2012年高考概率統計考點解讀

從2007-2012年廣東高考數學真題分析，可得出廣東高考數學對于概率統計考查的宗旨：保持將統計中用抽樣樣本估計總體的思想與概率的數理分析有機地結合進行考查.更為重視數據處理能力在問題解決中的反映，強調與統計案例相結合考查統計與概率思想.故我們在備考中應以數據處理能力為中心，抓基本方法與基本技能落實為主，如圖表的繪制與閱讀，基本量（如中位數、平均數、標準差等）的含義與意義.理科要關注超幾何分布、二項分布及其區別以及解答題中正態分布的可能.下面按照考試大綱及廣東省的考試說明對具體的概率統計考點進行解讀分析，供同學們復習時參考.

一、高考概率統計考點解讀

考點1. 隨機抽樣

【考綱要求】① 理解隨機抽樣的必要性和重要性. ② 會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統抽樣方法.

【考綱解讀】考綱中對“分層抽樣和系統抽樣”的要求是“了解”，但是分層抽樣一直是高考試題中的一個重要考點，因此要熟練應用.

【例1】某校共有學生2000名，各年級男、女生人數如下表.已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到二年級女生的概率是0.19.現用分層抽樣的方法在全校抽取64名學生，則應在三年級抽取的學生人數為（ ）

A. 24 B. 18 C. 16 D. 12

【分析】根據分層抽樣的意義，將總體分成幾個部分，然后按各部分所占的比例進行抽樣，因此本題可以根據抽樣比，得到所要抽取的人數.

【解析】依題意我們知道二年級的女生有380人，那么三年級的學生的人數應該是500，即總體中各個年級的人數比例為3∶3∶2，故在分層抽樣中應在三年級抽取的學生人數為64×=16，故答案選C.

【例2】某單位200名職工的年齡分布情況如圖1，現要從中抽取40名職工作樣本，用系統抽樣法，將全體職工隨機按1-200編號，并按編號順序平均分為40組（1-5號，6-10號，…，196-200號）.若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應是 ；若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應抽取 人.

【分析】由系統抽樣的意義知，它是一種等距抽樣，確定初始號碼后，樣本的編號組成等差數列.

【解析】由分組可知，抽號的間隔為5，又因為第5組抽出的號碼為22，所以第6組抽出的號碼為27，第7組抽出的號碼為32，第8組抽出的號碼為37. 40歲以下年齡段的職工數為200×0.5=100，則應抽取的人數為×100=20人.答案分別為37，20.

【命題趨勢】預計2013年高考主要仍以應用題為背景，題型以選擇題、填空題為主，也有可能是解答題的第（1）問，主要考查簡單隨機抽樣、分層抽樣、系統抽樣的計算以及這三種抽樣的區別，由于分層抽樣是熱點，故備受命題者青睞.

考點2. 用樣本估計總體

【考綱要求】① 了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點.② 理解樣本數據標準差的意義和作用，會計算數據標準差. ③ 能從樣本數據中提取基本的數字特征（如平均數、標準差），并給出合理的解釋. ④ 會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征，理解用樣本估計總體的思想. ⑤ 會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.

【考綱解讀】考綱中明確要求考生要“會收集、整理、分析數據，能從大量數據中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷.數據處理能力主要依據統計或統計案例中的方法對數據進行整理、分析，并解決給定的實際問題”，根據歷年廣東高考數學試題，考試對對樣本估計總體的要求已經提升到能力的高度.

【例3】調查某市教師10000人的平均月薪（單位：元），其頻率分布直方圖如圖2所示，則估計教師平均月薪在（2700，3000]的人數為__________.

【分析】由頻率分布直方圖可知，小矩形的面積即為數據落在區間范圍內的頻率，又因為頻數=樣本容量×頻率，所以可得相應區間范圍內的頻數.

【解析】教師月薪在（2700，3000]的頻率為0.001×300=0.3，則教師平均月薪在（2700，3000]的人數為10000×0.3=3000.

【例4】為了調查高一學生物理學習情況，抽查甲、乙兩位學生5次物理測驗成績（100分制），用莖葉圖記錄如圖3：

（1）求甲、乙兩人物理成績的中位數；

（2）從統計學的角度，對兩位學生的物理成績作出你的評價.

【分析】第（1）問識別莖葉圖，中間的數（莖）表示分數的十位數，旁邊的數（頁）分別表示兩個人得分的個位數，再將分數從小到大排列，因為個數是奇數，中位數是中間的數，第（2）問可以通過樣本的平均數、方差的計算，然后根據這兩個特征數的意義寫出結論.

【解析】（1）由莖葉圖可知甲乙的成績如下：

甲 79 82 82 87 95

乙 75 80 85 90 95

從而可知，甲的中位數為82，乙的中位數為85.

