2012年高考數列命題預測

學了12年，也等了12年，“亮劍”時刻終于到來了.為回饋12年的付出，也為展示12年的積累，更為實現自己的理想與抱負，考好是應該的也是必須的.當然，這不是有雄心壯志就行的，要科學、要合理，同樣要有策略.因為，理想的分數就取絕于對一些試題的求解.如果我們能深刻理解命題人的思路、準確把握各章節考點的設置，也許還真的可以“投機取巧”獲得超水平發揮，如何做到呢？咱們一步一步地來，首先讓你了解2012年高考數列命題可能涉及的知識點與可能出現的題型.

1. 依數列的概念為依托，考查基本運算

從近年的命題情況看，依托數列的基本概念，設計考查基本運算的試題是數列中命制客觀性試題的一種常見思路，此類題難度不大，往往在某一性質、某一知識點處設卡，突破后，可謂“一馬平川”，直接得分.

例1 若互不相等的實數a，b，c成等差數列，c，a，b成等比數列，且a+3b+c=10，則a=（ ）

A． 4 B． 2 C． －2 D． －4

解析 由a，b，c成等差數列，得2b=a+c，由于a+3b+c=10，得b=2，又c，a，b成等比數列，得a2=bc，即a2=2c，再結合a+c=4，得a=2或-4，由于a，b，c互不相等，故a=-4，選D.

點評 本題依托等比、等差數列的基本概念考查數列的基本運算問題，在求解中用到了等差數列的性質，難度不大，運算需細心，若將答案B改為“2或-4”，可能有粗心的考生會誤選.

例2 已知等差數列{an}的公差d=1，若a1+a2+…+a99+a100=150，那么a2+a4+…+a98+a100的值為（ ）

A． 100 B． 150 C． 200 D． 250

解析 設由a1+a3+…+a97+a99=A，a2+a4+…+a98+a100=B，

那么A+B=a1+a2+…+a99+a100=150，B-A=50d=50?圯2B=200?圯B=100，選A.

點評 本題依托等差數列前項和的概念，考查等差數列的基本運算.難度不大，求解方法也很多，其中利用等差數列的性質，進行整體運算給人有種賞心悅目的感覺.

2. 依數列的性質為依托，考查基本技能

數列的性質包括通項與前n項和之間的關系、等差、等比數列的性質、由遞推公式確定數列的基本特征等，這些基本性質是在數列中設計“小、巧、活”試題的重要基地.

例3 設正數a0，a1，…，a2012構成數列{an}且滿足下列兩個條件：①a0=a2012，②an-1+■=2an+■，則所有滿足條件的數列中a0的最大值為 .

解析 由an-1+■=2an+■?圯an-1=2an……①或an-1=■……②

則a2012=a0（-1）■·22012-t，即a2012用了t次②，用了2012-t①，

（i）若t為奇數，得：a2012=■·22012-t，由于a0=a2012，即a0=■·22012-t，顯然，a0≤■·22012-1，得a0≤21005■.

（ii）若t為偶數，此時a2012=a0·22012-t，由于a0=a2012，即a0=a0·22012-t，此時a0最小值不存在.

故a0的最小值為21005■.

點評 本題依托遞推式an-1+■=2an+■，再借助于（-1）t的運算結果巧妙地設計出數列的最值問題，看看求解過程，可謂“短小精悍”極具“數學味”.

3. 依分段數列為依托，考查分析推理能力

數列是特殊函數，結合分段函數產生分段數列，依托分段數列項的波動性考查分析推理能力是近年高考命題的一大特點，此類數列的項的規律性不是太明顯，不深入探究，極易出錯或產生不了結論.

例4 已知數列{an}滿足：a1=m（m為正整數），an+1=■，當an為偶數時3an+1，當an為奇數時若a6=1，則m所有可能的取值為 .

解析 由a6=1結合遞推式，可得若a5為偶數，則由a6=■?圯a5=2；若a5為奇數，則由a6=3a5+1?圯a5=0（不合題意，舍去）.

