還有一種思維叫整體考慮

解數學題就如下圍棋，既要看到局部，也要看到整體，也如觀察自然，既要注意一片葉子，也要重視整個森林，如此才能抓住問題的本質，尋找到問題的答案.整體思想是數學中的重要思想，雖然它沒有列入《考試說明》中的七大思想之中，但我們能感受這種思想的無處不在，感受到它的春風撲面.一般來說，整體意識和整體思想的表現形式有整體聯想、整體設元、整體配方、整體展開、整體補形、整體改造、整體代換、整體求導，整體估算或計算，等等.下面舉例說明.

1. 整體觀察

解題離不開眼睛的觀察，在犀利的眼睛面前，任何蛛絲馬跡都無法遁形.

例1. 設平面向量1，2，3和1+2+3=.如果平面向量 ，，滿足| i丨=2|i|，且i順時針旋轉30°后與i同向，其中i=1，2，3，則（ ）

A. -++= B. -+=

C. +-= D. ++=

解析：要善于洞析數學的本質，1+2+3=刻畫的是什么呢？是 1，2，3首尾連接，構成一個三角形.將這個三角形的各邊伸長到原來的2倍，再順時針方向旋轉30°，得到一個新的三角形，這個三角形實際上是由 ，，首尾連接得到，故其和為，這里需要的是整體觀察和思考、概念清楚，而不是計算.

例2. 設f（x），g（x）分別是定義在R上奇函數和偶函數，當x<0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，且g（-3）=0，則不等式f（x）g（x）<0的解集是（ ）

A. （-3，0）∪（3，+∞） B. （-3，0）∪（0，3）

C. （-∞，3）∪（3，+∞） D. （-∞，-3）∪（0，3）

解析：這是一個比較生疏的題目，遇到比較生疏的題目就要思考：“平時是否作過類似的問題？”仔細審題，就會得到f（x）、g（x）一為R上奇函數，一為R上偶函數，則F（x）=f（x）g（x）為奇函數.

而整體觀察后發現f′（x）g（x）+f（x）g′（x）=（f（x）g（x））′=F′（x）>0，則F（x）在x<0時為增函數，經過這一分析，再想，是否見過類似的題目呢？回答是：見過.這就是：“函數F（x）為奇函數，F（-3）=0，且x<0時，F（x）為為增函數，求F（x）<0為的解集”，于是生題變成了熟題，畫出圖像，不難求出F（x）<0的解集為D.

2. 整體抽象

例3. 已知兩不等的實數m，n滿足m2sin？茲-mcos？茲=1，n2sin？茲-ncos？茲=1，則過點（m2，m）和（n2，n）的直線與單位圓的位置關系為（ ）

A. 相切 B. 相離 C. 相交 D. 不確定

分析：本題給出的是兩個方程，所研究的是直線與圓的位置關系，需要兩點確定的直線方程，通過觀察就可以把已知的方程轉化為所求直線的方程，從而判斷直線與圓的位置關系.

解析：因為實數m，n滿足m2sin？茲-mcos？茲=1，n2sin？茲-ncos？茲=1所以點（m2，m）和（n2，n）的坐標都適合直線xsin？茲-ycos？茲=1，即兩點確定的直線方程為xsin？茲-ycos？茲=1，原點到此直線的距離為d=1，所以直線與圓相切.故選A.

點評：不要直接由兩點式寫方程，要注意觀察并把已知條件轉化，減少計算量.

例4. 函數f（x）對一切實數x都滿足f（+x）=f（-x），并且f（x）=0有3個實根，求這3個實根之和.

解法1：由f（+x）=f（-x）知直線x=是函數圖像的對稱軸，又因f（x）=0有3個實根，由對稱性知x1=必是方程的一個根，其余兩根x2，x3關于x=對稱，

即x2+x3=2×=1，故x1+x2+x3=.

解法2： 整體考慮，假設+x是f（x）=0的根，則-x也是f（x）=0，加上還有一個根為，故3個根的和為（+x）+（-x）+=.

點評：若函數f（x）滿足f（a+x）=f（a-x），則直線x=a是函數圖像的對稱軸，該題中的對稱軸為x=，這就是我們要用到的特殊直線.然后利用對稱性，問題便迎刃而解.

變式： 函數f（x）對一切實數x都滿足f（+x）=f（-x），并且f（x）=0有6個實根，求這3個實根之和.

本題的六個根都不在對稱軸上，答案為3.

例5 . 用1，4，5，x四個數字組成四位數，所有這些四位數中的數字的總和為288，求x.

