規范解答數學題
2012-04-29 00:00:00董漢民
高中生學習·高三版 2012年2期
數學學科在提高人的推理能力、想象力和創造力等方面有著獨特的作用，而有條理的規范表達是提升數學能力一道不可或缺的一步. 高考解答題是按步驟給分的，所以在平時的數學學習中，應特別注意解題過程中步驟的嚴謹和規范，盡量做到表達準確、考慮周密、書寫規范、語言科學，寫清得分點，清楚地呈現自己的思維過程. 否則，會做的題目若不注意準確表達和規范書寫，常常會被“分段扣分”，這是非常不值的.
數學題的規范解答包括審題規范、表達規范及解題后的反思.
審題規范 審清條件：明確題中的顯性條件，發現隱含條件并加以揭示（比如：在相關位置處做上著重符號）；分析目標：把復雜目標轉化為簡單目標，把抽象目標轉化為具體目標，不易把握的目標轉化為可把握的目標；確定思路：一個題目的條件與目標之間肯定存在著一系列的聯系，這些聯系是溝通條件與目標的橋梁，解題的實質就是分析這些聯系與哪個數學原理相匹配.
表達規范 語言（包括文字語言、符號語言、圖形語言）敘述是解答數學題的重要環節. 因此，語言敘述必須規范，規范的語言敘述應步驟清楚、正確、完整、詳略得當. 言必有理，答必有據. 數學學科本身有一套規范的語言系統，不要隨意杜撰數學符號或術語，讓人不知所云.
另外，答案的書寫應準確、簡潔、全面，既要注意對結果的驗證、取舍，又要注意答案的完整，還要嚴格按題目要求作答.
解題后的反思 反思解題過程中的得與失，可以更清晰地理解題中所涉及的數學基礎知識、基本方法、基本技巧，是提高解題能力非常有效的方法.
1. 等價轉換要規范
例1 （12分）函數[f(x)]的定義域[D＝{x|x≠0}]，且滿足對于任意[x1、x2∈D]，有[f(x1#8901;x2)＝f(x1)＋f(x2). ]
（Ⅰ）求[f(1)]的值；
（Ⅱ）判斷[f(x)]的奇偶性并證明；
（Ⅲ）如果[f(4)＝1]，[f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3]，且[f(x)]在(0，＋∞)上是增函數，求[x]的取值范圍.
規范審題 （1）從[f(1)]聯想自變量的值為1，進而想到賦值[x1=x2=1].
（2）判斷[f(x)]的奇偶性，就是研究[f(x)]、[f(-x)]的關系. 從而想到賦值[x1=x， x2=-1.] 即[f(－x)＝][f(－1)＋f(x)].
（3）目標就是要出現[f(M)
規范解答
解 （Ⅰ）令[x1=x2=1]，
有[f(1×1)＝f(1)＋f(1)]，解得[f(1)＝0]. [2分]
（Ⅱ）[f(x)]為偶函數，證明如下： [4分]
令[x1=x2=-1]，
有[f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)]，
解得[f(－1)＝0].
令[x1＝－1，x2＝x]，有[f(－x)＝f(－1)＋f(x)]，
[∴f(－x)＝f(x)]. ∴[f(x)]為偶函數. [7分]
（Ⅲ）[f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2]，
[f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3]. [8分]
[∵]函數[f(x)]的定義域[D＝{x|x≠0}，]
[∴][(3x＋1)≠0， (2x－6)≠0].
將[f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3]
變形為[f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)]. (*)
∵[f(x)]為偶函數，[∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)].
∴不等式(*)等價于[f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)]. [9分]
又∵[f(x)]在(0，＋∞)上是增函數，
∴[|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0].