由a5=2，若a4為偶數，則a5=■?圯a4=4；若a4為奇數，則由a5=3a4+1?圯a4=■（不合題意，舍去）.

由a4=4，若a3為偶數，則a4=■?圯a3=8；若a3為奇數，則由a4=3a3+1?圯a3=1.

由a3=8，若a2為偶數，則a2=16；若a2為奇數，則a2=■（不合題意，舍去）.

由a3=1，若a2為偶數，則a2=2；若a2為奇數，則a2=0（不合題意，舍去）.

由a2=16，若a1為偶數，則a1=32?圯m=32；若a1為奇數，則a2=3a1+1?圯a1=5?圯m=5；由a2=2，若a1為偶數，則a1=4?圯m=4；若a1為奇數，則a1=■（不合題意，舍去）.

故m所有可能的取值為32、5、4.

點評 本題借助于a6及遞推公式，逐步向前推理，逐步分析，直至產生a1，再與條件結合產生結論.難度不大，但運算量不大，必須細心才行.

4. 依基本圖形為依托，考查捕捉信息能力

圖形，直觀地告訴我們所有內容，“有用的”與“無用的”盡顯無遺.依托圖形設計數列問題，通過對圖形變化的分析、紛亂數據的整理來考查考生捕捉信息與利用信息能力也是近年高考命題的一大特點.求解此類問題的關鍵在于圖與數之間的合理、科學的轉化.

例5 將正△ABC分割成n2（n≥2，n∈N）個全等的小正三角形（圖1，圖2分別給出了n=2，3的情形），在每個三角形的頂點各放置一個數，使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數（當數的個數不少于3時）都分別依次成等差數列，若頂點A，B，C處的三個數互不相同且和為1，記所有頂點上的數之和為f（n），則有f（2）=2，f（3）= ，…，f（n）= .

解析 當n=3時，如圖3所示，分別設各頂點的數用小寫字母表示，即由條件知a+b+c=1，x1+x2=a+b，y1+y2=b+c，z1+z2=c+a.

那么x1+x2+y1+y2+z1+z2=2（a+b+c）=2，2g=x1+y2=x2+z1=y1+z2，

6g=x1+x2+y1+y2+z1+z2=2（a+b+c）=2，得g=■.

于是f（3）=a+b+c+x1+x2+y1+y2+z1+z2+g=1+2+■=■.

類似地可求得f（4）=5.由上知f（1）中有三個數，f（2）中有6個數，f（3）中共有10個數相加 ，f（4）中有15個數相加，…，若f（n-1）中有an-1（n>1）個數相加，可得f（n）中有（an-1+n+1）個數相加，且由f（1）=1=■，f（2）=■=■=f（1）+■，f（3）=■=f（2）+■，f（4）=5=f（3）+■，…，可得f（n）=f（n-1）+■，

所以f（n）=f（n-1）+■=f（n-2）+■+■=…=■+■+■+■+f（1）=■+■+■+■+■+■=■（n+1）（n+2）.

點評 本題建立在圖形的基礎上，結合等差數列的性質產生了f（3）、又類比f（3）的方法產生f（4），再通過f（2）、f（3）、f（3）中后一項與前一項的關系，歸納出f（n）與f（n-1）之間進一步的關系使問題出現實質性的轉機，本題有難度也有技巧.

5. 依兩類特殊數列為依托，考查數列中的基本思想與基本方法的應用

等差數列與等比數列是兩類特殊數列，每年高考圍繞這兩類數列設計的試題都比較多.對于此類題在設計上往往還會同時注重數列中的其它技能，比如：數列求和錯位相減法及裂項法等，求解時，首先抓好第一問的求解，因為第一問的結論可能還會為第二問甚至第三問“服務”.

例6 設Sn等比數列{an}的前n項和，且S2，■，a2成等差數列，又S3=■.

