高考數學創新題解題策略

創新推動著人類社會的不斷進步，創新題在高考數學中能很好地把優秀考生和普通考生區分開來.數學創新試題相比于傳統試題來說， 具有以下鮮明的特點: 背景新穎， 內涵深刻， 設問方式靈活，要求考生進行細致觀察、認真分析、合理類比、準確歸納后才能實現， 它是以問題為核心， 以探究為途徑、以發現為目的， 考查考生創新意識和創新能力的有效題型. 本文對高考數學創新試題的六種題型進行解析及揭秘其解題策略.

1. 新型定義型試題

新型定義型試題背景新穎、構思巧妙，主要通過定義一個新概念或約定一種新運算，或給定一個新模型來創設新的問題情境，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題中提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，從而順利地解決問題，能有效地區分考生的思維品質和學習潛力.

例1. 已知集合M?哿R，若實數x0滿足：?坌t>0，?堝x∈M，0

A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ①③④

分析：本題新定義 “聚點”，結合集合、簡易邏輯及不等式知識進行綜合考查，考生只需依據新的定義概念，結合絕對值不等式知識，對定義進行驗證，即可解決問題.

解析：對于集合①0，■，■，…，若取t=■，則不存在x∈■|n∈N，滿足0■，也就是說t>■，那么取x=■，有0

例2. 對于非空集合A、B，定義運算：A?茌B={x|x∈A∪B，x?埸A∩B}，已知兩個開區間M=（a，b）、P=（c，d），其中a、b、c、d滿足a+b

A （a，b）∪（c，d） B （a，c）∪（b，d）

C （a，d）∪（b，c） D （c，a）∪（d，b）

分析：本題以集合、不等式為背景，定義一個運算，關鍵對A?茌B中的元素x∈A∪B，x?埸A∩B有透徹理解，轉化為學過的集合知識，進行知識遷移，已知條件中對于非空集合A、B，定義運算：A?茌B={x|x∈A∪B，x?埸A∩B}，可知M?茌P={x|x∈M∪P，x?埸M∩P}，而兩個開區間M=（a，b）、P=（c，d）也可以看作兩個集合M={x|a

解析：設ab=cd=t（t<0），則a<0

解題策略：（1）對新定義進行信息提取，明確新定義的名稱和符號；（2）細細品味新定義的概念、法則，對新定義所提取的信息進行加工，探求解決方法，有時可以尋找相近知識點，明確它們的共同點和不同點；（3）對新定義中提取的知識進行轉換，有效的輸出，其中對定義信息中的提取和化歸轉化是解題的關鍵，也是解題的難點.如果是新定義的運算、法則，直接按照運算法則計算即可；若是新定義的性質，一般就要判斷性質的適用性，能否利用定義外延；也可用特殊值排除等方法.

2. 能力探究型試題

隨著高中新課程標準、新教材的使用，高考對考生應變能力、創新能力和創新意識的要求逐步提高，因此能力探究型試題在各地區的高考數學試題中頻頻出現．這類試題要求考生能綜合靈活運用所學數學知識和思想方法．

例3. 已知橢圓G的中心在坐標原點，與雙曲線12x2-4y2=3有相同的焦點，且過點P（1，■）.

（１）橢圓G的方程；

（２） F1、F2是橢圓G的左焦點和右焦點，過F2的直線l∶x=my+1與橢圓G相交于A、B兩點，請問△ABF1的內切圓M的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程，若不存在，請說明理由.

分析：本題要求考生探究最值是否存在問題，可以先假設存在，利用學過的知識（本題中的解析幾何、一元二次方程求解公式、導數）推理驗證即可.

解析：（1）雙曲線12x2-4y2=3的焦點坐標為（±1，0），所以橢圓的焦點坐標為F1（-1，0），F2（1，0），設橢圓的長軸長為2a，則2a=PF1+PF2=4，即a=2，又c=1，所以b2=a2-c2=3，∴橢圓G的方程■+■=1.

（２）△ABF1的內切圓M的面積存在最大值為■?仔.

