論高中函數(shù)學(xué)習(xí)的困境和教學(xué)策略

摘 要：函數(shù)是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)的基石，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。作為紐帶，函數(shù)把中學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)各部分知識有效聯(lián)系在一起，同時也為解析幾何學(xué)習(xí)所需的數(shù)形結(jié)合思想奠定了基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；抽象；思維；策略

中圖分類號：G421 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2012）13-070-1

一、高中生陷入函數(shù)學(xué)習(xí)困境的原因

1.函數(shù)知識體系的復(fù)雜。函數(shù)概念包含兩個本質(zhì)屬性（變量和對應(yīng)法則）及一些非本質(zhì)屬性（如集合、定義域、值域等），還有函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)。中學(xué)數(shù)學(xué)的函數(shù)又包含：對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)列（離散型函數(shù)）等多種類型。同時函數(shù)還涉及到很多的子概念，如映射、非空數(shù)集、變量（包括自變量、因變量）、定義域、值域、象、原象、對應(yīng)、對應(yīng)法則等。這些構(gòu)成了函數(shù)的復(fù)雜知識體系。

2.“變量”概念的復(fù)雜性和辯證性。“變量”是函數(shù)概念的本質(zhì)屬性。“變量”的關(guān)鍵在于“變”，而“變”在現(xiàn)實中與時、空相關(guān)聯(lián)，但在數(shù)學(xué)中對時、空是沒有界定的。另外，數(shù)學(xué)中的“變量”是變化的、不確定的，而數(shù)學(xué)中的變量則包括常量，是確定的。由于日常的變量概念對學(xué)生的干擾，使很多學(xué)生認為“Y=3中，Y的值不會隨X的變化而變化，它不是函數(shù)”。函數(shù)概念中變量的意義具有一般性，它可以是數(shù)、點、有形之物，甚至也可以是無形的。在教學(xué)實踐中，教師往往沒有把“變量概念的理解”作為教學(xué)難點，課堂上只是給出變量（自變量、因變量）這個詞，而沒有關(guān)注學(xué)生是否真正理解了變量的內(nèi)涵。如果不能夠理解好變量的概念，必會影響學(xué)生對函數(shù)概念的理解。

3.函數(shù)的表征形式豐富多樣。函數(shù)主要的七種表征類型有：①解析式；②圖像式；③表格式；④集合箭圖式；⑤函數(shù)機器式；⑥序偶式；⑦通俗語言式。這七種類型還有很多變式，在解題過程中，要求學(xué)生在這幾種類型間能靈活地轉(zhuǎn)換，需要把抽象思維和形象思維結(jié)合起來，這對高中生而言，無疑是一種思維上的挑戰(zhàn)。

4.函數(shù)符號的抽象性。函數(shù)概念的符號化是函數(shù)學(xué)習(xí)的難點，y=f(x)表示了一種即是廣義的又是特殊的對應(yīng)關(guān)系。例如，f表示任意一個函數(shù)，但又是一個確定的函數(shù)。這種含義，學(xué)生僅從字母表面是很難理解的。另外，學(xué)生也很難通過“x”或者“y”在頭腦中形成定義域，值域的概念。“f”的抽象性和隱蔽性，對學(xué)生的思維能力提出了新的高水平的要求，這也大大增加了函數(shù)學(xué)習(xí)的難度。

5.學(xué)生的思維發(fā)展。初中生以形式邏輯思維水平為主；剛進入高中學(xué)習(xí)的學(xué)生，思維剛脫離了經(jīng)驗型的邏輯思維，學(xué)會了對一些事物進行淺層次的抽象思考，但仍然無法上升到辯證思維階段。這是認知發(fā)展的階段性客觀特點，這一特點限制了學(xué)生對于抽象的函數(shù)概念的理解和把握，導(dǎo)致在學(xué)習(xí)函數(shù)時，對函數(shù)對應(yīng)變化的相依關(guān)系無法理解，進而成為高中函數(shù)學(xué)習(xí)的軟肋。

