2012年高考廣東文科數學模擬試題

本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿分150分.考試時間120分鐘.

第I卷（選擇題 共50分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 復數z=m(3+i)-(2+i)在復平面內對應的點位于第四象限，則實數m的取值范圍是（ ）

A.(0，1) B.(1，2) C.(■，1) D.(■，1)

2. 已知集合Ａ=x｜y=■，B=x｜y=■，則Ａ∩B=（ ）

A.(■，1) B.(1，5) C.(5，+∞) D.(1，+∞)

3. 在某次測驗中，有6位同學的總成績的平均為501分．用xn表示編號為n(n=1，2，…，6)的同學所得成績，且前5位同學的成績如下：

則這6位同學總成績的標準差s為（ ）

A. ■ B. 4 C. 15 D. 2

4. 已知■=3，■=4，且■與■不共線，則“k=■”是“向量■+k■與■-k■垂直”的（ ）

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件

5. 已知Sn是等比數列{an}的前n項和，q≠1，a２，a8，a5成等差數列，則下列哪三項成等差數列（ ）

A. S２，S8，S5 B. S3，S9，S6 C. S4，S9，S5 D. S3，S8，S5

6. 已知幾何體的三視圖，則此幾何體的表面積（ ）

Ａ． ■ Ｂ． ■

Ｃ． ■ Ｄ． ■

7. 定義在[-2，2]上的函數f(x)滿足f′(x)=2x+sinx，且f(0)=-1，若f(1-m)-f(m)<0，則實數m的取值范圍是（ ）

A. [-2，-■) B. (-2，-■]

C. (■，2] D.[■，2)

8. 已知平面區域?贅={(x，y)｜(x-1)2+(y-1)2≤1}，平面區域M=(x，y)｜1≤x+y≤3，-1≤x-y≤1，，若向區域?贅內隨機拋擲一點P，則點P落在平面區域M內的概率為（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

9. 日常生活中的飲用水通常是經過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加.已知將1噸水凈化到純凈度為x%的所需費用（單位：元）為c(x)=■(80

A. 84 B. 88 C. 90 D. 95

10. 已知雙曲線■-■=1的離心率為■，它的兩個焦點為F1，F2，P為雙曲線右支上一點，且∠F1PF2=60°，△F1PF2的面積為9■，則雙曲線的方程為（ ）

A. ■-■=1 B. ■-■=1

C. ■-■=1 D. ■-■=1

第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上.

(一）11-13為必做題

11. 某多媒體電子白板的采購商指導價為每臺12000元，若一次采購數量達到一定量，則可以享受折扣. 圖1為某位采購商根據折扣情況設計的算法程序框圖，若輸出的S=864000元，則這位采購商一次

采購了該電子白板

臺.

12. 已知關于x的方程a(x+1)2=x+7(a∈N*)至少有一個整數解，則a的最大值為 .

13. 對大于或等于2的自然數m的n次方冪有如下分解方式：

22=1+3 32=1+3+5

42=1+3+5+7，

23=3+5 33=7+9+11

43=13+15+17+19

根據上述分解規律，則52=1+3+5+7+9，若m3(m∈N*)的分解中最小的數是73，則m的值為 .

（二）選做題（從以下兩道題中選做一題，兩題都做的以第一題的結果記分）

14.（幾何證明選講選做題）如圖2所示，割線PAB與圓O相交于A，B兩點，PC為圓O的切線，圓O的半徑為10，D為■弧的中點，OD交AB于點E，如果PA=4，sin∠PBO=■，則PC的長度為 .

15.（坐標系與參數方程選做題）曲線C1:x=t，y=t-1（t∈R）與曲線C2:x=1+2cos?茲，y=2sin?茲（0≤?茲

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（12分）第110屆廣交會第二期于2011年10月23日至27日在廣州舉行，某大學外語學院擬選拔4名志愿者參加接待工作，經過初步選定， 4名男同學，2名女同學共6名同學成為候選人，每位侯選人當選志愿者的機會是相同的.

(1)求選拔的4名志愿者中恰有1名女同學的概率；

(2)求選拔的4名志愿者中至少有3名男同學的概率.

