數學應用問題

數學應用問題體現了數學在實際生活中的的工具性、實用性，同時，考查數學應用問題也是對數學實踐能力的一種檢測，因而成為高考能力選拔的必考題型之一. 高考中數學應用題的編制背景可分為兩種：一是源自教材的應用題改編，從熟知的課本應用問題情景中變換思維角度，改換命題方向，拓寬求解方法；二是以實際生活為背景，設計一些情境新穎、富有時代特色、具有人文氣息的數學問題.

一、函數型問題

函數的應用，一方面是利用題設已知的函數解析式去解決實際問題，如“最優化”“最佳設計”等問題；另一方面是根據問題情景建立恰當的函數模型，并利用所得到的函數模型解釋有關現象，對某些發展趨勢進行預測. 常見的題型與方法有：（1）二次函數題型用配方法；（2）分式函數題型用均值不等式法或函數單調性法；（3）根式函數題型、指數與對數函數題型用函數單調性法；（4）三次（或高次）函數題型用導數法.

例1 某旅游公司計劃對某一景點改造升級，以提高旅游增加值. 經過市場調查，旅游增加值[y]萬元與投入[x]萬元之間滿足：[y=5150x-ax2-lnx10]，[x2x-12∈t，+∞]，其中[t]為大于[12]的常數. 當[x=10]時，[y=9.2].

（Ⅰ）求[y=f(x)]的解析式和投入[x]的取值范圍；

（Ⅱ）求旅游增加值[y]取得最大值時對應的[x]值.

分析 第（Ⅰ）問把[x=10]，[y=9.2]代入函數式，即可求出[a]的值，得到[y=f(x)]的解析式；第（Ⅱ）問求[f(x)]的最大值，需要先討論[y=f(x)]的單調性，確定取得最大值的區間和對應的[x]值.

解 （Ⅰ）由[x=10]，[y=9.2]，求得[a=1100]，

則[f(x)=5150x-x2100-lnx10].

又由[x2x-12≥t]且[t>12]，求得[6

（Ⅱ）由[f(x)=-(x-1)(x-50)50x]，可求得[f(x)]在[(6，50)]上是增函數，[f(x)]在[50，+∞]上是減函數，由此得[x=50]為極大值點.

當[12t2t-1≥50]，即[t∈12，2544]時，投入[50]萬元改造時取得最大增加值；當[6<12t2t-1<50]，即[t∈(2544，+∞)]時，投入[12t2t-1]萬元改造時取得最大增加值.

點撥 本題的難點是求旅游增加值[y]取得最大值時對應的[x]值. 由第（Ⅰ）問可知[x]的取值范圍是[6，12t2t-1]，因此需要從研究[f(x)]在這個區間上的單調性入手，找到變量[t]所在區間上[y]取得最大值時[x]的值.

二、三角函數型問題

三角函數的應用，主要是與角度有關的測量、航海、筑路、天文學和機械制造等，體現了三角函數在生產、生活領域的廣泛應用. 而在問題的解決過程中，關鍵是以這些實際問題為背景，建立三角函數形式的模型. 常見的題型與方法有：（1）給出三角函數的圖象或解析式研究最值，方法是利用三角公式變換，將函數轉化成[y=Asin(ωx+φ)+k]的形式求解，應注意角的范圍限制；（2）給出三角形中的邊、角關系，求相應的邊、角的大小，方法是運用正弦、余弦定理、面積公式求解.

例2 如圖所示，某市準備在一個湖泊的一側修建一條直路[OC]，另一側修建一條觀光大道，它的前一段[OD]是以[O]為頂點，[x]軸為對稱軸，開口向右的拋物線的一部分，后一段[DBC]是函數[y=Asin(ωx+φ)]（[A>0]，[ω>0]，[|φ|<π2]，[x∈4，8]）時的圖象，圖象的最高點為[B(5，833)]，[DF⊥OC]，垂足為[F].