如圖，設△ABF1內切圓M（M為圓心）的半徑為r，與直線l的切點為C，則三角形△ABF1的面積等于△ABM的面積+△AF1M的面積+△BF1M的面積.即S■=■（AB+AF1+BF1）r=■[（AF1+AF2）+（BF1+BF2）]r=2ar=4r當S■最大時，r也最大， △ABF1內切圓的面積也最大，設A（x1，y1）、B（x2，y2）（y1>0，y2<0），則S■=■F1F2·y1+■F1F2·y2=y1-y2，由x=my+1，■+■=1，得（3m2+4）y2+6my-9=0，解得y1=■，y2=■，∴S■=■，令t=■，則t≥1，且m2=t2-1，有S■=■=■=■，令f（t）=3t+■，則f ′（t）=3-■，當t≥1時， f ′（t）>0， f（t）在[1，+∞）上單調遞增，有f（t）≥f（1）=4，S■≤■=3，即當t=1，m=0時，4r有最大值為3，得rmax=■，這時所求內切圓的面積為■?仔，∴存在直線l ∶ x=1，△ABF1的內切圓M的面積最大值為■?仔.

解題策略：解決探究型問題應注意三個基本問題:認真審題，確定目標；深刻理解題意；開闊思路，發散思維，運用觀察、比較、類比、聯想、猜想等帶有非邏輯思維成分的合理推理，以便為邏輯思維定向.方向確定后，借助邏輯思維，進行嚴格推理論證.

3. 類比歸納型試題

類比、歸納是重要的科學研究方法，可培養考生的創造性思維、創新精神和創造力．試題中往往給出一個命題且指出一個方向，要求考生從已知的結構出發，通過類比、歸納、應用的方式得到一般的結論或新命題．近些年高考中明顯加強了對考生歸納與類比能力的考查，即由歸納猜想類比到發現新知，滲透了從局部到整體、從特殊到一般思維方法．

例4. 定義在R上的函數f（x）滿足下列等式：

①f（2x）=2f 2（x）-1；

②f（4x）=8f 4（x）-8f 2（x）+1；

③f（6x）=32f 6（x）-48f 4（x）+18f 2（x）-1；

④f（8x）=128f 8（x）-256f 6（x）+160f 4（x）-32f 2（x）+1；

⑤f（10x）=af 10（x）-1280f 8（x）+1120f 6（x）+bf 4（x）+50f 2（x）-1．

觀察以上等式，可以推測，a+b= ．

分析：本題給出一個抽象函數f（x），從心理方面給考生造成一定的壓力，但實際是考查歸納推理，很明顯的，要求a+b的值，可從給出等式的系數看出規律：式子中所有項的系數和為1.

解析：根據歸納推理可得：式子中所有項的系數和為1，故a-1280+1120+b+50-1=1，從而a+b=112.

解題策略：求解類比推理問題的關鍵在于確定類比物，建立類比項，并對數學結論的運算、推理過程等進行類比分析，從解題的思想方法、思維策略等層面尋求內在的關聯；求解歸納推理問題的關鍵是從一些特殊的例子中尋找共同的規律．

4. 圖形信息型試題

在日常生活和生產中經常會出現圖表問題，如每日的股市曲線圖、菜場上的價目表、報紙上的有關國民經濟的統計數據表等等，都是高考命題的源泉.表格中隱藏著豐富的數據和信息及其內在聯系，對于表格的分析要能慧眼獨具，不為浮云遮望眼，透過現象看本質.看清表格的本質，問題解決也就有了基礎.

例5. 兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家曾經在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，按照點或小石子能排列的形狀對數進行分類，如下圖中的實心點個數1，5，12，22，…，被稱為五角形數，其中第1個五角形數記作a1=1，第2個五角形數記作a2=5，第3個五角形數記作a3=12，第4個五角形數記作a4=22，…，若按此規律繼續下去，則 a5= ，若an=145，則n= ．

分析：先對前4個圖形的五角形數1，5，12，22，…進行分析，可知道5-1=4，12-5=7，22-12=10，可以發現：4，7，10構成公差為3的等差數列，歸納可知道：從第2個五角形數起，每個五角形數和前一個五角形數之差成等差數列，故利用等差數列知識求解.