17 （12分）已知函數f(x)=sin(x+?漬)(■

（1）求f(x)的解析式與最小正周期；

（2）已知?琢，?茁∈0，■，且f(?琢)＝■，f(?茁)＝■，求f(2?琢-?茁)的值．

18.（14分）如圖3，AB是圓O的直徑，點C是圓弧■的三等分點，DB∥EA，點F是AO的中點，AC=

AE=■BD=2，DC=2■，DF=5，

（1）證明：DE⊥平面CFE；

（2）求多面體ACBDE的體積.

19.（14分）已知正項數列{an}的前n項和Sn滿足4Sn=2an+a2n(n∈N*).

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）令bn=lnan，是否存在k(k≥2，k∈N*)，使得bk、bk+1、bk+2成等比數列．若存在，求出所有符合條件的k值；若不存在，請說明理由．

20（14分）已知拋物線y2=2px經過點M(2，-2■)，斜率為1的直線l經過拋物線的焦點F且與拋物線相交于A，B兩點，橢圓■+■=1的右焦點恰為拋物線的焦點，離心率為■.

（1）試求拋物線與橢圓的方程；

（2）求出AB的值；

（3）若P(x，y)為橢圓上一個動點，N為左頂點，求■·■的最值.

21. （14分）設函數f(x)=ex(x2-ax+1)(a>0)，

（1）求函數f(x)的單調區間；

（2）若f（x）≥（a2-■a+■）ea-1對任意x∈R恒成立，求實數a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. m(3+i)-(2+i)=3m+mi-2-i=(3m-2)+(m-2)i，因為復數對應的點在第四象限，則有3m-2>0，m-1<0，解得■

2. 根據x-4≥0，x-5≠0，得4≤x<5或x>5，即A=[4，5)∪(5，+∞)；根據3x-2>0，3x-2≠1，解得■1，即B=(■，1)∪(1，+∞)，所以A∩B=(5，+∞)，選C.

3. x6=6×501-(495+498+501+504+501)=507，故s=■=■，選A.

4. 向量■+k■與■-k■垂直的充要條件是（■+k■）（■-k■）=0，即■-k2 ■=0，因為■=9，■=16，故9-16k2=0，故k=±■，所以“k=■”是“向量■+k■與■-k■垂直”的充分不必要條件，選A.

5. 方法一：設首項為a1，因為a2，a8，a5成等差數列，則2a8=a2+a5，得到2a1q7=a1q+a1q4，得到2a1-2a1q9=a1-a1q3+a1-a1q6，即■=■+■，得到2S9=S3+S6，選B.

方法二、設首項為a1，因為a2，a8，a5成等差數列，則2a8=a2+a5，得到2a1q7=a1q+a1q4，得到2q6-q3-1=0，解得q3=－■，q3=1（舍去），因為2S9=■=■=■×■，S3+S6=■+■=■+■=■×■，故2S9=S3+S6，選B.

6. 如圖4，這個幾何體的上部分是一個三棱錐，下部分是半球，所以S表＝■×４?仔×（■）２＋?仔（■）２＋２×■×１×１+■×■×■×sin600=■+1＋■＝■，選C.

7. 由題意可得f（x）＝x2-cosx，因為f（-x）=x2-cosx=f（x），所以函數f（x）在[-2，２]上是偶函數，且在[０，２]上單調遞增，在[-2，０]上單調遞減，依題意可得０≤1-m≤2，0≤m≤2，1-m

8. 如圖5，畫出區域?贅與區域Ｍ，則區域?贅是以（１，１）為圓心，半徑為１的圓，其面積為?仔，區域M是邊長為■的正方形，其面積為■×■=2，故所求的概率為■，選B.

9. c′（x）=■，■＝１３２１，解得k=5284，再由■=52.84，解得a=90，選C.

10. 不妨設PF1=r1，PF2=r2，r1

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上.