（Ⅰ）求函數[y=Asin(ωx+φ)]的解析式；

（Ⅱ）若在湖泊內修建如圖所示的矩形水上樂園[PMFE]，問點[P]落在曲線[OD]上何處時，水上樂園的面積最大？

分析 第（Ⅰ）問求[y=Asin(ωx+φ)]的解析式，需要結合圖象給出的相關數據，并利用三角函數的性質得到[A]、[ω]、[φ]；第（Ⅱ）問先得到拋物線的方程，再建立矩形面積的函數關系式，通過求對應函數的最值，得到點[P]的坐標.

解 （Ⅰ）對于函數[y=Asin(ωx+φ)]，由圖象知

[A=833]，[ω=2πT=2π4(8-5)=π6]，

將[B(5，833)]代入[y=833sin(π6x+φ)]，

得[5π6+φ=][2kπ+π2]（[k∈Z]），

又[|φ|<π2]，所以[φ=-π3]，

故[y=833sin(π6x-π3)].

（Ⅱ）在[y=833sin(π6x-π3)]中，

令[x=4]，得[D(4，4)]，

由此得曲線[OD]的方程為[y2=4x]（[0≤x≤4]）.

設點[P(t24，t)]（[0≤t≤4]），則矩形[PMFE]的面積為[S=(4-t24)t]（[0≤t≤4]）.

[S=4-34t2]，由[S=0]，得[t=433]，

且當[t∈(0，433)]時，[S>0]，[S]遞增；

當[t∈(433，4)]時，[S<0]，[S]遞減.

所以，當[t=433]時，[S]最大，

此時點[P]的坐標為[(43，433)].

點撥 本題是一道關聯三角函數和函數的綜合應用題，求出三角函數[y=Asin(ωx+φ)]的解析式是求解的關鍵，其中的難點是尋找[φ]的值，一般地，應從“五點作圖法”去尋找對應點的關系式，并注意題設條件給出的[φ]的范圍. 點[P]的坐標與矩形的面積最值形成關聯，因此問題求解的本質還是對函數最值的理解，注意點參數法在表示面積關系式中的應用和導數在求函數最值中的應用.

三、數列型問題

數列是定義在正整數集上的函數，因而有關年份、月份、次數等與自然數相關的應用問題均屬于數列型應用題的范疇. 解答這類問題，一般是從建立數列模型入手，然后依據數列、函數和不等式知識求解. 常見的題型與方法有：（1）增長率問題屬于等比數列題型，用等比數列的公式和性質求解；（2）[an]與[Sn]的混合題型，通過[an=Sn-Sn-1]（[n≥2]，[n∈N#8727;]）尋找通項公式或求和公式求解.

例3 隨著國家政策對節能環保型小排量車的調整，兩款[1.1]升排量的[Q]型車、[R]型車的銷量引起市場的關注. 已知2010年1月[Q]型車的銷量為[a]輛，通過分析預測，若以2010年1月為第1月，其后兩年內[Q]型車每月的售量都將以[1%]的比例增長，而[R]型車前[n]個月的銷售總量[Tn]大致滿足關系式：[Tn=228a(1.012n-1)]（[n≤24]，[n∈N#8727;]）.

（Ⅰ）求[Q]型車前[n]個月的銷售總量[Sn]的表達式；

（Ⅱ）比較兩款車前[n]個月的銷售總量[Sn]與[Tn]的大小關系；

（Ⅲ）從第幾個月開始，[Q]型車的月銷售量小于[R]型車月銷售量的[20%]？說明理由.

（參考數據：[54.5828≈1.09]，[lg1.09lg1.01≈8.66]）

分析 第（Ⅰ）問[Q]型車每月的售量成等比數列可得銷售總量[Sn]的表達式；第（Ⅱ）問比較大小，用作差法是最基本的方法；第（Ⅲ）問利用“[Q]型車的月銷售量小于[R]型車月銷售量的[20%]，建立不等式求解.

解 （Ⅰ）[Q]型車各月的銷售量構成以首項[a1=a]，公比[q=1+1%=1.01]的等比數列[an].

前[n]個月的銷售總量

[Sn=a(1.01n-1)1.01-1=100a(1.01n-1)][(n≤24，][n∈N#8727;).]

