推理與證明

推理是數學的基本思維過程，高中數學課程的重要目標就是培養和提高學生的推理能力. 由于解答高考試題的過程就是推理的過程，因此本部分內容的考查將會滲透到每一個高考題中. 在復習時，應注意理解常用的推理的方法，了解其含義，掌握其過程.

例1 設函數[f(x)#8201;(x∈R)]為奇函數，[f(1)=12]，[f(x+2)=f(x)+f(2)]，則[f(5)=]（ ）

A. [0] B. [1] C. [52] D. [5]

解析 法一：利用類比推理.

本題為抽象函數，只給出了性質，沒有給出具體函數及特征，未給出解析式. 根據給出性質，與正比例函數相似，故可用正比例函數[y=kx]進行類比，由于[f(1)=12]，則[f(x)=12x]，該函數是奇函數，且滿足[f(1)=12]， [f(x+2)=f(x)+f(2)]，即該函數符合題設條件，則[f(5)=52]，選C.

法二：利用演繹推理.

∵[f(x+2)=f(x)+f(2)]，令[x=-1]，

則[f(-1+2)=f(-1)+f(2)]，

∴[f(1)=f(-1)+f(2)]，

而[f(x)#8201;(x∈R)]為奇函數，[f(1)=12]，

則[f(-1)=-f(1)=-12]，

∴[f(2)=1]，∴[f(x+2)=f(x)+1]，

再令[x=1]得，[f(3)=f(1)+1=32]，

∴[f(5)=f(3+2)=f(3)+1]=[52]，選C.

點撥 本題的兩種解題途徑，其一是類比推理，其二是演繹推理；如果作為解答題，類比推理的結論是不可靠的，作為選擇題，由于四個選項中只有一個是正確的，暗示著符合題目的條件任何函數[f(x)]，則[f(5)]的值不會改變，既然如此，可選取一個特殊函數即可. 對于抽象函數的問題可以通過類比方法得出結論. 幾種常見的抽象函數的類比函數可見下表：

[函數[f(x)]滿足的條件\\可類比函數\\[f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)]\\正比例函數 [y=kx]\\[f(x1+x2)=f(x1)f(x2)]\\指數函數[y=ax]（[a>0]，且[a≠1]）\\[f(x1x2)=f(x1)+f(x2)]\\對數函數[y=logax]（[x>0)]\\[f(x1x2)=f(x1)f(x2)]\\冪函數[y=xn]\\[f(x1)+f(x2)=2f(x1+x22)f(x1-x22)]\\余弦函數[y=cosx]\\]

例2 在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第[2，3，4，#8943;]，[n]堆最底層（第一層）分別按圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第[n]堆第[n]層就放一個乒乓球，以[f(n)]表示第[n]堆的乒乓球總數，則[f(3)=] ；[f(n)=] （答案用[n]表示）.

[…]

分析 要求出[f(3)]的值不難，但要求出[f(n)]的表達式，則必需尋找規律，能否從特殊到一般，探索其一般規律；如果[f(n)]的規律難找，可先求第[n]堆乒乓球的每一層的乒乓球的數量規律，然后再求這[n]層的乒乓球數量之和即為所求的[f(n)].

解 法一：利用歸納推理.

設第[n]堆底層的乒乓球的數量為[an]，

則[a1=1]，[a2=1+2=3]，[a3=1+2+3=6]，…，

[an=1+2+3+#8943;+n=n(n+1)2]，

根據題意，第[n]堆乒乓球的數量等于從第1堆開始到第[n]堆每堆最底層球數總和，即

[f(n)=a1+a2+#8943;+an=12[(12+22+32+#8943;+n2)+(1+2+3+#8943;+n)]]

故[f(n)=12(n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2)]

[=n(n+1)(n+2)6].

法二：利用遞推關系.

