無須刻意求佳境，自有奇峰報曉春

分類討論是考生必須掌握的數(shù)學(xué)思想之一，然而， 這種數(shù)學(xué)思想對于考生來說，一直是他們的“軟肋”，具體表現(xiàn)在： 缺乏分類討論的意識， 不知道分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，不能合理地分類，有時重復(fù)，有時遺漏；有時分類太多，或者太繁，最后求解不完整；或者消耗時間過多，導(dǎo)致效率很低.以上的種種表現(xiàn)，都是由于考生沒有認(rèn)清含參問題分類討論實質(zhì)——“化整為零，各個擊破”的思想. 事實上， 并非所有含參數(shù)的問題一定要分類討論， 如果我們能夠優(yōu)化解題思路， 選擇更好的解題策略， 消除引起討論的因素， 就能夠有效優(yōu)化、避免分類討論， 從而達(dá)到簡化解題過程的目的， 使學(xué)生擺脫大量而繁瑣的討論， 從而減少出錯機(jī)會. 下面筆者結(jié)合最近的一道模擬試題來窺探有效避免分類討論的一些策略.

題目：已知f（x）=mx3-3x+1（x∈R），若對于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0，求實數(shù)m的值.

【分析】這是一道具有代表性的經(jīng)典題，能很好檢測考生分類討論的思想，它蘊含著我們解題的常用策略，從不同角度出發(fā)可以得到一些有效避免分類討論的策略.

一、常規(guī)解法 難分難舍

大部分同學(xué)拿到這道題目后，對m進(jìn)行分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為求f（x）在x∈[-1，1]上的最小值，但真正做下去時看似有頭緒，實乃無法下手，頗有一種“無可奈何花落去，似曾相識燕歸來”的感覺，究其原因，這一直都是我們廣東考生的“軟肋”，讓他們覺得最為困難的是求導(dǎo)之后不知道如何分類討論，以什么作為分類討論的標(biāo)準(zhǔn).對該題存在“食之無味，棄之可惜”的境況.實際上，該常規(guī)解法包含兩級分類討論，其一是導(dǎo)函數(shù)零點是否存在，其二是導(dǎo)函數(shù)零點是否落在定義域中，這些對于考生來說是比較復(fù)雜的，所以我們要在解題中要弄清分類原因，找準(zhǔn)分類討論標(biāo)準(zhǔn)，明確分類層次，優(yōu)化分類順序，這樣分類才可以不重不漏，才可以做到融會貫通.

常規(guī)解法：求導(dǎo)后得f ′（x）=3mx2-3，

（1）當(dāng)m=0時，f（x）=-3x+1， [f（x）]min=-2<0，不滿足題意.

（2）當(dāng)m<0時，f ′（x）<0，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，∴ [f（x）]min=f（1）=m-2，由題意可得m-2≥0，∴m≥2，這與m<0矛盾，不符合題意.

（3）當(dāng)m>0時，由f ′（x）=0？圯x=±，

①當(dāng)≥1時，即0

②當(dāng)<1時，即m>1，f（x）在 [-1，-]和 [，1]上單調(diào)遞增，在 （-，） 上單調(diào)遞減，所以 [f（x）]min=min{ f（-1）， f（）}≥0？圯

f（-1）=-m+4≥0，f（）=m（）3-3+1≥0，解得m=4.綜上所述，m=4.

二、參變分離，化繁為簡

從上面的解法可知：直接對m進(jìn)行分類討論過于繁瑣，這時需要尋找其它途徑，看能否找到優(yōu)化分類討論的策略，在這里，解決含參恒成立問題其實采用參變分離也是一種策略，經(jīng)過探究可得另外一種策略——參變分離.

解法2：①當(dāng)x=0時，無論m取任何值，f（x）≥0顯然成立；

②當(dāng)x>0時，即x∈（0，1]時，f（x）=mx3-3x+1≥0可化為m≥-，設(shè)g（x）=-，則g ′（x）=，所以g（x）在區(qū)間（0，]上單調(diào)遞增，在區(qū)間（，1]上單調(diào)遞減.所以g（x）max=g（）=4，從而m≥4；

③當(dāng)x<0，即x∈[-1，0）時，f（x）=mx3-3x+1≥0可化為m≤-，g（x）在[-1，0）上單調(diào)遞增，因此g（x）max=g（-1）=4，從而m≤4.綜上所述，得m=4.