（Ⅱ）[Sn-Tn=100a(1.01n-1)-228a(1.012n-1)]

[=100a(1.01n-1)-228a(1.01n-1)(1.01n+1)]

[=-228a(1.01n-1)#8901;(1.01n+3257)].

又[1.01n-1>0]，[1.01n+3257>0]，

所以[Sn-Tn<0]，即[Sn

（Ⅲ）記[Q]、[R]兩款車第[n]個月的銷售量分別為[an]和[bn]，則[an=a×1.01n-1]，

當[n≥2]時，

[bn=Tn-Tn-1=228a(1.012n-1)-228a(1.012n-2-1)]

[=228a×(1.012-1)×1.012n-2]=[4.5828a1.012n-2]，

[b1=4.5828a]，顯然[20%×b1

當[n≥2]時，若[an<20%×bn]，

則[a×1.01n-1<15×4.5828a×1.012n-2]，

[1.012(n-1)>54.5828×1.01n-1]，

[1.01n-1>54.5828≈1.09]，

[n-1>lg1.09lg1.01≈8.66]，所以[n≥10].

即從第10個月開始，[Q]型車月銷售量小于[R]型車月銷售量的[20%].

點撥 數列應用題的求解，主要是將問題轉化成等差、等比數列的通項公式或求和公式進行計算，比較大小. 第（Ⅲ）問已知數列[bn]的前[n]項和[Tn]，求其通項[bn]時，容易忽視對[n=1]和[n≥2]的分類討論，對于數學應用問題的求解，我們更應該注意解題細節.

四、不等式型問題

實際問題中的“優選”“控制”等優化問題，常需要建立“不等式模型”求解，即從建立函數關系著手，通過對所求結論的大小比較、所得方案的優劣判斷得出最優方案. 常見的題型與方法有：（1）比較大小型可用作差法、作商法或放縮法；（2）函數最值型用求函數最值的基本方法（如用均值不等式等）.

例4 設計一條長為26公里的輕軌交通線，該輕軌交通路線的起點站和終點站已建好，余下的工程只需要再該段線路的起點站和終點站之間修建輕軌道路和輕軌中間站，相鄰兩輕軌站之間的距離均為[x]公里. 經預算，修建一個輕軌中間站的費用為2000萬元，修建[x]公里的輕軌道路費用為[(500x2+40x)]萬元. 設余下工程的總費用為[y]萬元.

（Ⅰ）試將[y]表示成[x]的函數；

（Ⅱ）需要修建多少個輕軌中間站才能使[y]最小？其最小值為多少萬元？

分析 第（Ⅰ）問將余下的所有工程費用相加，即得函數解析式；第（Ⅱ）問求函數的最小值，根據函數解析式的結構特點，考慮用均值不等式法.

解 （Ⅰ）設需要修建[k]個輕軌中間站，

則[(k+1)x=26]，即[k=26x-1].

所以[y=2000k+(k+1)(500x2+40x)]

[=2000×(26x-1)+26x(500x2+40x)]

[=52000x+13000x-960].

已知[x]表示相鄰兩站之間的距離，則[0

故[y]與[x]的函數關系是

[y=52000x+13000x-960]（[0

（Ⅱ）[y=52000x+13000x-960]

[≥252000x×13000x-960][=51040]（萬元），

當且僅當[52000x=13000x]，即[x=2]時取等號，

此時，[k=26x-1=262-1=12].

故需要修建12個輕軌中間站才能使[y]最小，其最小值為[51040]萬元.

點撥 本題用[x]表示輕軌中間站個數[k]是一個易錯點，即對應的等式是“[(k+1)x=26]”，而不是“[kx=26]”，可結合畫圖形理解. 在利用均值不等式求解函數最值時，三個對應的條件不能缺少，即①各項都是正數；②和（或積）是定值；③等號成立有解.