由于第[n]堆底層的乒乓球的數量為

[1+2+3+#8943;+n=n(n+1)2=12(n2+n)，]

而第2堆乒乓球比第1堆多一層，即多了第2堆的底層，則[f(2)-f(1)=12(22+2)]，

第3堆乒乓球比第2堆多一層，即多了第2堆的底層，則[f(3)-f(2)=12(32+3)]，

…

第[n]堆乒乓球比第[(n-1)]堆多了一層，即多了第[n]堆的底層，則[f(n)-f(n-1)=12(n2+n).]

以上[n]個不等式相加得

[f(n)-f(1)=12[(22+32+#8943;+n2)+(2+3+#8943;+n)]，]

而[f(1)=1]，

故[f(n)=12[(12+22+32+#8943;+n2)+(1+2+3+#8943;+n)]]

[=12(n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2)]

[=n(n+1)(n+2)6].

法三：利用組合數的性質.

設第[n]堆乒乓球底層的的數量為[an]，

則[a1=1]，[a2=1+2=3]，[a3=1+2+3=6]，…

[an=1+2+3+#8943;+n=n(n+1)2=C2n+1]，

根據題意，第[n]堆乒乓球的數量等于從第1堆開始到第[n]堆每堆最底層球數總和，即

[f(n)=a1+a2+#8943;+an=C22+C23+C24+#8943;+C2n+1，]

而[C22=C33]，

則[f(n)=C33+C23+C24+#8943;+C2n+1]

[=C24+#8943;+C2n+1=#8943;=C3n+2，]

因此[f(n)=n(n+1)(n+2)6].

法四：歸納—猜想—證明.

由于[f(1)=1=1×2×36]，[f(2)=4=2×3×46]，

[f(3)=10=3×4×56，]…

猜想[f(n)=n(n+1)(n+2)6].

下面用數學歸納法證明該結論.

（1）顯然[n=1]時，猜想成立；

（2）假設[n=k]時猜想成立，

即[f(k)=k(k+1)(k+2)6]，

當[n=k+1]時，由法二知：

[f(k+1)-f(k)=12[(k+1)2+(k+1)]]

∴[f(k+1)=12[(k+1)2+(k+1)]+f(k)]

[=12[(k+1)2+(k+1)]+k(k+1)(k+2)6]

故[f(k+1)=16(k+1)(k2+5k+6)]

[=16(k+1)[(k+1+1][(k+1)+2]，]

所以[n=k+1]時，猜想也成立.

綜上，對任意正整數[n]猜想均成立，

因此[f(n)=n(n+1)(n+2)6].

點撥 本題是一道既考查合情推理能力又考查演繹推理能力的題. 尋找第[n]堆乒乓球每一層的數量規律，需要觀察、歸納、猜想的思想，再求和時需要嚴密的邏輯推理. 法三中求和大膽聯想到組合數，法四則利用歸納猜想，需要較強的數學領悟能力. 法三、法四供大家參考.

例3 已知[a、b、c∈(0，1)]，求證：[(1-a)b、][(1-b)c、][(1-c)a]不能同時大于[14].

證 法一：假設三式同時大于[14]，

即[(1-a)b>14，][(1-b)c>14，][(1-c)a>14.]

[∵ a、b、c∈(0，1)]，

[∴]三式同向相乘得[(1-a)b(1-b)c(1-c)a>164]，

又[(1-a)a≤(1-a+a2)2=14.]

同理[(1-b)b≤14，][(1-c)c≤14.]

[∴ (1-a)b(1-b)c(1-c)a≤164]，

這與假設矛盾，故原命題得證.

法二：假設三式同時大于[14]，

[∵ 00]，

[(1-a)+b2≥(1-a)b>14=12，]

同理[(1-b)+c2>12，][(1-c)+a2>12，]

三式相加得[32>32]，這是矛盾的，

故假設錯誤，所以原命題正確.

點撥 “不能同時大于[14]”包含多種情形，不易直接證明，可用反證法證明，即正難則反.

當遇到否定性、唯一性、無限性、至多、至少等類型問題時，常用反證法.

