一道課本復習題的變式

課本中的任意一道題目都是教材編寫者精挑細選的結果，可以說，每一道題都是凝聚著編者的智慧和意圖的“好蘑菇”，那么，它們的周圍肯定會有更多的“好蘑菇”等待著我們去尋找.

人教A版教材必修1第二章復習參考題B組4：設f（x）=，g（x）=，求證：（1）[g（x）]2-[f（x）]2=1；（2）f（2x）=2f（x）g（x）；（3）g（2x）=[f（x）]2+[g（x）]2.

變式1、可以判斷函數f（x）、g（x）的奇偶性

例如2010年高考廣東理科、文科第3題：“若函數f（x）=3x+3-x與g（x）=3x-3-x的定義域均為R，則（ ）

A. f（x）與g（x）均為偶函數；B. f（x）為偶函數，g（x）為奇函數；C. f（x）與g（x）均為奇函數；D. g（x）為偶函數，f（x）為奇函數”無疑是該課本題的一個簡單改變.

評注：通過該變式可以考查考生對函數奇偶性判斷步驟的掌握情況和注意事項.

變式2、可以利用函數f（x）、g（x）的奇偶性

（1）注意到g（x）=是偶函數，那么當解析式中添加字母后若偶函數性質不變，則是否可以求出該變量的值呢？例如g（x）=是偶函數，則a=_____.

解析：因為g（-x）==g（x），所以（1-a）·ex+（a-1）·e-x=0恒成立，則1-a=0，a-1=0，故a=1.

又如若函數f（x）=+a·3-x是偶函數，且a>0，則a=_____.

類似上述做法可得a2=1，因為a>0，故a=1.

同樣地，也可以考慮奇函數f（x）=相同的問題.例如若函數f（x）=是（2a-3，a2）上的奇函數，則a=_______.

解析：因為若函數是奇函數，則定義域必關于原點對稱，所以2a-3+a2=0，得a=1或a=-3；又f（0）==0，得a=±1.所以a=1.

（2）注意到f（x）+g（x）=ex，若將結論f（x）為奇函數，g（x）為偶函數作為條件，能求出f（x）和g（x）的解析式嗎？例如2011年高考湖北文科第3題：若定義在R上的偶函數f（x）和奇函數g（x）滿足f（x）+g（x）=ex，則g（x）=（ ）

A. ex-e-x B. （ex+e-x）

C. （e-x-ex） D. （ex-e-x）

解析：因為f（x）+g（x）=ex……①，所以f（-x）+g（-x）=e-x……②，又因為f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），所以②式化為f（x）-g（x）=e-x……③，于是聯立①③，通過解方程組得f（x）=，g（x）=.

評注：通過該變式可以考查考生對函數奇偶性應用之一：用方程組求函數解析式的理解，同時，通過該考題還可以知道，任意一個定義域關于原點對稱的函數必定可以表示成一個奇函數與一個偶函數之和.

變式3、對證明結論開展研究性學習

原題求證的（1）（2）（3）都可以成為研究性學習的載體，尤其是（2）和（3），因為（2）和（3）實際也是特殊情況.下面僅以（2）為例說明.

使問題易于解決，可以如下設計：

計算f（1）g（2）+f（2）g（1）和f（2）g（3）+f（3）g（2）的值，并據此提出一個推廣加以證明.

解析：f（1）g（2）+f（2）g（1）=·+·==f（3），f（2）g（3）+f（3）g（2）=·+·==f（5），一般的推廣為f（m）g（n）+f（n）g（m）=f（m+n），證明只要通過計算即可.

使問題具有挑戰性，可以如下設計：

5=2+3，請你推測f（5）能否用f（2）、 f（3）、 g（2）、 g（3）來表示；如果之前獲得了一個結論，請你推測能否將其推廣，并加以證明.

解析：f（5）能否用f（2）、 f（3）、 g（2）、 g（3）來表示可以從冪的運算考慮，因為f（5）最高為5次，所以只能是2次、3次的乘積關系，從而猜測可能的情形為f（2）f（3）、f（2）g（3）、g（2） f（3）、g（2）g（3）之間的組合運算，接下去驗算即可；有了結果，推廣就不難了.

增加以下的問題可以檢測類比推廣能力.

還能得到其他類似結論嗎？

解析：可以是f（m）g（n）-f（n）g（m）=f（m-n）、g（m）g（n）+f（m）f（n）=g（m+n）、g（m）g（n）-f（m）f（n）=g（m-n）.

如果學習了三角函數，則我們可以知道上述相關結論類似于正弦函數、余弦函數的兩角和差公式，于是以可以設計如下問題：

對于函數設f（x）=，g（x）=，能得到類似正弦函數或余弦函數的和差公式嗎？若可以，則任寫一個并證明.

評注：通過該變式可以考查考生探索問題、研究問題的能力和類比學習能力.

變式4、可以判斷函數f（x）、g（x）的單調性

容易判斷f（x）是R上的增函數，但g（x）的單調性比較難判斷.對于g（x）的單調性可以如下進行.

解析： 設t=ex，所以t>0，則函數g（x）就化為y=（t+）（t>0）.接下去要求考生回憶函數y=ax+（a，b>0）單調性，如圖1，函數y=ax+（a，b>0）在（0，）單調遞減，在（，+∞）單調遞增，所以，特別地，函數y=t+的單調性為：（0，1）區間上遞減，（1，+∞）區間上遞增，故由復合函數單調性法則知函數g（x）=是（-∞，0）上的減函數，（0，+∞）上的增函數.于是可得下面證明（僅以增函數為例）：

任取x1，x2∈（0，+∞），且x11，>1，<，故（-）·<0，即g（x1）

在學習了導數的內容后，也可以用導數方法求解.

評注：通過該變式可以考查考生掌握單調性判斷證明的基本方法.

（作者單位：浙江紹興縣越崎中學）

責任編校 徐國堅