（Ⅰ）求數列{■}的通項；

（Ⅱ）設bn=■，求數列{bn}的前n項和Sn．

解析 （Ⅰ）設首項為a1，公比為q，由S3=■，S2+a2=■，得■=■，a1+a1q+a1q=■?圯a1=■，q=■?圯an=■?圯■=3n.

所以數列{■}的通項為■=3n.

（Ⅱ）∵bn=■，∴bn=n·3n．

∴Sn=3+2×32+3×33+…+n·3n………①

∴3Sn=32+2×33+3×34+…+n3n+1………②

②-①得：2Sn=n3n+1-（3+32+33+…+3n），即2Sn=n3n+1-■，∴Sn=■+■．

點評 本題依托等差數列與等比數列，考查在數列中最常用的基本思想——方程思想與數列中最重要的求和方法——錯位相減法.本題的求解中，第一問的結論很重要，因為它直接為第二問服務，若是第一問出錯，第二問就什么也不談了.

6. 依新定義為依托，考查數列中的創新意識與創新能力

以新定義為依托，命制新背景、新定義、新運算、新性質等的創新題型，考查考生創新能力與創新意識是近年高考數列試題的一種新苗頭.由于數列本身具有抽象性與靈活性，又加上創新問題還存在著“閱讀理解”問題，因此，此類題有較大難度，往往出在試卷的最后兩題的位置.

例7 數列{an}的前n項和記為Sn，前kn項和記為Skn（n，k∈N*），對給定的常數k，若■是與n無關的非零常數t=f（k），則稱該數列{an}是“k類和科比數列”，

（1）已知Sn=（■）2，an>0，求數列{an}的通項公式；

（2）證明:（1）的數列{an}是一個“k類和科比數列”；

（3）設正數列{cn}是一個等比數列，首項c1，公比Q（Q≠1），若數列{lgcn}是一個“k類和科比數列”，探究c1與Q的關系.

解析 （1）由Sn+1=■得Sn=■，作差得an+1=■，化簡整理2an+1+2an=a2n+1-a2n，∴an+1-an=2.

由a1=（■）2，a1>0?圯a1=1，于是an=2n-1.

（2）由（1）知Sn=■=n2，那么S（k+1）n=（k+1）2n2，Skn=k2n2.

由于■=（■）2與n無關的非零常數，

所以數列{an}是一個“k類和科比數列”.

（3）由lgcn+1-lgcn=lg■=lgQ是一個常數，所以{lgcn}是一個等差數列，首項lgc1，公差lgQ，于是Sn=nlgc1+■·lgQ.

那么Skn=knlgc1+■·lgQ，S（k+1）n=（k+1）nlgc1+■·lgQ，

■=■=t

對一切n∈N*恒成立，化簡整理[（k+1）2-k2t]·lgQ·n+[（k+1）-kt]·（2lgc1-lgQ）=0對一切n∈N*恒成立 ，所以（k+1）2-k2t=0，2lgc1-lgQ=0?圯Q=c12.

點評 本題依托“k類和科比數列”的定義，設計證明一個數列是“k類和科比數列”及利用這個數列的定義展開的推理問題.第一問屬于常規問題，第二問與第三問就是新定義的運用.第三問的轉化有難度，求解必需細心.

7. 依遞推式為依托，考查推理論證的能力

遞推式是數列的表示形式之一.近年利用這一表示形式對數列進行考查是司空見慣的，且大有越來越難之勢.常規命題是建立在非線性的遞推式的基礎上進行展開，通過求通項及一些數列性質的論證等，考查考生對問題的變形能力及數列常規技巧、技巧的掌握情況.

例8 已知數列{bn}中，bn+1=■，n∈N*，記an=■.

（1）求證：數列{an}是等比數列；

（2）若b1=0，試求數列{bn}的最大項與最小項；

（3）是否存在正整數b1使an>22-n，若存在，求出b1的值，否則，說明理由.

解析 （1）由bn+1=■?圯bn+1-1=■，bn+1+2=■?圯■=（-■）·■，即an+1=（-■）·an，顯然，數列{an}是以a1為首項，以-■為公比的等比數列.