解析：由分析可知道，a5-a4=13，因為a4=22，所以a5=35；由題意，a2-a1=4，a3-a2=7，a4-a3=10，...，an-an-1=4+[（n-1）-1]×3=3n-2將上述各式左右分別相加得：an-a1=4+7+10+…+（3n-2）=■=■，所以an-a1=■，又因為a1=1，所以an=■+1=■，若an=145，則■=145，整理及因式分解得：（n-10）（3n+29）=0，解得n=10或-■（舍去），故若an=145，則n=10.

解題策略：圖形或者圖像的力量比文字更為簡潔而有力，挖掘其中蘊涵的有效信息，正確理解問題是解題關鍵，對圖形或者圖像的獨特理解很多時候成為問題解決中的亮點.

5. 實際應用型試題

數學生活化是新課程理念之一．實際應用型試題以社會生活熱點為背景， 諸如環保、經濟、科技型等，重點考查考生對現實問題的數學理解，要求考生依據題目提煉相關的數學模型，將現實問題轉化為數學問題，用數學知識與方法加以解決.

例6. 某省計劃2015年末“縣縣通高速”，如圖，某縣計劃待建的高速公路MN的兩側有四個村鎮：A1、B1、C1、D1通過小路和待建高速公路相連，各路口分別是A、B、C、D，現要在待建高速公路上建一個高速公路入口，為使各鎮村民到高速公路入口所走的路程總和最小，該高速公路入口應建在（ ）

A． A處

B． D處

C． B、C之間的任何一處（包括B、C）

D． A、B之間的任何一處（包括A、B）

分析：本題是實際應用問題，由題意，各鎮村民到高速公路入口所走的路程可以轉化為兩點間距離問題，即轉為絕對值不等式問題求解.

解析：通過分析法將總長度最小轉化為到A，B，C，D四地的距離和最小，通過分析進一步轉化為應建在A，D之間.由于四個村鎮的村民到路口A、B、C、D的距離是固定的，故要使所走的路程總和最小，只需使其到A、B、C、D四地的距離和最小，又高速公路入口在A、D之間時的總路程和一定比高速公路入口在A、D之外要小，所以應建在A、D之間，又由于這時A與D到高速公路入口的總路程和就為AD，故只需使高速公路入口到B、C兩地的距離最小即可，故應建在B、C間的任何一處（包括B、C）.答案選C.

解題策略：近年來實際問題備受高考青睞， 解決這類問題的關鍵是熟記主要的數學模型：如函數與導數模型、數列模型、不等式模型、三角模型、解析幾何模型、立體幾何模型、線性規劃模型、算法模型、概率統計模型等模型，然后根據實際問題進行分析，建立相應的數學模型，進行求解、檢驗.

6. 綜合知識型試題

綜合知識型試題包括數學學科內各個章節知識交匯及跨學科綜合兩種類型，考查考生利用數學知識和思想方法分析問題和解決問題的能力，具有良好的區分度.命制綜合知識型試題目的是方便重點高校挑選優秀考生.

例7. 神舟飛船在研制過程中，需要測量某物理量，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到a1，a2，…，an，共n個數據.研制組規定所測量物理量的“最佳近似值”a是這樣一個量：與其他近似值比較，a與各數據的差的平方和最小.依此規定，從a1，a2，…，an推出的a= .

分析：本題以神舟飛船為背景，以物理學科知識點為載體，實際是考查了二次函數最小值的問題.

解析：設a與各數據的差的平方和為y，則y＝（a－a1）2＋（a－a2）2＋…＋（a－an）2＝na2－2（a1＋a2＋…＋an）a＋a12＋a22＋…＋an2，因n＞0，由二次函數的性質得，y取最小值時，a的值為-■=■（a1＋a2＋…＋an）.

解題策略：數學學科內各個章節知識交及學科間綜合創新題注重了數學的現實性與時代性，關注生活、關注熱點，命題呈現題意新穎、題型創新的特點，而跨學科的題目通常與物理、化學、生物等學科交叉.解決這一類題目的關鍵是從題目中構造數學模型，利用數學知識來解決.通常用到的數學知識有函數、數列、不等式、向量、概率等.

（作者單位：廣東信宜礪儒中學）

責任編校 徐國堅