11. 依題意可得S=Q·0.85·x， x>100Q·0.9·x， 60

12. 依題意可得a=■≥1，且（x≠-1），得到x2+x-6≤0，解得-3≤x≤2，又x為整數，則有x=-3，－２，０，１，２，當x=0時，a=7；當x=1時，a=4；當x=2時，a=3；當x=-2時，a=5；當x=-3時，a=1，經比較可得a的最大值為7.

13. 根據23=3+5，３３=7+9+11，４３=13+15+17+19，從２３起，m3的分解規律恰為數列3，5，7，9，若干連續項之和，23為前兩項和，33為接下來三項和，故m3的首數為m2-m+1，∵m3（m∈N*）的分解中最小的數是73，∴m2-m+1=73，∴m=9，故答案為9．

14. 因為D為弧■的中點，所以OE⊥AB，且點E平分線段AB，所以EB=■，在Rt△OEB中，圓O的半徑為10，sin∠PBO=■，所以■=sin∠PBO=■，解得OE=8，故EB=■=6，得到EB=12，由切割線定理可得PC2=4×（４＋ＡＢ），PC2=4×（４＋１２）＝６４，解得ＰＣ＝８.

15. 化曲線C1：x=t，y=t-1為普通方程得y=x-1，化C1：x=1+2cosθ，y=2sinθ為普通方程得（x-1）2+y2=4，y>0，故y2＝２解得y＝■或y＝－■<０（不合題意舍去），當y＝■時，x＝■-1，故交點坐標為（■-1，■）.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16. 解：將4名男同學和2名女同學分別編號為1，2，3，4，5，6，（其中1，2，3，4是男同學，5，6是女同學），從該學院6名同學中選拔4名的總結果數有（1，2，3，4），（1，2，3，5），（1，2，3，6），（1，2，4，5），（1，2，4，6），（1，2，5，6），（1，3，4，5），（1，3，4，6），（1，3，5，6），（1，4，5，6），（2，3，4，5），（2，3，4，6），（2，3，5，6），（2，4，5，6），（3，4，5，6）共15種，選拔的4名志愿者中恰有1名女同學的結果數有（1，2，3，5），（1，2，4，5），（1，3，4，5），（1，2，3，6），（1，2，4，6），（1，3，4，6），（2，3，4，5），（2，3，4，6）共8種，

故選拔的4名志愿者中恰有1名女同學的概率為P（A）=■.

（2）求選拔的4名志愿者中至少有3名男同學包括3名男同學，1名女同學，4名男同學這二種情況，有4名男同學只有（1，2，3，4）1種，即其概率為P（A）=■，

4名志愿者中恰有1名女同學的概率為P（B）=■，

故選拔的4名志愿者中至少有3名男同學的概率為P=■+■=■=■.

17 解：（1）將點M（■，■）代入得sin（■+?漬）=■， 因為，■

（2）依題意有cos?琢=■，cos?茁=■，而?琢，?茁∈（0，■），∴sin?琢=■=■，sin?茁=■=■，故sin2?琢=■，cos2?琢=cos2?琢-sin2?琢=■-■=-■，故f（2?琢-?茁）=cos（2?琢-?茁）=cos2?琢cos?茁+sin2?琢sin?茁=-■×■+■×■=■.

18解：（1）連結CO，過E作EG⊥BD，垂足為G，點C是圓弧■的三等分點，∴∠AOC=60°，

∴△AOC是等邊三角形.

又點F是AO的中點，故AC=AO=2，CF=■.

∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°，

∴BC=2■.

因為BC2+BD2=42+（2■）2=28=CD2=（2■）2，∴△CBD是直角三角形，即DB⊥BC.

因為BF2+BD2=32+42=25=DF2=52，所以△DBF是直角三角形，即DB⊥BF.

又BC∩BF=B，故DB⊥平面BCF，故平面ABDE⊥平面BCF，平面ABDE∩平面BCF=AB.

又CF⊥AB，所以CF⊥平面ABDE，故DE⊥CF.又因為DB∥EA，故EA⊥平面BCF.

在Rt△DGE中，DE=■=2■，在Rt△EAC中，EC=■=2■.

因為EC2+DE2=（2■）2+（2■）2=28=DC2=（2■）2，所以△DEC是直角三角形，即DE⊥EC.