用反證法的步驟是：

①否定結論[#8658;A#8658;B#8658;C]；

②而[C]不合理[與公理矛盾，與題設矛盾，與假設自相矛盾;]

③因此結論不能否定，結論成立.

例4 用數學歸納法證明等式 ：

[1-12+13-14+#8943;+12n-1-12n=1n+1+1n+2][+#8943;+12n]對所以[n∈N]均成立.

證明 （1）當[n=1]時，

左式=[1-12=12]，右式=[11+1=12]，

∴左式=右式，等式成立.

（2）假設當[n=k(k∈N)]時等式成立，

即[1-12+13-14+#8943;+12k-1-12k]

[=1k+1+1k+2+#8943;+12k]，

則當[n=k+1]時，

[1-12+13-14+#8943;+12k-1-12k+12k+1-12k+2]

[=(1-12+13-14+#8943;+12k-1-12k)+12k+1-12k+2]

[=(1k+1+1k+2+#8943;+12k)+12k+1-12k+2]

[=1k+2+1k+3+#8943;+12k+1+(1k+1-12k+2)]

[=1k+2+1k+3+1k+4+#8943;+12k+1+12k+2]

[=1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+#8943;]

[+1(k+1)+k+12(k+1).]

即[n=k+1]時，等式也成立，

由（1）（2）可知，等式對[n∈N]均成立.

點撥 在利用歸納假設論證[n=k+1]等式成立時，注意分析[n=k]與[n=k+1]的兩個等式的差別. [n=k+1]時，等式左邊增加兩項，右邊增加一項，而且右式的首項由[1k+1]變為[1k+2]. 因此在證明中，右式中的[1k+1]應與-[12k+2]合并，才能得到所證式. 因而，在論證之前，把[n=k+1]時等式的左右兩邊的結構先作分析常常是有效的.

由本例可以看出，數學歸納法的證明過程中，要把握好兩個關鍵之處：一是[f(n)]與[n]的關系；二是[f(k)]與[f(k+1)]的關系.

例5 用數學歸納法證明：

[(1+11)(1+13)(1+15)#8943;(1+12n-1)>2n+1][(n≥2，n∈N)].

證明 （1）當[n=2]時，

左式=[(1+11)(1+13)=83=649]，右式=[5]，

∵ [649>5]， ∴[649>5]，

即[n=2]時，原不等式成立.

（2）假設[n=k(k≥2， k∈Z)]時，不等式成立，

即[(1+11)(1+13)(1+15)#8943;(1+12k-1)>2k+1]，

則[n=k+1]時，

左邊=[(1+11)(1+13)(1+15)#8943;(1+12k-1)(1+12k+1)]

[>2k+1(1+12k+1)=2k+22k+1]

右邊=[2k+3]，要證左邊>右邊，

只要證[2k+22k+1>2k+3]，

只要證[2k+2>(2k+3)(2k+1)]，

只要證[4k2+8k+4>4k2+8k+3，]

只要證4>3.

而上式顯然成立，所以原不等式成立，

即[n=k+1]時，左式>右式.

由（1）（2）可知，原不等式對[n≥2，n∈N]均成立.

點撥 運用數學歸納法證明問題時，關鍵是[n＝k＋1]時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解題. 在分析[f(k)]與[f(k+1)]的兩個不等式，應找出證明的關鍵點（一般要利用不等式的傳遞性），然后再綜合運用不等式證明的方法. 本題關鍵是證明不等式[2k+22k+1>2k+3]. 除了分析法，還可以用比較法和放縮法來解決.

例6 已知[f(n)=1+12+13+14+#8943;+1n(n∈N)，]求證：[n>1]時，[f(2n)>n+22].

證明 （1）[n=2]時，

左式=[f(22)=f(4)=1+12+13+14=2512]，

右式=[2+22=2]，

∵ [2512>2]， ∴ 左式>右式，不等式成立.

