高考數學選擇題的題型特點及求解方法

題型特點：高考數學選擇題具有短小性、基礎性、靈活性的特點.選擇題容量大，考查面廣，它往往不拘泥于具體的知識點，而是將數學知識和思想方法融為一體，突出思想方法，選擇題能很好地考查基本運算能力、邏輯思維能力和對基礎知識的掌握及運用的熟練程度.在高考中，做完選擇題一般控制在24分鐘至30分鐘內，花在解答每道題上面的時間平均是2分鐘至2.5分鐘.

解答選擇題的技巧和方法：解答高考數學選擇題既要求準確破解，又要快速選擇，正如《考試說明》中明確指出的，應“多一點想的，少一點算的”. 因此，在解答時應該突出一個“選”字，盡量減少書寫解題過程，在對照選擇支的同時，多方考慮間接解法，依據題目的具體特點，靈活、巧妙、快速地選擇解法，以便快速智取.

下面略舉數例加以說明.

1. 特值檢驗法

對于具有一般性的數學問題，我們在解題過程中，可以將問題特殊化，利用問題在某一特殊情況下不真，則它在一般情況下不真這一原理，達到去偽存真的目的.

例1． △ABC的三個頂點在橢圓4x2+5y2=6上，其中A、B兩點關于原點O對稱，設直線AC的斜率k1，直線BC的斜率k2，則k1k2的值為（ ）

A． - ■ B． - ■ C． ■ D． ■

分析：題中沒有給定A、B、C三點的具體位置，不妨令A、B分別為橢圓的長軸上的兩個頂點，即A（-■，0）、B（■，0），C為橢圓的短軸上的一個頂點，即C（0，■），由此即得.

解析：由分析得k1k2=■·■=

-■，故選B.

點評：對于類似于本題中選擇支的結論為定值的題型，通常用特值檢驗法，我們只須把題中的點用特殊點代替之，即可得到結論.

例2． △ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，B是A和C的等差中項，則a＋c與2b的大小關系是（ ）

A. a＋c<2b B. a＋c>2b

C. a＋c≥2b D. a＋c≤2b

分析：題中沒有給定三角形的具體形狀，不妨特殊化，令A=B=C=60° ，則可排除A、B，再取角A，B，C分別為30° ，60° ，90° ，可排除C，故答案為D.

點評：對于類似于本題中選擇支的結論為比較大小的三角形題型，通常用特值檢驗法，我們只須把題中的角A、B、C用特殊角代替之，即可得到結論.

例3． 已知m為非零常數，對x∈R，有f（x+m）=■恒成立，則f（x）的最小正周期是（ ）

A． m B． 2m C． 3m D． 4m

分析：由題意不妨取特殊函數f（x）=tanx即可得

出答案.

解析：tan（x+m）=■=tan（■+x），可知：m=■，而tanx的最小正周期為?仔.

∴T=4×■=4m，故選D.

點評：對于類似于本題中的抽象函數題型的選擇題，通常用特殊函數法，我們只須把題中的函數用特殊函數f（x）=tanx代替之，即可得到結論.

2. 剔除法

利用已知條件和選擇支所提供的信息，從四個選項中剔除掉三個錯誤的答案，從而達到正確選擇的目的.

例4． 設函數f（x）=2－x-1，x≤0■，x＞0若f（x0）＞1則x0的取值范圍是（ ）

A.（-1，1） B.（-1，+∞）

C.（-∞，-2）∪（0，+∞） D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

分析：由條件可令x0=■通過驗證即可得出答案.

解析：令x0=■，則f（■）=■＜1，不合題意，可剔除A、B、C，選D.

點評：剔除法是充分利用選擇題中單選題的特征，通過分析、推理、計算、判斷， 逐一剔除錯誤支，從而得出正確支的目的.

3. 數形結合法

由題目條件，作出符合題意的圖形或圖象，借助圖形或圖象的直觀性，經過簡單的推理或計算，從而得出答案的方法.

例5． 圓A：（x-3）2+（y-5）2=1，圓B：（x-2）2+（y-6）2=1，P是平面內一動點，過P作圓A和圓B的切線，切點分別為D、E，若｜PD｜=｜PE｜，O（0，0），則｜PO｜的最小值為（ ）

A.■ B.■ C. 3■ D. ■

分析：本題應先求出P點的軌跡，注意由｜PD｜=｜PE｜及切線長公式易知點P的軌跡是線段AB的垂直平分線，從而由點到直線的距離公式即可求得答案.

解析：由切線長公式得｜PD｜=｜PE｜?圯｜PA｜2-1=｜PB｜2-1?圯

｜PA｜=｜PB｜，所以P點的軌跡是線段AB的垂直平分線，由A（3，5），B（2，6）得P點的軌跡方程是x-y＋3＝0，由點到直線的距離公式得｜PO｜的最小值為d=■，選D.