【點評】解法2雖然也用到了分類討論的思想來解題，但是相對常規(guī)解法來說，解法2只要按一個分類標(biāo)準(zhǔn)（x的范圍）分類就行了，并且分類的標(biāo)準(zhǔn)十分明顯.該解法明顯優(yōu)于常規(guī)解法，事實上，用分離參數(shù)可以使分類討論有據(jù)可依，有法可循，有時甚至能夠優(yōu)化、避免分類討論，如本題的條件改成“x∈（0，1]”的話，則更能體現(xiàn)分離參數(shù)的優(yōu)勢，避免了分類討論.一般情況下，比較容易分離并且可以轉(zhuǎn)化為另一邊所表示函數(shù)的問題，且該函數(shù)比較容易求出最值時，一般采取分離參數(shù)的方法.

三、數(shù)形結(jié)合，直觀形象

數(shù)形結(jié)合是一種很好的數(shù)學(xué)思想方法，它能將抽象問題直觀化，以數(shù)論形、以形輔數(shù)，數(shù)形結(jié)合往往能迅速而簡捷找到解題途徑.同樣在本題中如能靈活運用數(shù)形結(jié)合思想，也可以很巧妙地避免分類討論或優(yōu)化分類討論.通過探窺可獲得另一種解法：

解法3：由函數(shù)f（x）=mx3-3x+1對于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0可得：mx3≥3x-1對于任意的x∈[-1，1]恒成立，設(shè)g（x）=mx3，

h（x）=3x-1，要保證其成立即g（x）的圖像在h（x）圖像的上方或相切，由它們的圖像（如右圖），設(shè)g（x）圖像上的一點（x0，y0）處的切線斜率為3，再由g ′（x0）=3可知x0=，

通過觀察圖像可得g ′（-1）≥h（-1），g （x0）≥h（x0），解得m=4.

【點評】解法3巧妙地將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合來解決本題，這樣有效避免了繁雜的分類討論，從而快速解題.那何時用數(shù)形結(jié)合的方法呢？一般如某些含參恒成立問題，既不能分離參數(shù)，又不能轉(zhuǎn)化為某個變量的一次或二次函數(shù)時，且如果可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想，能夠有效避免分類討論，如解法3，不過在這個解法過程中要轉(zhuǎn)化為圖象且能夠畫出圖形，并且要抓住函數(shù)圖象的特殊情況（直線與曲線相切），這樣才可以事半功倍解題.

四、特值入手，知微見著

特殊化是我們解決含參問題的一種重要手段，特別是解決一些客觀題，具有高效、準(zhǔn)確的優(yōu)勢，所以我們在解題中有時可以使用特殊化思想縮小參數(shù)范圍，從而優(yōu)化、避免分類討論.

解法4：由x∈[-1，1]都有f（x）≥0，考慮特殊值

x=-1，0，1，可得f（-1）≥0，f（0）≥0，f（1）≥0，即m≤4，m≥2.這樣就可以將m的取值范圍縮小為m∈[2，4]，當(dāng)m∈[2，4]時，令f ′（x）=0，即3mx2-3=0，解得x1=≤<1，x2=-≥->-1，由此可知f（x）在（-1，-），（，1）上單調(diào)遞增，在（-，）上單調(diào)遞減，所以 [f（x）]min=min{ f（-1）， f（）}≥0？圯

f（-1）=-m+4≥0，f（）=m（）3-3+1≥0，所以m=4.

【點評】解法4通過取一些特殊值，逐步縮小參數(shù)的范圍，縮短了思維的流程，對比常規(guī)解法，m∈[2，4]不僅僅使導(dǎo)函數(shù)的零點存在，且可以確定導(dǎo)函數(shù)的零點一定在定義域內(nèi)，這樣就可以直接求出函數(shù)的最小值，從而達(dá)到避免分類討論的目的.事實上，如果我們能夠發(fā)現(xiàn)本題的結(jié)果是一個值，我們還可以使用更特殊的值直接解題，取x=-1，，1，由f（-1）≥0，f（1）≥0，得2≤m≤4，再根據(jù)f（）≥0得m≥4，綜合可得m=4.由此可見，從特殊值入手對于避免分類討論、優(yōu)化解題思路是一種很有效的策略.