二、促進函數(shù)學(xué)習(xí)的幾點策略

1.著眼大局，注重早期滲透。像函數(shù)這種的核心概念，它的學(xué)習(xí)需要學(xué)生對一些相關(guān)內(nèi)容有初步的認知和理解，比如：數(shù)學(xué)符號、變量的認識、變量的認識、變量間的制約關(guān)系等。因此在教學(xué)中，雖然不屬于函數(shù)教學(xué)的內(nèi)容，但教師應(yīng)著眼于整個數(shù)學(xué)課程，有意識地逐步滲透給學(xué)生一些關(guān)于函數(shù)的視角和想法。比如：引導(dǎo)學(xué)生比較二元一次方程的區(qū)別。設(shè)計系列問題引導(dǎo)學(xué)生思考，獲得變量的認識。

2.循序漸進，注意適時適度。教學(xué)中應(yīng)避免急于求成，否則不僅不能幫助學(xué)生理解函數(shù)符號，反而會干擾學(xué)生起初建立起的初步認識。應(yīng)著眼于整個數(shù)學(xué)課程，逐層深入，甚至于還需要循環(huán)遞進。函數(shù)知識體系雖復(fù)雜，但是它們之間環(huán)環(huán)相扣，有很強的邏輯聯(lián)系，例如函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)奇偶性都是有助于函數(shù)結(jié)構(gòu)屬性的認識的。函數(shù)學(xué)習(xí)的早期尤其要注意循序漸進，使學(xué)生把函數(shù)的基礎(chǔ)知識掌握好。若妄圖“一口吃成個胖子”，就會像一座基石不穩(wěn)的大廈，面臨倒塌的危險。

3.促進概念的理解。首先，好的問題解決過程，能有效地促進學(xué)生對概念的理解，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)很大程度上是在做題的過程中得以完成的。在講解解題過程的時候，要注意滲透到函數(shù)概念的理解，淡化解題程序，這不僅有助于學(xué)生弄懂函數(shù)的基本概念，更有助于學(xué)生形成函數(shù)概念與問題解決策略之間的關(guān)聯(lián)。其次，是知識網(wǎng)絡(luò)圖的建立。通過建立數(shù)學(xué)概念的知識網(wǎng)絡(luò)圖，便于學(xué)生在舊的概念基礎(chǔ)上接受新的概念，形成新舊知識的整合，不僅有利于記憶，也利于知識的應(yīng)用。

4.強調(diào)函數(shù)各種表現(xiàn)形式間的轉(zhuǎn)化。學(xué)生通過函數(shù)表示的學(xué)習(xí)，已經(jīng)知道了函數(shù)有多種表現(xiàn)形式，但并不意味著他們能夠順利實現(xiàn)各種形式之間的有效聯(lián)系，快速的轉(zhuǎn)化。一提到函數(shù)，在學(xué)生頭腦中更多的反映出的是解析式，而不是同時反映出多種表現(xiàn)形式，能夠從中選擇最適合的形式解決問題。在研究具體函數(shù)時，教師要注意訓(xùn)練學(xué)生使用多種形式表現(xiàn)同一個函數(shù)，并鼓勵學(xué)生討論哪一種表現(xiàn)形式最利于問題的解決，尤其是在日常聯(lián)系中，教師要注意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。

5.在相關(guān)內(nèi)容中，提升對函數(shù)的認識，升華對函數(shù)的理解。函數(shù)的教學(xué)不能僅停留于函數(shù)這一章，而應(yīng)著眼于整個數(shù)學(xué)課程，去落實函數(shù)的理解。比如：在“一元二次不等式求解”教學(xué)中，可以樹立函數(shù)的觀點去看待不等式求解，掌握函數(shù)與不等式的聯(lián)系，明確函數(shù)圖象相對于x軸的位置與不等式解集的關(guān)系；在解析幾何學(xué)習(xí)中，理清函數(shù)解析式與曲線方程、函數(shù)圖象與方程的曲線的聯(lián)系與區(qū)別；在涉及“范圍、最值”的數(shù)學(xué)問題求解中，樹立函數(shù)的思想，尋找未知量與已知量的依賴關(guān)系，建立它們的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)求值域或最值解決。這樣即通過函數(shù)知識有效聯(lián)系了高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，也活躍了學(xué)生解決問題的思維。