點評：通過數形結合，發現問題的幾何背景是P點的軌跡是線段AB的垂直平分線，因此數形結合的直觀性簡化了運算過程.

4. 遞推歸納法

通過題目條件進行推理，尋找規律，從而歸納出正確答案的方法.

例6． 已知{an}數列滿足a1=2， an+1=1－■，則a332等于（ ）.

A． 1 B． ■ C． －1 D． 2

分析：由分式遞推式 an+1=1－■及a332中的下標比較大可推測，該數列｛an｝是周期數列.

解析：因為 an+1=1－ ■所以 an+1=1－■ =－ ■， 從而an+3= 1－■=1＋an－1=an ，即數列｛an｝是以3為周期的周期數列.又 a1=2，a2= 1-■=■，所以有a332=a110×3+2=a2=■，故選B.

點評：如果數列{an}滿足：存在正整數M、T，使得對一切大于M的自然數n，都有an+T=an成立，則數列{an}為周期數列.

5. 逆推驗證法（代答案入題干驗證法）

將選擇支代入題干進行驗證，從而否定錯誤選擇支而得出正確選擇支的方法.

例7． 設集合M和N都是正整數集合N*，映射f:把集合M中的元素n映射到集合N中的元素2n＋n，則在映射f下，象37的原象是（ ）

A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

分析：依題意2n＋n=37，四個選項中只有n=5是方程的解.

解析：將各選擇支逐一代入題干驗證可得答案C.

點評：凡題干提供的信息較少或結論是一些具體的數學問題，可用逆推驗證法從選擇支入手，逐一檢驗是否與題干相容而作出選擇.

6. 正難則反法

例8． 8顆骰子同時擲出，共擲4次，至少有一次全部出現一個點的概率是（ ）

A. [1-（■）8]4 B. [1-（■）5]8

C. 1-[1-（■）4]8 D. 1-[1-（■）8]4

分析：此題若從正面解決，則分類太多，容易造成遺漏或重復，比較難.但若從它的反面去解決就比較容易多了.

解析：8顆骰子出現一個點的概率為（■）8，不能出現一個點的概率為1-（■）8，4次不都出現一個點的概率為 [1-（■）8]4 ，4次至少有一次都出現一個點的概率為1-[1-（■）8]4，故選D.

點評：從題的正面解決比較難時，可從選擇支出發逐步逆推找出符合條件的結論（或從反面出發得出結論）.

7. 特征分析法

對題設和選擇支的特點進行分析，發現規律，歸納得出正確判斷的方法.

例9． 256-1可能被120和130之間的兩個數所整除，這兩個數是（ ）

A. 121，123 B. 123，125

C. 125，127 D. 127，129

分析：注意本題中256-1是可以用平方差公式因式分解的特點，因此可考慮用平方差公式進行因式分解而得解.

解析：由256-1=（228+1）（214+1）（27+1）（27-1）=（228+1）（214+1）·129·127，故選D.

點評：凡能根據題目所提供的信息，如數值特征、結構特征、位置特征等，進行快速推理迅速作出判斷的問題，可用特征分析法.

8. 估值選擇法

例10． 用1、2、3、4、5這五個數字，組成沒有重復數的三位數，其中奇數共有（ ）

A. 36個 B. 60個 C. 24個 D. 28個

分析：由于五個數字可組成A35=60個沒有重復數字的三位數，其中奇數超過一半，但又不全是奇數，而B是所有不重復的三位數，C、D都沒有超過一半，故選A.

點評：有些問題（比如本題），由于題目條件限制，無法（或沒有必要）進行精準的運算和判斷，此時只能借助估算，通過觀察、分析、比較、推算，從面得出正確判斷，這種方法叫估值選擇法.

誤區警示：在解答數學選擇題時常見的誤區有：對某個概念的認識模糊、對相關概念的的交叉混淆、對隱含條件的大意疏忽、對數形特征的粗心錯覺、對嚴謹命題的以偏概全、對邏輯關系的混亂和對運算法則的呆板等都是造成錯誤的根本原因.

那么，在解選擇題中，如何來繞開這些誤區呢？我認為應注意做到下列幾點：1.認真審題、嚴密推理; 2. 以特殊代替一般時注意解題的完整性; 3. 注意字母條件的限制而造成解題過程中每一步的不合理性和不嚴密性; 4. 認真理解基礎知識概念，解題中不能隨意約去可能為零的因式; 5.注意挖掘題設或題目中隱含的已知條件.

綜上，我們今后在解題的過程中，要根據題型特征，優先考慮問題的某些方面，可以有效地防止誤解和漏解.解題時還應特別注意：數學選擇題的四個選擇支中有且僅有一個是正確的，因而在求解時對照選擇支就顯得非常重要，它是快速選擇、正確作答的基本前提.

（作者單位：貴州省龍里中學）

責任編校 徐國堅