解得[-73≤x<-13]或[-13 ∴[x]的取值范圍是[{x|-73≤x<-13]或[-13 題后反思 數學解題的過程就是一個轉換的過程. 解題質量的高低，取決于每步等價轉換的規范程度. 如果每一步等價轉換都是正確的、規范的，那么這個解題過程就一定是規范的. 等價轉化要做到規范，應注意以下幾點： （1）要有明確的語言表示. 如“[M]”等價于“[N]”，“[M]”變形為“[N]”. （2）要寫明轉化的條件. 如本例中：∵[f(x)]為偶函數，∴不等式(*)等價于[f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)]. （3）轉化的結果要等價. 如本例：由于[f[|(3x＋1)][(2x－6)|]≤f(64)#8658;|(3x＋1)(2x－6)|≤64]，且[(3x＋1)][(2x－6)]≠0. 若漏掉[(3x＋1)(2x－6)]≠0，則這個轉化就不等價了. 2. 分類討論要規范 例2 (12分)設函數[f(x)＝ax2－2x＋2]，對于滿足[1 規范審題 （1）分[a>0、a<0、a＝0]三種情況討論，并使每種情況下在[1，4]上最低點函數值或最小值大于等于零，從而求得[a]的取值范圍. （2）由[ax2－2x＋2>0]分離參數[a>2x-2x2]，轉化成求[2x-2x2]的最大值問題. 規范解答 解 當[a>0]時，[f(x)＝a(x-1a)2＋2-1a]. [1分] ∴[1a≤1f(1)=a-2+2>0]或[1<1a<4f(1a)=2-1a>0]或[1a≥4f(4)=16a-8+2>0]， ∴[a≥1a>0]或[14 ∴[a≥1]或[12 當[a<0]時，[f(1)=a-2+2>0f(4)=16a-8+2>0]， 解得[a∈#8709;]. [8分] 當[a＝0]時，[f(x)＝-2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6]， ∴不合題意. [10分] 綜上可得，實數[a]的取值范圍是[a>12]. [12分] 題后反思 本題可用分類討論法求參數[a]的范圍，也可用分離參數法求參數范圍. 本題的突出問題是，分類討論的應用不規范： （1）考慮不嚴密：①丟掉對[a＝0]的情況的討論；②當[a>0]時，未對對稱軸的位置加以分類討論，從而導致解答失誤，失誤原因是對二次項系數或對稱軸的各種情況考慮不全面. （2）書寫格式不規范. 同級別的分類要對齊寫，如本題[a>0、a<0、a＝0]是同一級別的，一般要對齊寫. 討論完成后，要有綜述性的語言概括結論. 3. 作圖、用圖要規范 例3 (12分)已知函數[f(x)＝|x2－4x＋3|.] （Ⅰ）求函數[f(x)]的單調區間，并指出其增減性； （Ⅱ）若關于[x]的方程[f(x)－a＝x]至少有三個不相等的實數根，求實數[a]的取值范圍. 規范審題 （Ⅰ）化簡[f(x)]并作出[f(x)]的圖象，由圖象確定單調區間. （Ⅱ）方程[f(x)－a＝x]的根的個數等價于函數[y＝f(x)]的圖象與直線[y＝x－a]的交點的個數，所以可以借助圖象進行分析. 規范解答 解 [f(x)=(x-2)2-1，x∈(-∞，1]#8899;[3，+∞)-(x-2)2+1，x∈(1，3)] 作出圖象如圖所示.[2分] （Ⅰ）遞增區間為[1，2]，[3，＋∞)， 遞減區間為 (－∞，1]，[2，3]. [4分] （Ⅱ）原方程變形為[|x2－4x＋3|＝x＋a]， 設[y＝x＋a]，在同一坐標系下再作出[y＝x＋a]的圖象如圖所示. 則當直線[y＝x＋a]過點(1，0)時，[a＝－1]；[6分] 當直線[y＝x＋a]與拋物線[y＝－x2＋4x－3]相切時， 由[y=x+ay=-x2+4x-3]得[x2－3x＋a＋3＝0]. [8分] 由[Δ＝9－4(3＋a)＝0]，得[a＝-34]. [10分] 由圖象知當[a∈[-1，-34]]時，方程至少有三個不等實根. [12分] 題后反思 （1）函數圖象形象地顯示了函數的性質(如單調性、奇偶性、最值等)，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，因此常用函數的圖象研究函數的性質. （2） 許多方程、不等式問題常轉化為兩函數圖象的關系來解. （3）方程解的個數常轉化為兩熟悉的函數圖象的交點個數問題來求解. （4）本題比較突出的問題，是作圖不規范. 