五、解析幾何型問題

解析幾何型應用題常以科學技術、經濟建設等科學領域或生活領域為命題背景，著重探索數量關系和幾何關系的聯系和變化. 常見的題型與方法有：（1）與直線有關的應用題，主要是線形規劃問題，解題關鍵是理解目標函數的意義和確定整數解；（2）與圓錐曲線有關的應用題，首先要選好坐標系，便于方程的簡化，然后是將問題轉化，如果是切線問題，可用幾何性質或導數方法，如果是范圍問題、面積問題問題，則轉化為函數問題，運用函數法、均值不等式法或導數法.

例5 某人有樓房一幢，室內面積共計[180m2]，擬分隔成兩類房間作為旅游客房. 大房間每間面積[18m2]，可住游客5名，每名游客每天住宿費40元；小房間每間面積[15m2]，可住游客3名，每名游客每天住宿費為50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元. 如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，問隔出大房間和小房間各多少間時，能獲得最大效益？

分析 首先列出滿足題設條件的不等式組，注意標明[x≥0，y≥0，x、y∈N]的條件，然后寫出對應的目標函數.

解 設隔出大房間[x]間，小房間[y]間時，收益為[z]元，則[x]、[y]滿足不等式組

[18x+15y≤180，1000x+600y≤8000，x≥0，y≥0，x、y∈N，]

且[z=200x+150y].

即[6x+5y≤60， ①5x+3y≤40， ②x≥0，y≥0，x、y∈N，]

可行域為如圖所示的陰影（含邊界）中的整點.

作直線[l:200x+150y=0]，即直線[l:4x+3y=0]，

把直線[l]向右上方平移至[l1]的位置時，直線經過可行域上的一點[A]，且與原點的距離最大，此時[z=200x+][150y]取最大值.

解方程組[6x+5y=60，5x+3y=40，]得到[A(207，607)].

由于點[A]的坐標不是整數，而最優解[(x，y)]中的[x]、[y]必須都是整數，所以可行域內的點[A(207，607)]不是最優解.

調整最優解:由[x、y∈N]知，[4x+3y≤37]. 令[4x+3y=37]，即[y=37-4x3]，帶入約束條件①②，解得[52≤x≤3]. 由于[x∈N]，得[x=3]，但此時[y=-253#8713;N].

再次調整最優解：令[4x+3y=36]，即[y=36-4x3]，帶入約束條件①②，解得[0≤x≤4]. 由于[x∈N]，當[x=0]時，[y=12]；當[x=1]時，[y=1023]；當[x=2]時，[y=913]；當[x=3]時，[y=8]；當[x=4]，[y=623]. 所以最優解為[(0，12)]和[(3，8)]. 這時[z]取最大值[1800]元.

于是，隔出小房間12間，或大房間3間、小房間8間，可以獲得最大收益.

點撥 對于線性規劃問題中最優整數解的問題，當解方程組得到的解不是整數解時，可用下面的方法求解：①平移直線法：先在可行域內打網絡，再描整點，平移直線[l]，最先經過或最后經過的整點坐標是整點最優解. ②檢驗優值法：當可行域內整點個數較少時，也可將整點坐標逐一代入目標函數求值，經過比較得出最優解. ③調整優值法：先求非整點最優解及最優值，再借助不定方程知識調整最優值，最后篩選出最優解.

[【專題訓練十】]

1. 某物體一天中的溫度[T]是時間[t]的函數[T(t)=t3-3t+60]，時間單位是小時，溫度單位是℃，當[t=0]表示中午12時，其后[t]值取為正，則上午8時的溫度是（ ）

A. [8℃] B. [12℃] C. [16℃] D. [18℃]

2. 如圖所示，有一個直角墻角，兩邊的長度足夠長，在[P]處有一棵樹與兩墻的距離分別是[am]（[0

A B C D

3. 將進價為[80]元一個的商品按[90]元一個售出，能賣出[400]個. 已知這種商品每漲價[1]元，其銷售量就減少[20]個，為了賺得最大利潤，每個商品應定價為（ ）

A. [90]元 B. [95]元

C. [100]元 D. [105]元

4. 某商店在節前進行商品降價酬賓銷售活動，擬分兩次降價，有三種降價方案：甲方案是第一次打[a]折銷售，第二次打[b]折銷售；乙方案是第一次打[b]折銷售，第二次打[a]折銷售；丙方案是兩次都打[a+b2]折銷售，且[a≠b]，則下列說法正確的是（ ）