（2）甲乙兩個學生的物理平均成績相同，但甲的成績比較穩定.理由如下：

甲=（70×1+80×3+90×1+9+2+2+7+5）=85，

乙=（70×1+80×2+90×2+5+0+5+0+5）=85，

=[（79-85）2+（82-85）2+（82-85）2+（87-85）2+（95-85）2]=31.6，

=[（75-85）2+（80-85）2+（85-85）2+（90-85）2+（95-85）2]=50.

∵甲=乙，<，

∴甲乙的平均分相等，但甲的成績比較穩定.

【命題趨勢】用樣本估計總體部分內容涉及知識點較多，概念性的內容也較多，但從高考的實際來看，這部分內容是統計考查的重心.預計2013年高考考查頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數、方差、標準差為主，同時考查對樣本估計總體思想的理解.高考題型多以選擇題和填空題的形式出現，有時也會有解答題，但難度不大.

考點3. 變量的相關性、統計案例

【考綱要求】變量的相關性：① 會作兩個有關聯變量的數據的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系. ② 了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程. 統計案例：了解下列一些常見的統計方法，并能應用這些方法解決一些實際問題.① 獨立檢驗：了解獨立性檢驗（只要求2×2列聯表）的基本思想、方法及其簡單應用.② 回歸分析：了解回歸的基本思想、方法及其簡單應用.

【考綱解讀】考綱中對“變量的相關性”要求來看，有兩個“會”、一個“了解”、一個“能”，是一個完整的作散點圖、求回歸方程，并給出回歸分析的統計過程，試題常體會在“會”、“能”兩個要求上，不要求記憶線性回歸方程系數公式，廣東2007年及2011年的線性回歸方程高考題作出了很好的示范.而對于統計案例，不要求記憶獨立性檢驗隨機變量K2值的計算公式，能根據公式計算結果給出獨立性檢驗結論即可.

【例5】某數學老師身高176 cm，他爺爺、父親、兒子的身高分別是173 cm、170 cm和182 cm，因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高是________cm.

【分析】用父親的身高來預測兒子的身高，可把父親的身高和兒子的身高看做變量，求出回歸直線方程，再進行預測.

【解析】設父親的身高為x，兒子的身高為y，則有（173，170）、（170，176）、（176，182）、（182，y0）（y0是題中所求的值）.利用（173，170）、（170，176）、（176，182）求回歸方程，再利用（182，y0）求y0.由=173，=176，=

==1，=-=176-173=3，得回歸方程為=x+3，則y0=182+3=185.

【例6】第三十屆夏季奧林匹克運動會（2012年倫敦奧運會）引發國內對體育運動的熱烈討論，某網站對16名男網友和14名女網友進行運動愛好調查.調查發現，男、女網友中是否喜愛運動的人數如下表.

根據上述列聯表的數據，在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下，可以得出結論：

參考公式：K2=，其中n=a+b+c+d.

獨立性檢驗值表：

【分析】將給出的數據代入公式K2=，計算出結果后由獨立性檢驗表即可寫出結論.

【解析】假設是否喜愛運動與性別無關，由已知數據可求得：

K2=≈1.1575<2.706.

因此，在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下不能判斷喜愛運動與性別有關.

【命題趨勢】廣東高考題在2007、2010（文）、2011三年都考查了線性回歸方程，說明其受到命題組的高度重視，2010文科對于獨立性檢驗以從表中數據直觀分析收看新聞節目的觀眾是否與年齡有關，沒有涉及到公式計算.參看其它新課標地區，由于高考對于文科考生的概率知識要求降低，必然加大對統計知識的考查力度，目的是提高考生的統計判斷能力，解決實際問題，預計2013年高考如果考查統計案例，會通過2×2列聯表進行考查.

考點4. 隨機事件的概率與古典概型

【考綱要求】 ① 了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區別.② 了解兩個互斥事件的概率加法公式.③ 理解古典概型及其概率計算公式.④會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率.

【考綱解讀】考綱對隨機事件的概率要求均為“了解”為主，古典概型中則一個“理解”，一個“會”，其中的互斥事件的概率加法公式成為概率考查的縱深表現.頻率與概率的區別與聯系是基礎，古典概型的概率計算是核心，文科生對于事件概率的獲得均是以列舉法描述發生事件和基本事件的比來獲取的，而理科生則側重于與排列組合、隨機變量的分布列與數學期望等知識進行綜合考查.

【例7】（2012年高考江蘇）現有10個數，它們能構成一個以1為首項，-3為公比的等比數列，若從這10個數中隨機抽取一個數，則它小于8的概率是 .

【分析】先利用等比數列通項公式將10個數列舉出來，求出其中小于8的數的個數，然后由隨機事件的概率的公式求出“隨機抽取一個數小于8”的概率.