【小結(jié)】由以上的解法分析可知：分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合、特殊化思想是我們有效優(yōu)化、避免分類的三個策略，我們在解題中優(yōu)化、避免分類討論的策略除了這三種策略之外，還會有反客為主（也叫轉(zhuǎn)換變量的方法，即在分離參數(shù)會遇到比較繁雜的討論或者即使容易分離出參數(shù)與變量時，但函數(shù)的最值卻難以求出來，這時可以變換思維角度，把變元和參數(shù)換個位置，在結(jié)合其它知識，往往可以優(yōu)化或避免分類討論）、正難則反（即有時候正面考察問題，需要分多種情況考慮，而如果考察對面，可能情況會顯得更簡單，這就是正難則反的思想）等策略，采取不同的策略產(chǎn)生的途徑和效果截然不同，因此我們在進(jìn)行含參問題需要分類討論的題目時，要針對題目，抓住問題本質(zhì)，采取一些有效的策略，靈活優(yōu)化解題過程，可以達(dá)到簡捷解題，提高解題速度.下面筆者再提供幾個對應(yīng)的練習(xí)，以供大家更好掌握對應(yīng)知識.

五、牛刀小試，優(yōu)劣凸顯

（1）已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+-1（a∈R），設(shè)g（x）=x2-2bx+4，當(dāng)a=時，若對任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求實數(shù)b的取值范圍.

（提示：分離參數(shù)策略、數(shù)形結(jié)合策略、特殊值策略，分析：本題可以直接用分類討論的方法來解，但過程會比較繁瑣；也可以用分離參數(shù)的方法，較常規(guī)解法簡捷；還可以用數(shù)形結(jié)合的方法，更為直觀；還可以用特殊值1和2來縮小參數(shù)b的范圍，直接可以得到答案.參考答案：b≥.）

（2）解不等式>2x+a（a>0，且為常數(shù)）.

（提示：數(shù)形結(jié)合策略，分析：利用數(shù)形結(jié)合的思想最簡捷，將左邊看作函數(shù)y=，它表示圓心在坐標(biāo)原點、半徑為a的圓的上半部分；右邊可以看作函數(shù)y=2x+a，它表示斜率2、在y軸截距為a的直線，再結(jié)合圖像可得x∈[-a，0）.）

（3）函數(shù)f（x）=x2-2ax-4a在[-1，1]上恒大于0，求實數(shù)a的取值范圍.

（提示：分離參數(shù)策略，分析：若直接利用二次函數(shù)來解答，過程繁瑣，若是將參數(shù)a分離出來，則可以有效避免分類討論， f（x）=x2-2ax-4a在[-1，1]上恒成立等價于>a在[-1，1]上恒成立，通過求解可得a<0.）

（4）若不等式x2+3mx-4<0對任意m∈[0，1]都成立，求實數(shù)x的取值范圍.

（提示：反客為主的策略，分析：若是按照常規(guī)思路，將x看作主元，則需要分很多種情況來討論m，無形中增加了解題的負(fù)擔(dān).而實際上不等式x2+3mx-4<0對任意m∈[0，1]恒成立，因此可以將m看作變量來避免分類討論.簡解：設(shè)f（m）=（3x）m+x2-4，由一次函數(shù)圖像特征可知只要f（0）<0，f（1）<0成立即可，解得-2

（5）已知函數(shù)f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在區(qū)間[-1，1]上至少存在一個實數(shù)c，使f（c）>0，求實數(shù)p的取值范圍.

（提示：正難則反策略，分析：至少存在一個實數(shù)，使f（c）>0的情況很多，那我們考慮反面的話，即對于區(qū)間[-1，1]上任意的數(shù)c都有f（c）≤0.因此只需要滿足f（-1）≤0，f（1）≤0，解得p∈（-∞，-3）∪[，+∞），再取其補(bǔ)集可得p∈（-3，）.）

（6）已知函數(shù)f（x）=lg（2x-b）（b為常數(shù)），若x∈[1，+∞）時，f（x）≥0恒成立，則b的取值范圍是（ ）

A. （-∞，0] B. （-∞，1] C. （0，1） D. （0，1]

（提示：特殊值策略，分析：當(dāng)b=0時，此函數(shù)f（x）=lg2x，它在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，排除C和D；當(dāng)時，此函數(shù)f（x）=lg（2x-1），它在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，排除A，得參考答案C.）

總之，我們在解題中涉及到分類討論的類型很多，方法靈活多變，技巧性很強(qiáng)，這就要求我們在平時學(xué)習(xí)中重視分類討論思想的訓(xùn)練，不斷滲透注重優(yōu)化、避免分類討論的策略，解題中要透過現(xiàn)象看清本質(zhì)，一舉切中要害，解題過程中要善于從以上所提的幾種策略來思考問題，值得注意的是，各種優(yōu)化策略并不是孤立存在的，我們也不能刻意去追求策略的，要靠平時的不斷積累運用，要在練習(xí)實踐中多總結(jié)，在解題中恰當(dāng)?shù)剡\用，那自然有奇峰報曉春——對分類討論的優(yōu)化策略運用自如.

（作者單位：信宜市信宜中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