由于作圖不規范，導致第（2）問的思路出現錯誤. 4. 表格的使用要規范 例4 (14分)已知函數[f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex] [(x∈R)]， 其中[a∈R]. （Ⅰ）當[a＝0]時，求曲線[y＝f(x)]在點[(1，f（1）)]處的切線的斜率； （Ⅱ）當[a≠23]時，求函數[f(x)]的單調區間與極值. 規范審題 （Ⅰ）已知切點[(1，f (1))]，求切線斜率，利用導數的幾何意義，斜率[k＝f ′(1)]. （Ⅱ）求導數[f(x)]→求[f(x)]＝0的根→按零點分段列表→確定單調區間與極值. 規范解答 解 （Ⅰ）當[a＝0]時，[f(x)＝x2ex]， [f(x)＝(x2＋2x)ex]，故[f ′(1)＝3e]. 所以曲線[y＝f(x)]在點[(1，f (1))]處的切線的斜率為[3e]. [4分] （Ⅱ） [f(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex]. 令[f(x)]＝0，解得[x＝－2a]或[x＝a－2]. 由[a≠23]知，[－2a≠a－]2. [6分] 以下分兩種情況討論： ①若[a>23]，則[－2a < a－2]. 當[x]變化時，[f(x)]、[f(x)]的變化情況如下表： [[x]\\[(－∞，－2a)]\\[－2a]\\[(－2a，a－2)]\\[a－2]\\[(a-2，+∞)]\\[f(x)]\\＋\\0\\－\\0\\＋\\[f (x)]\\[↗]\\極大值\\[↘]\\極小值\\[↗]\\] 所以[f(x)]在[(－∞，－2a)]，[(a－2，＋∞)]內是增函數，在[(－2a，a－2)]內是減函數. [8分] 函數[f(x)]在[x＝－2a]處取得極大值[f (－2a)]，且[f (－2a)＝3ae－2a]. 函數[f(x)]在[x＝a－2]處取得極小值[f (a－2)]，且[f (a－2)＝(4－3a)ea－2]. [10分] ②若[a<23]，則[－2a>a－2]. 當[x]變化時，[f(x)]、[f(x)]的變化情況如下表： 函數[f(x)]在[x＝a－2]處取得極大值[f(a－2)]，且[f(a－2)＝(4－3a)ea－2]. 函數[f(x)]在[x＝－2a]處取得極小值[f(－2a)]，且[f(－2a)＝3ae－2a]. [14分] 題后反思 （1）本小題主要考查導數的幾何意義、導數的運算、利用導數研究函數的單調性與極值等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法. （2）錯因分析：出錯主要是沒有對[a]進行分類討論. 另外弄錯了[－2a]與[a－2]之間的大小關系. （3）在規范答題方面，不會列表用表，解題過程紊亂、不直觀. 5. 思維要嚴謹，解答要規范 例5 (14分)設兩向量[e1、e2]滿足[|e1|＝2]，[|e2|＝1]，[e1、e2]的夾角為60°，若向量[2te1＋7e2]與向量[e1＋te2]的夾角為鈍角，求實數[t]的取值范圍. 規范審題 （1）向量[2te1＋7e2]與向量[e1＋te2]的夾角為鈍角時，[(2te1＋7e2)#8901;(e1＋te2)<0]. 它們之間的關系不是充要的. （2）[(2te1＋7e2)#8901;(e1＋te2)<0]包含了兩個向量反向共線的情況，因此要把反向共線時t的范圍去掉. 規范解答 解 [e12＝4，e22＝1，e1#8901;e2＝2×1×cos60°＝1，][2分] ∴[(2te1＋7e2)#8901;(e1＋te2)=2te12+(2t2+7)e1#8901;e2] [+7te22=2t2＋15t＋7]. [4分] ∵向量[2te1＋7e2]與向量[e1＋te2]的夾角為鈍角， ∴[2t2＋15t＋7<0]. ∴[－7 假設[2te1＋7e2＝λ(e1＋te2) (λ<0)]#8658;[2t=λ7=tλ] #8658;[2t2]＝7#8658;[t＝-142]，[λ＝-14]. （[t＝142]，[λ＝14]. 