【解析】∵以1為首項，-3為公比的等比數列的10個數為1，-3，9，-27，…其中有5個負數，1個正數1，共6個數小于8， ∴從這10個數中隨機抽取一個數，它小于8的概率是=.

【例8】（2012年高考廣東理）從個位數與十位數之和為奇數的兩位數中任取一個，其個位數為0的概率是（ ）

A. B. C. D.

【分析】本題考古典概型，可以利用排列組合知識求出基本事件數，然后算出“個位數為0”發生的事件數，代入古典概型公式求出概率.

【解析】設個位數與十位數之和為奇數的兩位數分別為m，n，則m+n=2k-1（k可取1、2、3、4、5、6、7、8、9）.由m+n為奇數，得m，n必須一個為奇數且另一個為偶數. m為奇數且n為偶數的兩位數有 ×=20個；m為偶數且n為奇數的兩位數有×=25個. 個位數與十位數之和為奇數的兩位數共有25+20=45（個）.其中個位數是0、十位數為奇數的兩位數有：10、30、50、70、90，共5個，故所求的概率是=.答案選D.

考點5. 隨機數與幾何概型

【考綱要求】 ① 了解隨機數的意義，能運用模擬方法估計概率. ② 了解幾何概型的意義.

【考綱解讀】考綱要求“了解隨機數的意義，了解幾何概型的意義”，所以應在了解的基礎上，還要理解，會運用模擬方法估計概率，會解決一些幾何概型的求解問題.由于幾何概型具有無限性和等可能性這兩個特點，因此幾何概型的求解與古典概型的求解思路是一樣的，都屬于比例解法.

【例9】設函數y=f（x）在區間[0，1]上的圖像是連續不斷的一條曲線，且恒有0≤f（x）≤1，可以用隨機模擬方法近似計算由曲線y=f（x）及直線x=0，x=1，y=0所圍成部分的面積S.先產生兩組（每組N個）區間[0，1]上的均勻隨機數x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N個點（xi，yi）（i=1，2，…，N）.再數出其中滿足yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的點數N1，那么由隨機模擬方法可得S的近似值為 .

【分析】本題涉及的基本知識點包括：幾何概型、隨機模擬法及二者之間的關系.由題意，兩者所得到的概率相等可以得到S的近似值.

【解析】如圖所示，根據已知題設，設函數f（x）、直線x=0，x=1及x軸所圍成的陰影面積S的近似值為S′.設對應正方形的面積為1，根據幾何概型，隨機點落在陰影部分的概率是P==S′；而由隨機模擬法求得的隨機點落在陰影部分的概率P′=，∵P=P′，∴S′=，故由隨機模擬方法可得的近似值為.

【例10】（2012年高考北京理）設不等式組0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面區域為D.在區域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是（ ）

A. B. C. D.

【分析】本小題是一道綜合題，它涉及到的知識包括：線性規劃，圓的概念和面積公式，幾何概型（事件區域的度量為面積）.

【解析】題目中0≤x≤2，0≤y≤2表示的區域表示正方形區域，而動點D可以存在的位置為正方形面積減去四分之一的圓的面積部分，因此P==，故選D .

【命題趨勢】隨機數與幾何概型在2007-2012年廣東高考題沒有出現過，考慮到其他新課標地區已經考查過，而且廣東對于冷門知識點會突擊考查，故也要重視，重點復習幾何概型的求值問題.

考點6. （理科）概率

【考綱要求】① 理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現象的重要性.② 理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用.③ 了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，能理解n次獨立重復實驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題.④ 理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題.⑤ 利用實際問題的直方圖，了解正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

【考綱解讀】理科的概率要求顯然是從隨機變量及其分布列著手的，即從統計分布的角度進入的.從知識要求層次“理解”的角度來看，重點應該關注隨機變量及其分布列、超幾何分布、二項分布（含n次獨立重復實驗的模型），“會”計算離散型隨機變量均值、方差，并在上述基礎上解決簡單的實際問題，考查閱讀分析、運用數學知識解決問題的能力.

【例11】已知隨機變量x服從正態分布N（3，1），且P（2≤x≤4）=0.6826，則P（x>4）=（ ）

A. 0.1588 B. 0.1587 C. 0.1586 D. 0.1585

【分析】考查正態分布的符號含義及圖像的對稱意義.

【解析】由于？滋=3，所以2，4關于3對稱，由正態分布曲線對稱性可知P（x>4）=P（x<2），所以P（x>4）=-P（3≤x≤4）=-0.3413=0.1587，故答案選B.

【說明】正態分布的問題的考查無非是符號本身的認識以及圖像的了解.本題的設計仍然是基于考綱中的了解要求.對于考生而言，關鍵是了解每一個符號的含義及其在圖像中的反映.