A. 甲、乙方案降價較多

B. 乙、丙方案降價較多

D. 甲、丙方案降價較多

D. 三種方案降價一樣多

5. 某公司租地建倉庫，已知倉庫每月占用費[y1]與倉庫到車站的距離成反比，而每月車存貨物的運費[y2]與倉庫到車站的距離成正比. 據推算，如果在距離車站[10]千米處建倉庫，這兩項費用[y1]、[y2]分別為2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站（ ）

A. 5千米處 B. 4千米處

C. 3千米處 D. 2千米處

6. 有一種細菌和一種病毒，每個細胞在每秒鐘殺死一個病毒的同時將自身分裂為2個. 現在有一個這樣的細菌和100個這樣的病毒，問細菌將病毒全部殺死至少需要（ ）

A. 6秒鐘 B. 7秒鐘

C. 8秒鐘 D. 9秒鐘

7. 在“家電下鄉”活動中，某廠要將[100]臺洗衣機運往鄰近的鄉鎮，現有[4]輛甲型貨車和[8]輛乙型貨車可供使用. 每輛甲型貨車運輸費用[400]元，可裝洗衣機[20]臺；每輛乙型貨車運輸費用[300]元，可裝洗衣機[10]臺. 若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為（ ）

A. [2000]元 B. [2200]元

C. [2400]元 D. [2800]元

8. 一束激光從點[A(-1，1)]發出，經過[x]軸上的擋板反射，到達位于以[C(2，3)]為圓心、[1]為半徑的圓狀物上被吸收，則該激光所經過的最短路程是（ ）

A. [4] B. [5]

C. [32-1] D. [26]

9. 如圖，已知兩座燈塔[A]和[B]與海洋觀察站[C]的距離都等于[a][km]，燈塔[A]在觀察站[C]的北偏東[20°]，燈塔[B]在觀察站[C]的南偏東[40°]，則燈塔[A]與燈塔[B]的距離為（ ）

A. [a][km] B. [3a][km]

C. [2a][km] D. [2a][km]

10. 某工人要從一塊圓心角為[45°]的扇形木版中割出一塊一邊在半徑上的內接長方形桌面，若扇形的半徑長為[1][m]，則割出的長方形桌面的最大面積是（ ）

A. [3-22][m2] B. [3+22][m2]

C. [2+12][m2] D. [2-12][m2]

11. 已知某駕駛員喝了[m]升酒后，血液中酒精的含量[f(x)]（毫克/毫升）隨時間[x](小時)變化的規律近似滿足表達式[f(x)=5x-2，0≤x≤1，35#8901;(13)x，x>1.]《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應的處罰》規定：駕駛員血液中酒精含量應不超過[0.02]毫克/毫升. 則此駕駛員至少要過 小時后才能開車（精確到[1]小時）.

12. 電動自行車的耗電量[y]（度）與速度[x]（千米/時）之間的關系為[y=13x3-392x2-40x]（[x>0]），為使耗電量最小，則其速度應定為 .

13. 某同學高三階段12次數學考試的成績呈現前幾次與后幾次均連續上升，中間幾次連續下降的趨勢. 現有三種函數模型：①[f(x)=pqx]；②[f(x)=logax+q]；③[f(x)=(x-1)(x-q)2+p]（其中[p]、[q]為正常數，且[q>2]），若能較準確反映數學成績與考試次序的關系，則選 可作為模擬函數；若[f(1)=4]，[f(3)=6]，則所選函數[f(x)]的解析式為 .

14. 一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數解析式是[y=x22]（[0≤y≤20]）. 在杯內放一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑[r]的取值范圍是 .

15. 一件工藝品是將一個彩色半透明的正四面體鑲嵌于一個水晶球體內制作而成的. 已知正四面體的頂點都在球面上，球的直徑為[12cm]，則正四面體的棱長為 [cm]，球心到正四面體各面的距離為 [cm].