[n=3]時，

左式=[f(23)=f(8)=1+12+13+14+#8943;+18]，

右式=[3+22=52]，

左式-右式=[15+17-18>0]，

左式>右式，不等式成立.

（2）假設[n=k(k∈N， k≥3)]時不等式成立，

即[f(2k)=1+12+13+14+#8943;+12k>k+22]，

當[n=k+1]時，

[f(2k+1)=1+12+13+14+#8943;+12k+12k+1]

[+12k+2+#8943;+12k+1]

[=f(2k)+12k+1+12k+2+#8943;+12k+12k項]

[>k+22+12k+1+12k+1+#8943;+12k+12k項]

[=k+22+2k2k+1=k+32=(k+1)+22，]

即[n=k+1]時，不等式也成立.

由（1）（2）可知，[n>1， n∈N]時，

都有[f(2n)>n+22].

點撥 注意[f(n)]的意義，它表示連續自然數的倒數和，最后一項為[1n]. 可以通過第一步驗證中加強對[f(n)]的理解，本題中驗證了[n=]2、3兩個數值，正是由于此原因（當然不是必要的）. [f(2n)]的表達式應為[f(2n)=]1[+12+13+14+15+#8943;+12n-1+12n]. 因此在歸納法證明中，重視第一步的驗證工作，許多難題的特殊情形啟發我們的思路，甚至蘊含一般情形的方法.

【專題訓練九】

1. 下面幾種推理過程是演繹推理的是（ ）

A. 兩條直線平行，同旁內角互補，如果[∠A]和[∠B]是兩條平行直線的同旁內角，則[∠A+∠B=180°]

B. 由平面三角形的性質，推測空間四面體性質

C. 某校高三共有10個班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推測各班都超過50人

D. 在數列[{an}]中，[a1=1，an=12(an-1+1an-1)][(n≥2)]，由此推出[{an}]的通項公式

2. 命題“有些有理數是無限循環小數，整數是有理數，所以整數是無限循環小數”是假命題，推理錯誤的原因是（ ）

A. 使用了歸納推理

B. 使用了類比推理

C. 使用了“三段論”，但大前提錯誤

D. 使用了“三段論”，但小前提錯誤

3. 通過觀察下列等式，猜想出一個一般性的結論，并證明結論的真假.

sin215°＋sin275°＋sin2135°＝[32]；

sin230°＋sin290°＋sin2150°＝[32]；

sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝[32]；

sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝[32].

4. 已知[a、b、c]都為正數，那么對任意正數[a、b]、[c]，三個數[a+1b、b+1c、c+1a]（ ）

A. 都不大于2 B. 都不小于2

C. 至少有一個不大于2

D. 至少有一個不小于2

5. 定義在[R]上的函數[f(x)]，滿足[f(x+y)=f(x)+f(y)(x、y∈R)]，且[f(1#8201;)=2]，那么在下面的四個式子：

①[f(1#8201;)+2f(1#8201;)+#8943;+nf(1#8201;)]；

②[fn(n+1)2]；

③[n(n+1#8201;)]；

④[n(n+1)f(1#8201;)].

其中與[f(1#8201;)+f(2)+#8943;+f(n)]相等的是（ ）

A. ①③ B. ①②

C. ①②③④ D. ①②③

6. 比較大小[7+6] [8+5]，分析其結構特點，請你再寫出一個類似的不等式： ；請寫出一個更一般的不等式，使以上不等式為它的特殊情況，則該不等式可以是 .

7. 如果命題[P(n)]對[n=k]成立，則它對[n=k+2]也成立. 又若[P(n)]對[n=2]成立，則下列結論正確的是（ ）

A. [P(n)]對所有自然數都成立

B. [P(n)]對所有正偶數都成立

C. [P(n)]對所有正奇數都成立

D. [P(n)]對所有大于1的自然數都成立

8. 設[an＝1×2]＋[2×3]＋…＋[n(n+1)][(n∈N)]，證明：[12][n(n＋1)