又EC∩CF=C，故DE⊥平面CFE.

（2）多面體ACBDE是由三個三棱錐所組成的，

VACBDE=VD-BCF+VD-ECF+VE-ACF，

VD-BCF=■×■×■×3×4=2■，

VD-ECF=■×■×■×■×2■=■■，

VE-ACF=■×■×■×1×2=■.

VACBDE=VD-BCF+VD-ECF+VE-ACF=2■+■■+■=4■.

19. （1）解：當n=1時，4S1=2a1+a12，即a12-2a1=0，解得a1=2，a1=0（不合題意舍去）；

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=■an-■an-1+■a2n-■a2n-1，

整理得■（an+an-1）=■（an+an-1）（an-an-1）.

由題意得an>0，故有an-an-1=2，即數列{an}是以2為首項，2為公差的等差數列，

所以數列{an}的通項公式為an=2n（n∈N*）．

（2）假設存在k（k≥2，k∈N*），使得bk、bk+1、bk+2成等比數列，則bkbk+2=b2k+1．因為bn=lnan=ln2n（n≥2），

所以bkbk+2=ln2k·ln2（k+2）<■■=

■■<■■=ln2（k+1）2=b2k+1，

這與bkbk+2=b2k+1矛盾．

故不存在k（k≥2，k∈N*），使得bk、bk+1、bk+2成等比數列．

20解：因為拋物線y2=2px經過點Ｍ（2，－２■），故（－２■）2=4p，解得p=2.

所以拋物線的方程為y2=4x，其焦點為F（1，0），

即橢圓的右焦點為F（1，0），得c=1，又離心率為■，所以a=2，得到b2=4-1=3，故橢圓方程為■+■=1.

（2）解法1：依題意可得直線方程為l：y=x-1，由y=x-1，y2=4x，可得（x-1）2=4x，即x2-6x+1=0，因為x=■=■=3±2■，所以y=■=■=2±2■，即交點為A（3＋2■，２＋2■），

B（3－2■，２－2■），故ＡＢ＝

■

＝■＝８.

解法2：拋物線的準線為x=-1，設A（x1，y1），B（x2，y2），A，B兩點到x=-1的距離為dA，dB，由拋物線的定義可得ＡＦ＝dA＝x1＋１，ＢＦ＝dＢ＝x２＋１，故ＡB=ＡＦ+BＦ=x1+x2+2.

依題意可得直線方程為l : y=x-1，由y=x-1，y2=4x，可得(x-1)2=4x，即x2-6x+1=0，所以x1+x2=6，ＡB=x1+x2+2=6+2=8.

（3）N(-2，0)，■=(-2-x，-y) ，■=(1-x，-y)，■·■=(-2-x)(1-x)+y2=x2+x-2+y2(-2≤x≤2).

又因為y2=3-■x2，故■·■=x2+x-2+3-■x2=■x2+x+1=(■+1)2，所以當x=-2時，■·■取得最小值0；當x=2時，■·■取得最大值4.

21. 解：（1）f'(x)=ex(x2-ax+1)+ex(2x-a)=ex［x2+(2-a)x+1-a］=ex(x+1-a)(x+1).

由f ′(x)=0，可得x=a-1或x=-1.因為a＞0，故a-1＞-1.

由f ′(x)＞0可解得x＞a-1或x＜-1，由f ′(x)＜0可解得-1＜x＜a-1，

故當a＞0時，函數的單調增區間是(-∞，-1)，(a-1，+∞)；減區間是(-1，a-1).

（2）當a＞0時，若f（x）≥(a2-■a+■)e2-a對任意x∈R恒成立等價于f(x)min≥(a2-■a+■)ea-1， 因此只要求出f(x)的最小值即可.

由(1)可知a＞0時，函數f(x)在x=a-1上取得極小值，即最小值為f(a-1)=ea-1(2－a)，故ea-1(2-a)≥(a2-■a+■)ea-1，整理得a2-■a+■≤0，解得■≤a≤1，所以實數a的取值范圍為［■，1］.

(本試題由廣東省五華縣五華中學黃偉軍老師擬制)

責任編校 徐國堅