16. 某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該空地上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房. 經測算，若將樓房建為[x]（[x≥10]）層，則每平方米的平均建筑費用為[560+48x]（單位：元）.

（Ⅰ）寫出樓房平均綜合費用[y]關于建造層數[x]的函數關系式；

（Ⅱ）該樓房建造多少層時，可使樓房每平方米的平均綜合費用最少？最小值是多少？（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=[購地總費用建筑總費用]）

17. 某企業自2011年1月1日正式投產，環保監測部門從該企業投產之日起對它向某湖區排放污水進行了四個月的跟蹤監測，監測的數據如下表：

并預測，如果不加以治理，該企業每月向湖區排放污水的量將成等比數列.

（Ⅰ）如果不加以治理，求從2011年1月起，[m]個月后，該企業總計向某湖區排放了多少立方米的污水？

（Ⅱ）為保護環境，當地政府和企業決定從7月份開始投資安裝污水處理設備，預計7月份的污水排放量比6月份減少4萬立方米，以后每月的污水排放量均比上月減少4萬立方米，當企業停止排放污水后，再以每月16萬立方米的速度處理湖區中的污水，請問什么時候可以使湖區中的污水不多于50萬立方米？

18. 某小區準備綠化一塊直徑為[BC]的半圓形空地（如圖所示），規劃在[△ABC]外的地方種草，[△ABC]的內接正方形[PQRS]為一水池，其余地方種花. 若[BC=a]，[∠ABC=θ]，[△ABC]的面積為[S1]，正方形[PQRS] 的面積為[S2]，將比值[S1S2]稱為“規劃合理度”.

（Ⅰ）使用[a]、[θ]表示[S1]和[S2]；

（Ⅱ）若[a]為定值，[θ]變化時，求“規劃合理度”[S1S2]取得最小值時的[θ]值.

19. 因發生意外交通事故，一輛貨車上的某種液體泄漏到一魚塘中. 為了治污，根據環保部分的建議，現決定在魚塘中投放一種可與污染液體發生化學反應的藥劑. 已知每投放[a]（[1≤a≤4]，且[a∈R]）個單位的藥劑，它在水中釋放的濃度[y]（克/升）隨著時間[x]（天）變化的函數關系式近似為[y=a#8901;f(x)]，其中[f(x)=168-x-1(0≤x≤4)，5-12x(4

若多次投放，則某一時刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應時刻所釋放的濃度之和. 根據經驗：當水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時，它才能取到有效治污的作用.

（Ⅰ）若一次投放4個單位的藥劑，則有效治污時間可達幾天？

（Ⅱ）若第一次投放2個單位的藥劑，6天后再投放[a]個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續有效治污，試求[a]的最小值（精確到[0.1]，參考數據：[2]取[1.4]）.

20. 以水渠的橫斷面積如圖所示，它的橫斷面邊界[AOB]是拋物線的一段，已知渠寬[AB]為[2m]，渠深[OC]為[1.5m]，水面[EF]距[AB]為[0.5m].

（Ⅰ）求水面[EF]的寬度；

（Ⅱ）如果把此水渠改造為橫斷面是等腰梯形，要求渠深不變，不準往回填土，只準挖土，試求截面梯形的下底邊長為多大時，才能使所挖的土最少？

21. 某電視生產廠家有[A]、[B]兩種型號的電視機參加家電下鄉活動，若廠家投放[A]、[B]兩種型號電視機的價值分別為[p]、[q]萬元，則農民購買電視機獲得的補貼分別為[110p]、[mln(q+1)]（[m>0]，且為常數）萬元. 已知該廠家把總價值為10萬元的[A]、[B]兩種型號的電視機投放市場，且[A]、[B]兩種型號的電視機投放金額都不低于1萬元.（精確到[0.1]，參考數據：[ln4≈1.4]）

（Ⅰ）當[m=25]時，請你制定一個投放方案，使得在這次活動時農民得到的補貼最多，并求出其最大值；

（Ⅱ）討論農民得到的補貼隨廠家投放[B]型號電視機金額的變化而變化的情況.