解析： 若x不為0，在每一個數位上1，4，5，x，出現的機會是均等的.由于一共可以得到24個四位數，于是得到：

6×4×（1+4+5+x）=288，解得x=2.

若x為0，無解.

3. 整體代換

例6. 已知M是△ABC內一點，且·=2，∠BAC=300，若△MBC、△MAB、△MAC的面積分別為、x、y， 則+的最小值是（ ）

A. 9 B. 16 C. 18 D. 20

分析：已知條件為向量的數量積與夾角，可以得到兩邊之積，再由兩邊與夾角求得△ABC的面積，另一方面， △ABC的面積又為△MBC、△MAB、△MAC的面積之和+x+y，從而實現了由向量向代數式的轉化，然后用均值不等式求得最值.

解析：∵·=2，∠BAC=30°，∴·=4，

∴S△ABC=···sin30°=1，又因為△ABC的面積為△MBC、△MAB、△MAC的面積之和+x+y，∴得x+y=.

+=（+）·2（x+y）=2（5++）≥10+2·2=18當且僅當=時取等號.故選C.

評注：本題完成了由向量向函數方程之間的轉化，進而又轉化為用均值不等式求最值，在使用均值不等式時要注意1=2（x+y）的代換.

4. 整體求值

例7 . 設F1、F2為雙曲線-y2=1的兩個焦點，點P在雙曲線上滿足∠F1PF2=120o，則△F1PF2的面積是______.

解析：∵ |PF1|-|PF2|=±2a=±4？圯|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·

|PF2|=16……①

又a=2，b=1，c=，在 △F1PF2中由余弦定理得：

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos120o=（2）2……②

②-①得|PF1|·|PF2|=.

∴ S=△FPF=|PF1|·|PF2|sin120o=.

點評：有時整體意識是減少運算量的有效方法.

例8. 長方體的全面積為11，十二條棱長度之和為24，求這個長方體的對角線長.

分析：要求長方體對角線長，只需求長方體的一個頂點上的三條棱的長即可.

解析：設此長方體的長、寬、高分別為x，y，z，對角線長為l，則由題意得2（xy+yz+zx）=11，4（x+y+z）=24，

由4（x+y+z）=24，得x+y+z=6，從而由長方體對角線性質得l====5，

所以長方體的對角線長為5.

點評：在求解過程中，并不需要把x，y，z都求出來，而要由方程組從整體上導出x2+y2+z2，這需要掌握一些代數變形的技巧，需要有靈活性.

5. 整體改造

例9. 三個同學對問題“關于x的不等式x2+25+

|x3-5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，求實數a的取值范圍”提出各自的解題思路.

甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”.

乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數，右邊僅含常數，求函數的最值”.

丙說：“把不等式兩邊看成關于x的函數，作出函數圖像”.

參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即a的取值范圍是 .

解析：認真研究，不難發現甲的解題思路不對，因為甲給出的是充分條件，不是必要條件.如果按照甲的思路，可能會縮小a的范圍；丙的解題思路正確，是充要條件，不會改變a的范圍.但實施起來非常麻煩，可能需要更長的解題時間；再看乙的解題思路，符合分離變量的解題技巧，得到的是充要條件，因此應該按照乙的解題思路進行解題.

由x2+25+|x3-5x2|≥ax，1≤x≤12？圳a≤x++|x2-5x|，1≤x≤12.

設f（x）=x++|x2-5x|，1≤x≤12.只需求得函數f（x）的最小值即可.

注意到x+≥2=10，等號當且僅當x=5∈[1，12]時成立.

且|x2-5x|≥0，等號當且僅當x=5∈[1，12]時成立.

所以，a≤[x++|x2-5x|]min=10，等號當且僅當x=5∈[1，12]時成立，

故a∈（-∞，10）.

點評： 當x+取最小值時，|x2-5x|也恰好取得最小值，是順利解決問題的關鍵.

例10. 設x、y為實數， 且滿足（x-1）3+2010（x-1）=-1，（y-1）3+2010（y-1）=1.求證：x+y=1.

解析：原方程組可化為： （x-1）3+2010（x-1）=-1，（1-y）3+2010（1-y）=-1.

令f（t）=t3+2010t， 則有f（x-1）=f（1-y）， 又易證f（t）=t3+2010t在R上單調遞增（可用定義或導數證明， 這里略）， ∴x-1=1-y， 故x+y=1.

6. 整體設元

例11. 設x+y+z，y+z-x，z+x-y，x+y-z這四個數組成以公比為q的等比數列，求q+q2+q3的值.

解析：∵y+z-x=（x+y+z）q……①

z+x-y=（x+y+z）q2……②

x+y-z=（x+y+z）q3……③

∴①+②+③？圯 q+q2+q3=1.

