三角恒等變換與應(yīng)用

三角恒等變換是衡量考生掌握三角知識與能力的重要標志，是歷年高考重點考查內(nèi)容.主要形式是通過三角公式進行恒等變換達到化簡、求值、證明的目的.應(yīng)引起我們足夠的重視a，針對三角具有“公式多、方法活、技巧強、應(yīng)用廣”等特點，三角恒等變換要堅持結(jié)構(gòu)同化的原則，重視對“式”的變換和“角”的變換；對命題的條件和結(jié)論進行合理變換相結(jié)合解題策略.

1. 三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu).即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心.第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇保坏谌^察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點.

2. 輔助角公式中輔助角的確定：asinx+bcosx=sin（x+？茲）=（其中？茲角所在的象限由a，b的符號確定，？茲角的值由tan？茲=確定）在求最值、化簡時起著重要作用.

3. 由兩角和、差的三角函數(shù)公式及二倍角公式進行適當?shù)淖冃芜€可得到以下一些重要結(jié)論：

二、角的變換

已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、已知角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.

點評：角的變換溝通了已知角與未知角之間的聯(lián)系，使公式順利運用，解題過程被簡化.特別要注意根據(jù)已知條件，準確判斷角所在的范圍，作出單角和復(fù)角的互化，合理選擇公式，快速準確地判斷三角函數(shù)值的符號.

變式2. 已知sin（-x）=（0

點評：本題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法，對計算能力的要求較高，此類題要求熟知三角公式并能靈活應(yīng)用，合理進行等價變形（如拆角和并角，升冪與降冪），需要自己在平時練習中認真體會.

四、三角同化原則

對角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同，切化弦

點評：三角函數(shù)式的化簡：（1）常用方法：①直接應(yīng)用公式進行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等.（2）化簡要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).

變式4. 化簡： .

解析：原式====1.

五 輔助角公式 換元法

例5. 求函數(shù)y=2+sinx+cosx+2sinxcosx的值域.

解析：設(shè)t=sinx+cosx=sin（x+）∈[-，]， 則原函數(shù)可化為y=t2+t+1=（t+）2+，因為t∈[-，]， 所以當t=時，ymax=3+，當t=-時，ymin=，所以函數(shù)的值域為y∈[，3+] .

點評：函數(shù)式的項中同時含有sinx+cosx（或sinx-cosx）及sinxcosx時，常設(shè)sinx+cosx=t（或sinx-cosx=t），此時，t∈[-，]，則sinxcosx=，或sinxcosx=，于是可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)問題來解決.

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)應(yīng)用.前提是通過三角恒等變形，二倍角公式降冪后最終化成y=sin （ωx+？漬）+k的形式，再充分結(jié)合圖像性質(zhì)解決問題.

變式6. 設(shè)函數(shù) f（x）=sinxcosx -cos（x+？仔）cosx，

七、三角形內(nèi)的恒等變換

1. 三角形內(nèi)角定理的變形

由A+B+C=π，知A=π-（B+C）可得出：sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC，而=-.有：sin=cos，cos=sin.

2. 三角形內(nèi)較常用的恒等式

（1）sinA+sinB+sinC=4coscoscos；

（2）sin2A+sin2B+sin2C=2cosAcosBcosC+2；

（3）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；

（4）tantan+tantan+tantan-1=0.

點評：本小題主要考查三角恒等變形、利用正弦、余弦定理處理三角形中的邊角關(guān)系，突出考查邊角互化的轉(zhuǎn)化思想及消元方法的應(yīng)用，難度較大.

變式7. 設(shè)a，b，c分別是△ ABC的三個內(nèi)角 A，B，C所對的邊，則a2=b（b+c）是A=2B的（ ）

A. 充要條件 B. 充分而不必要條件

C. 必要而充分條件 D. 既不充分又不必要條件

解析：設(shè)a，b，c分別是△ ABC的三個內(nèi)角 A，B，C所對的邊，若a2=b（b+c），則sin2A=sinB（sinB+sinC），則=+sinBsinC，

∴（cos2B-cos2A）= sinBsinC，sin（B+A）sin（A-B）=sinBsinC，

又sin（A+B）=sinC，∴sin（A-B）=sinB ，∴A-B=B ，A=2B.

若△ABC中，A=2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a2=b（b+c），所以a2=b（b+c）是A=2B的充要條件，選A.

八、正、逆用兩角和與差、二倍角、半角等公式進行證明恒等式

例8. 求證：-=32cos20°.

證法一：左邊=-=-=======32cos20°=右邊.

∴原式成立.

證法二：左邊======32cos20°=右邊.

∴原式成立.

點評：本題證明方向顯然是從左邊證到右邊.同時，注意到角與函數(shù)次數(shù)的變化，運用降冪公式sin2α=，cos2α=可使等式中的角與函數(shù)的次數(shù)得到統(tǒng)一. 關(guān)于三角函數(shù)的化簡、求值、證明問題要善于觀察、聯(lián)想公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過拆、配等方法去分析問題和解決問題.證法一中的常值代換（用cos60°代），角的分拆（20°分成40°-20°，60°分成40°+20°）及公式的逆用，是實施三角變形的重要方法.

變式8. 求證：=.

證明：右端=====

===右端.

總之，三角恒等變換主要應(yīng)用三角公式對三角表達式進行變形，主要考查有三種題型（求值、化簡、證明），其解題關(guān)鍵是作角差異分析和函數(shù)名差異分析：基本思路為 “五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差異，想聯(lián)系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引輔角. “五遇六想”作為解題經(jīng)驗的總結(jié)和概括，操作簡便，十分有效.其中蘊含了一個變換思想（找差異，抓聯(lián)系，促進轉(zhuǎn)化），兩種數(shù)學思想（轉(zhuǎn)化思想和方程思想），希望同學們平時多練習、多思考、多總結(jié)，較好地掌握此類問題的解題方法.

（作者單位：廈門大學附屬實驗中學）

責任編校 徐國堅