，f（5）=8，f（f（4））=f（7）=12，f（f（5））=f（8）=15， ∴ f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=62，故選B.

【總結反思】在解決這道題的時候，我們首先用了條件解讀中的“先猜后算”，得出了f（1）的取值，但最關鍵的一步還是通過條件發現了從f（3）到f（6）的一一對應關系.同時我們還應該注意到在做復合函數的時候要巧妙運用“合情推理”和來回地套用f（x）.

【變式延伸】對于任意的x∈N*都有f（x）∈N*，且f（x）滿足：f（n+1）>f（n），f（f（n））=3n，則f（3n）的解析式為 .

【簡析】令an=f（3n），則有f（an）=f（f（3n））=3·3n，即f（an）=3n+1，又an+1=f（3n+1），而f（3n+1）=f（f（an））=3an，∴f（3n+1）=3f（3n），∴ f（3n）是一個首項為6，公比為3的等比數列，則f（3n）=2·3n.

【跟蹤練習】函數f（x）的定義域為D，若對于任意x1，x2∈D ，當x1

【簡析】由f（）=？圯f（）=f（1），又f（1-x）+f（x）=1，令x=1，得f（1）=1，∴f（）=. 令x=，則f（）+f（）=1？圯f（）=，又∵f（x）在D上為非減函數， ∴x∈[，]時，f（x）=，又f（）=f（），而∈[，]，∴f（）=f（）=·=，∴f（）+f（）=.

（作者單位：湖南省安仁一中）

責任編校 徐國堅