點評：設而不求，整體考慮是解決問題的一個常見方法.

例12. 設實數x，y滿足條件：lg（3x-y）+lg（3x+y）=0，求4x-y的最小值.

解析：依題意有3x-y>0，3x+y>0，（3x-y）（3x+y）=1.

由前面兩個式子知 3x>y≥0？圯x>0，∴4x-y=x+3x-y= x+3x-y=4x-y.令4x-y=a（3x-y）+b（3x+y）， 則可得a=， b=， ∴4x-y=4x-y=（3x-y）+ （3x+y）≥2

=，當且僅當（3x-y）=（3x+y），即9x=4y，結合前面的方程可求得x=，y=時等號成立，故所求的最小值是.

7. 整體求導

例13. 已知函數f（x）=f ′（）cosx+sinx，則f（）的值為 .

解析：因為f ′（x）=-f ′（）·sinx+cosx，所以f ′（）=-f ′（）·sin+cos？圯f ′（）=-1，故f（）=

f ′（）cos+sin？圯f（）=1.

例14. 若（x-1）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，則a1+2a2+3a3+…+9a9等于（ ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 513

解析： 在已知等式中兩邊求導得：9（x-1）8= a1+2a2x+

3a3x2+…+9 a9x8，令x=1，得0= a1+2a2+3a3+…+9a9，故選B.

例15. 設f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+n），則f′（0）=

_________.

解析：設g（x）=（x+1）（x+2）…（x+n），則f（x）=xg（x），于是f′（x）=g（x）+xg′（x），f′（0）=g（0）+0·g′（0）=g（0）=1·2…n=n！.

8. 整體估算或計算

例16. 據2002年3月5日九屆人大五次會議《政府工作報告》指出“2001年國內生產總值達到95933億元，比上一年增長7.3%.”如果“十·五”期間（2001-2005年）每年的國內生產總值按此年增長率增長，那么，到“十·五”末，我國國內生產總值約為（ ）

A. 115000億元 B. 120000億元

C. 127000億元 D. 135000億元

解析：注意到已知條件給出的數據非常精確， 2001年國內生產總值達到95933億元，精確到億元，而四個選項提供的數據都是近似值， 精確到千億元，即后三位都是0，因此，可以從整體上看問題，忽略一些局部的細節.

把95933億元近似地視為96000億元，又把0.0732近似地視為0.005，這樣一來，就有95933×（1+7.3%）4≈96000（1+4×0.073+6×0.0732）≈96000×（1+0.292+6×0.005）=126720=127000.

點評：在解選擇題時，有時并不需要把題目精解出來，而是從題目的整體去觀察，分析和把握，通過整體反映的性質或者對整體情況的估算，確定具體問題的結果，例如，對函數問題，有時只需要研究它的定義域，值域，而不一定關心它的解析示式，對函數圖象，有時可以從它的整體變化趨勢去觀察，而不一定思考具體的對應關系，或者對4個選項進行比較以得出結論，或者從整體，從全局進行估算，而忽略具體的細節等等，都可以縮短解題過程，這是一種從整體出發進行解題的策略.

例17 . 將n2（n≥3）個正整數1，2，3，…，n2填入到n×n個方格中，使得每行每列及每條對角線上的數的和相等，這個正方形就叫做n階幻方.如圖就是一個3階幻方，定義f（x）為n階幻方一條對角線的和，例如f（3）=15，那么f（4）等于 .

解析：從整體觀察，我們發現每行，每列及每條對角線的和就是這n2個正整數和的，所以無論這個n為多少都可以求出f（n）==，而f（4）==34.

點評： 深刻理解數學概念，掌握數學思想方法是會算的必要條件.

例18. 設集合A={a1，a2，a3，a4}，若A中所有三元子集的三個元素之和組成的集合為B={-1，3，5，8}，則集合A= .

解析：顯然在A的所有三元子集中，每個元素均出現了3次，

所以3（a1+a2+a3+a4）=（-1）+3+5+8=15，故a1+a2+a3+a4=5.

于是集合A的四個元素分別為5-（-1）=6，5-3=2，5-5=0，5-8=-3，因此A={-3，0，2，6}.

點評：整體考慮，為我們的求解打開了一扇窗.

在本文中只例談了一些整體意識的具體運用，如整體展開、整體補形等都沒有舉例說明，可在學習時加以體會.總之，整體思想方法是一種很重要的思想方法，在解題中如果運用得好，將會贏得考試時間，贏得勝利.

（作者單位：福建省永定縣城關中學）

責任編校 徐國堅