（2）由b1=0，得a1=■=-■，所以an=（-■）n-1·a1=（-■）n，

即■=（-■）n?圯bn=■=■+1.

顯然，n為奇數時，■遞增，則當n=1時，b1=0最小；此時，最大值不存在，無限地趨近于1.

n為偶數時，■遞減，則當n=2時，b2=4最大；此時，最小值不存在，無限地趨近于1.

綜上可知，數列{bn}的最大項為b2=4、最小項為b1=0.

（3）由（1）an=■=■·（-■）n-1，那么an>22-n即為■·（-■）n-1>22-n?圯■>2，由于b1為正整數，得■>2?圯b1-1>2（b1+2）?圯b1<-5，顯然，不存在.

點評 本題第一問的合理變形是求解的重點與難點，突破這個之后求解就能順利展開.對第二問最大項與最小項的分析要借助于符號進行，第三問其實是一個不等式問題.

8. 依函數、不等式為依托，考查綜合運算數列知識的能力

依托函數的抽象性與不等式的靈活性，綜合考查數列的運算能力，在廣東的試卷中經常出現，也許2009年廣東理科最后一題在復習時已經見過，函數、導數、不等式的巧妙結合令人叫絕.其求解的靈活性與構造的巧妙性也令人嘆服，當然，對考生的“折磨”程度也讓今天的你“望而生畏”.

例9 已知p≠0，對于任意自然數n都有點（an，an+1）在函數f（x）=px+1-p的圖像上，且a1=2，

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）bn=2-qn-1（n∈N*），當n≥2時，p，q都在區間（0，1）內變化，且滿足p2n-2+q2n-2≤1時，求所有點（an，bn）所構成圖形的面積；

（3）當p>1時，證明：■<■+■+…+■<■（n∈N*）.

解析 （1）∵an+1=pan+1-p（n∈N*），∴ an+1-1=p（an-1），

∴{an-1}是以a1-1=1為首項，p為公比的等比數列.

因此an-1=pn-1，即an=1+pn-1.

（2）∵當n≥2時，an=1+pn-1，bn=2-qn-1，由0

∵p2n-2+q2n-2≤1，又∵（an-1）2=（pn-1）2=p2n-2，（bn-2）2=q2n-2.

而p2n-2+q2n-2≤1，∴（an-1）2+（bn-2）2≤1.

即對滿足題設的所有點（an，bn）在區域?贅：

１

而對區域?贅內的任一點（x，y），取p=■∈（0，1），q=■∈（0，1），

則an=1+pn-1，bn=2-qn-1.

即?堝p，q∈（0，1），使得?坌（x，y）∈?贅，（x，y）都是（an，bn）（n∈N，n≥2）中的點.

綜上可知，點（an，bn）構成的圖形是如圖所示的■圓，其面積為■.

（3）∵■=■=■>■=■?圯■+■+…＋■>■.

又∵■=■=■=■+■·■<■+■·■，

∴ ■+■+…＋■<■+■（■+■+…＋■）=■+■·■＝■+■（1-（■）n）<■，

∴■<■+■+…＋■<■（n∈N*）.

點評 建立在簡單遞推式的基礎上給出數列是高考數列命題的常見形式之一.本題就是如此，將簡單的遞推式變開后，結合等比數列的定義，產生等比數列，再通過等比數列的有關性質產生第一問的結論.第二問與線性規劃結合，其中分析出不等式組很關鍵，必須保證都不出錯，否則滿盤皆輸.第三問除了數列的基本技能外，還要用到不等式的處理技巧.

數列題年年都有，且難度具有波動性.2011年文、理科都是第20題，又都是與遞推式有關的且難度較大的試題.對于2012年我們要做好兩手準備，既對基礎考查與綜合考查，唯有此，才能保住數列中的分數不少得.

（作者單位：中山市第一中學）

責任編校 徐國堅