函數中“對應法則”的本質及應用

摘 要：學生在學習函數時有時候會覺得難，主要是沒有入門，對函數的概念沒有徹底地搞清。

關鍵詞：本質；相同的函數；雙重特性

中圖分類號：G421 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2012）13-089-1

本文通過對函數的對應法則進行剖析、應用，揭示函數對應法則的本質，以期能達到培養學生靈活解決問題的目的。

一、函數的對應法則的實質

“f”只是個代號，重要的是要弄清對應法則的實質，輸入的都是R中的數，如函數f(x)＝x2－x－3的對應法則的含義是指原象的平方與原象的差，再與3的差，明確了“自變量”x與“應變量”x2－x－3的對應關系。而x2－x－3是函數f(x)的表達式，x2＋x-3是函數f(x＋1)的表達式。

二、相同的函數的條件

當兩個函數的定義域，對應法則，值域相同時，我們就說兩個函數相同，但是當缺少值域這個條件時，兩個函數的輸入的數的取值集合相同，輸出的途徑相同，所得的值域也一定相同。

例1 若f(12x－1)=2x+3，且f(m)=6，則m=

分析 對同一函數定義域，對應法則，值域應該是相同的

解 ∵f(12x－1)=2x+3，且f(m)=6

∴2x+3=6時12x－1=m

∴x=32，m=－14

小結 利用相同函數這一性質可以求值，求參數，還可以對一些函數進行等價轉化，所以很有必要對函數的定義，特別是對應法則的意義理解透徹。

三、函數f(x)中“x”的雙重特性與函數的定義域

函數y＝f(x)中，字母“x”具有雙重身份：(1)函數的自變量，它的范圍反映了函數的定義域；(2)函數的作用法則作用的對象，它反映了對應法則“f”對什么范圍內的對象作用才有意義。

在同一 題中的“f”是同一個對應法則，即對應法則相同，且括號里的取值集合也相同。

如函數f(x)的定義域是［1，2］，就是指自變量“x”的范圍是［1，2］，同時也說明函數 f(x)的對應法則f只有對［1，2］中的數作用才有意義，所以在同一題中函數 f(2－x)中令2－x=t，“f”的作用對象“t”的取值范圍也應該是［1，2］。所以1≤2－x≤2，得0≤x≤1，所以函數f(2－x)的定義域為［0，1］。

四、函數中對應法則的應用

在我們高中數學函數題型中經常會遇到對應法則的應用。下面我將一些常見的應用羅列給大家，希望對大家有所幫助。

1．利用對應法則求函數的表達式

例2 若函數f(x)滿足f(x－3)＝x2，試求函數f(x)的表達式。

分析 求函數f(x)的表達式，關鍵是明確f(x)的對應關系，而代數式 x2是f的作用對象x－3的表達式，不能直接看出對應法則f的實質，因此，關鍵是尋找出對應法則 f作用對象的方式。

解法 由 f(x－3)＝x2＝［(x－3)＋3］2．得f(x)＝(x＋3)2．

小結 從本例可以看出，函數的表達式要求用對應法則的作用對象來表示，明確函數關系，解法1的特征是將對應法則 f的作用對象看成是一個整體t，這樣，找出x關于t的函數關系，再代入所給的代數式，就間接得到了函數的表達式，是換元法；解法2的特征是通過所給的代數式，直接將代數式表示成作用對象的表達式，從而直接得出函數的表達式，采用的是整體配湊的方法。

2．利用對應法則求函數單調區間

在求函數的單調區間的時候，很多同學難以理解整體的數學思想如何應用，下面筆者將舉例說明：

例３ 已知函數f(x)=2sin(2x+π3) 試求函數f(x)的單調增區間。

分析 y=sinx的單調增區間為(－π2+2kπ，π2+2kπ)，k∈R，

即當x取(－π2+2kπ，π2+2kπ)k∈R的值時y=sinx的對應法則sin隨著x的增大y的值也增大。

那么2x+π3作為整體中的取值也應該是(－π2+2kπ，π2+2kπ)k∈R

解 ∵－π2+2kπ<2x+π3<π2+2kπ k∈R

∴－5π12+kπ< x< π12+kπ k∈R

∴函數f(x)的單調增區間為（－5π12+kπ， π12+kπ）k∈R

小結 求函數的單調區間通常是利用整體思想，它的實質還是因為對應法則需要整體思想，這樣解決類似的問題就容易理解了。

3．對應法則在函數對稱性上的應用

函數的奇偶性實質是對稱性的特例，所以我們是通過由特殊到一般的歸納思想學習了函數的對稱性，但是在抽象函數的對稱性的理解上，有些同學還有盲點。

例４ 若x=1是函數y=f(2x)的一條對稱軸，則y=f2x－3的一條對稱軸是

分析 對于這道題很多學生是利用函數圖像來解決的，對應法則的實質是對定義域中的值必須對應唯一值，x=1是函數y=f(2x)的一條對稱軸，說明在f的作用下輸出的是2時具有對稱軸這一特征，那么2x－3時也應具有相同的特征，即x=52是y=f(3-2x)的一條對稱軸。

小結 對于抽象函數求對稱軸和對稱中心都可以使用這種方法，它的實質還是利用對應法則的整體性的把握，是數學中的整體思想。

［參考文獻］

［1］蔡上鶴．高中數學新教材第二章教學問答．中學數學教學參考，2001（09）．

［2］劉云章．打開你的數學思路．江蘇科學技術出版社，2009(12)．

［3］張松年．深刻理解函數對應法則的本質，突破求函數解析式的難點．新課程數學網，2006(06)．