啟示：該題是2010年廣東高考題，在以后的復習中要注意正態分布的基礎知識的復習！

【例12】某班從6名班干部（其中男生4人，女生2人）中選3人參加學校青年志愿者的競選.在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率.

【分析】本題主要考查條件概率的計算，根據條件概率的計算公式P（B|A）=，確定好事件，分別計算P（AB）、P（A）即可獲解.

【解析】設“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，則P（A）==，P（AB）==， ∴P（B|A）==.故在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為.

【例13】某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上40件產品作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量的分組區間為（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖4所示.

（1）根據頻率分布直方圖，求重量超過505克的產品數量.

（2）在上述抽取的40件產品中任取2件，設Y為重量超過505克的產品數量，求Y的分布列.

（3）從流水線上任取5件產品，求恰有2件產品的重量超過505克的概率.

【分析】本題主要考查頻率分布直方圖、超幾何分布、二項分布等知識，考查或然與必然的數學思想方法以及數據處理能力、運算求解能力和應用意識.

【解析】（1）解1：根據頻率分布直方圖可知，重量超過505克的產品數量為（0.01+0.05）×5×40=12（件）.

解2：根據頻率分布直方圖可知，重量超過505克的產品所占頻率為（0.01+0.05）×5=0.3.因此，重量超過505克的產品數量為0.3×40=12（件）.

解3：根據頻率分布直方圖可知，重量在區間（505，510]的頻率為0.05×5=0.25，

重量在區間（505，510]的數量為0.25×40=10（件）.

重量在區間（510，515]的頻率為0.01×5=0.05，

重量在區間（510，515]的數量為0.05×40=2（件）.

因此，重量超過505克的產品數量為 10+2=12（件）.

（2）Y的可能取值為0，1，2.

P（Y=0）==；P（Y=1）==；P（Y=2）==.

Y的分布列為：

（3）利用樣本估計總體，該流水線上產品重量超過505克的概率為0.3.

令？孜為任取的5件產品中重量超過505克的產品數量，則？孜～B（5，0.3），故所求概率為P（？孜=2）=（0.3）2（0.7）3=0.3087.

【說明】本題是2010年廣東高考理科數學概率統計解答題，屬于數據處理能力考查下的典型問題（2011、2012年廣東高考理科概率統計的解答題都與此題類似），涉及到圖表信息獲取，文字閱讀理解等文字類應用問題常見的處理方式.本題最大的特色便是綜合考查了超幾何分布和二項分布，但不足也在此，過于追求全面而導致問題設計沒有必要的深度.本題全省平均分7.92.難度反映在對于二項分布的理解，事實上，連續兩年對二項分布都有考查，這一點不得不加以關注.啟示：概率統計的題型幾乎年年是高考的“常客”，每年以不同的新的背景出現，要重視概率統計的學習掌握，關鍵是要加強閱讀理解能力、分析解決問題能力、數學轉化能力等，這種類型是屬于中等類型，要注意加強表達的規范！

【命題趨勢】理科的概率選擇填空題主要考查單個知識點，如古典概型等；解答題一般以統計為背景，綜合考查離散型隨機變量的分布列、均值與方差等，充分體現數學的應用價值.

二、2013年高考概率統計備考的建議

通過對考綱中概率統計部分的解讀及廣東高考真題的研究，我們可以發現廣東高考題對于概率統計的考查具備廣東的特色：命題形式特征和內容穩定，內容覆蓋全面，難度是中等.試題通常是對常見問題進行改編，通過對基礎知識的整合、變式和拓展.如分層抽樣、頻率分布直方圖，只要考生熟練掌握通性通法，就能從多角度去解決問題.同時要關注知識交匯，如頻率分布直方圖與古典概型的交匯、莖葉圖與方差的交匯、統計與算法框圖的交匯等.因此我們在備考時，要針對考綱對概率統計部分的每一個知識點切實落實，不能抱有僥幸心理，忽略某些冷門考點（如2007年廣東高考題解答題對線性回歸方程的考查出乎當年廣大高三師生的意料之外，許多老師都認為線性回歸運算量大，不可能考大題，但該道高考題在高考試卷首提供公式，運算量并不太大）. 同學們復習時如果按照考綱要求把課本中的概率統計內容認真通讀，不遺漏任何一個知識點，獨立做過一遍例題、習題，將2007—2012年廣東高考數學試題中的概率統計題反復做透，對訓練過的每道題進行反思，分析其蘊含著的概率統計基本思想方法，規范書寫，必要步驟不缺省，確保“對而全”，高考時在概率統計部分就一定能取得滿意的成績.

（作者單位：王位高，廣東信宜礪儒中學；鄧小雁，廣東信宜中學）

責任編校 徐國堅