舍去） [10分] ∴當[t＝-142]時，[2te1＋7e2]與[e1＋te2]的夾角為π，不符合題意. [12分] ∴[t]的取值范圍是[(-7，-142)]∪[(-142，-12)]. [14分] 題后反思 （1）若兩向量的夾角為鈍角，則它們的數量積小于0，但兩個向量的數量積小于0，兩向量的夾角可能為鈍角，也可能為平角. 也就是說，兩向量的數量積小于0僅僅是向量夾角為鈍角的必要條件，并不充分. （2）我們在解決問題時，一般思考的應該是條件與結論之間的充要條件，也就是說，保證在每一步的轉化過程中是等價關系. （3）本例解答易出現的問題是，僅關注了結論的必要條件，而忽視了其充分性，表現為思維過程不嚴謹. 6. 幾何證明過程要規范 例6 (12分)如圖所示，[M、N、K]分別是正方體[ABCD-A1B1C1D1]的棱[AB、CD、C1D1]的中點. 求證：（Ⅰ）[AN]∥平面[A1MK]； （Ⅱ）平面[A1B1C]⊥平面[A1MK]. 規范審題 （Ⅰ）要證線面平行，需證線線平行. （Ⅱ）要證面面垂直，需證線面垂直，需證線線垂直. 規范解答 證明 （Ⅰ）如圖所示，連接[NK]. 在正方體[ABCD-A1B1C1D1]中， ∵四邊形[AA1D1D，DD1C1C]都為正方形， ∴[AA1]∥[DD1]，[AA1=DD1]， [C1D1∥CD]，[C1D1＝CD]. ［2分］ ∵[N、K]分別為[CD、C1D1]的中點， ∴[DN∥D1K，DN＝D1K]， ∴四邊形[DD1KN]為平行四邊形. ［3分］ ∴[KN∥DD1，KN＝DD1]， ∴[AA1∥KN，AA1＝KN]. ∴四邊形[AA1KN]為平行四邊形. ∴[AN∥A1K]. ［4分］ ∵[A1K]#8834;平面[A1MK]， [AN]#8836; 平面[A1MK]， ∴[AN]∥平面[A1MK]. ［6分］ （Ⅱ）連接[BC1]. 在正方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[AB∥C1D1，AB＝C1D1]. ∵[M、K]分別為[AB、C1D1]的中點， ∴[BM∥C1K，BM＝C1K]. ∴四邊形[BC1KM]為平行四邊形. ∴[MK∥BC1]. ［8分］ 在正方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[A1B1]⊥平面[BB1C1C]， [BC1]#8834;平面[BB1C1C]， ∴[A1B1]⊥[BC1]. ∵[MK∥BC1，]∴[A1B1⊥MK]. ∵四邊形[BB1C1C]為正方形， ∴[BC1⊥B1C]. ［10分］ ∴[MK⊥B1C]. ∵[A1B1]#8834;平面[A1B1C]，[B1C]#8834;平面[A1B1C]，[A1B1∩B1C＝B1]， ∴[MK]⊥平面[A1B1C]. ∵[MK]#8834;平面[A1MK]， ∴平面[A1MK]⊥平面[A1B1C]. ［12分］ 題后反思 本題考查的是線面平行、面面垂直的證明. 難度不大，但解答時出現的問題較多： （1）定理應用不嚴謹. 如：要證[AN]∥平面[A1MK]，必須強調[AN]#8836; 平面[A1MK]. （2）解題過程不完整，缺少關鍵步驟，如第（Ⅰ）問中，應先證四邊形[ANKA1]為平行四邊形. 第（Ⅱ）問中，缺少必要的條件，使思維不嚴謹，過程不流暢. 目前同學們普遍存在的問題是學習習慣差，做數學題時一看就會，一做就錯；或會而不對，對而不全. 從實際效果看，會而不對，還不如不會. 因為會，你要做；因為不對，你花了時間不得分;與其這樣，還不如將時間花在能得分的題上. 出現上述問題，究其原因，就是平時解題不規范所至，審題快而不清，無收集、整理信息等必要步驟，解題過程表達不清，邏輯推理描述紊亂. 題后無反思，做一題丟一題. 可見，規范解答數學題，對于學好數學是多么的重要. 由于現實中，同學們各科作業量都較大，如果每天每道解答題全都寫好，時間肯定不夠，但時間再緊，審清題意必不可少. 另外，要確保每天至少寫好一道題（最好選你感到最難一道解答題）.
