高職學生評價問題數學模型的構建

一、問題的提出

本文試圖用運籌學的層次分析法來建立一個評價高職學生綜合素質的數學模型，以全面反映學生的素質水平和學校的教育質量，為學校確立合理的教學目標和人才培養模式提供借鑒。

二、問題的分析

1.評價體系的層次結構

本文借用美國匹茲堡大學教授T.L.Saaty等人在20世紀70年代中期提出的層次分析法（nalytic Hierarchy Process，簡稱AHP），建立評價學生成績的層次結構，如圖1所示。

在第三層之下為第四層，它們表示具體的課程或科目，視不同的學校和專業各有差異。對第四層的每門課或科目都有一個百分制的成績評分，但考查方法因課程特點而不盡相同。不同的學校層次結構的分支可適當變通，應召集專家、教師討論制定，使各層次的分支更為合理，便于操作。

2.確定權系數的方法

在層次分析法中，同一層中的各項成績對上一層的貢獻程度不是均等的，帶有不同的權重，總成績按加權平均計算。

設第k層某項的成績y由第k+1層的n項成績X1，X2…，Xn來確定，則有Y=W1X1+=W2X2+…+WnXn，其中Wi是第i項的權重，0＜Wi＜1，W1W2+…+Wn=1。為確定權系數Wi，本文采用了成對比較的方式。T.L.Saaty等人提出用1～9的尺度，如表1所示，解決了當比較同一層次的兩個成績Xi與Xj對于上層y的貢獻程度時，采用何種相對尺度aij較好的問題。

表1 1～9尺度aij的含義

用此數據建立一個n階方陣，它的（i，j）元素與（j，i）元素互為倒數，故稱A為逆稱矩陣。若A是一致陣，那是最理想的；否則，應使它的不一致盡量小。這樣可以請m位專家給成對比較矩陣賦值：k=1，2…，m。然后，計算出賦予這m個數幾何平均數，取逆稱矩陣A=[Cij]。

按下述方程構造向量序列｛ek｝：

其中表示的n個分量之和。

用矩陣特征值理論可證明，迭代的n維向量序列收斂，記極限為e=(a1，a2，…，an)T。于是權系數可取作 Wi=ai，i=1，2，…，n)。這表明，成對比較的賦值蘊涵了各項的貢獻程度。實際計算中，用有限次迭代，取e的近似即可。

三、模型的假設

該模型包括四個假設：一是智育、德育、體育和美育分別為評定學生是否優秀的主要因素，二是各項因素在綜合素質成績中的權重有可能因不同的學校和不同的專業而異，三是評定小組在評定同一學校同一專業的學生時各項因素的權重都是一樣的，四是評定優秀學生時評定小組主要是參考有關專家給定各項因素的權重比例。

四、符號的約定

Z—最終目標（該學生的最后評定的成績）；A—德育成績；B—智育成績；C—體育成績；D—美育成績；a—德育成績所占的權重；β—智育成績所占的權重；γ—體育成績所占的權重；δ—美育成績所占的權重。

ai—德育的第i門課程的成績（i=1，2，3，…）

bi—智育的第i門課程的成績（i=1，2，3，…）

ci—體育的第i門課程的成績（i=1，2，3，…）

di—美育的第i門課程的成績（i=1，2，3，…）

ai—德育的第i門課程的成績所占的權重（i=1，2，3，…）

βi—智育的第i門課程的成績所占的權重（i=1，2，3，…）

γi—體育的第i門課程的成績所占的權重（i=1，2，3，…）

δi—美育的第i門課程的成績所占的權重（i=1，2，3，…）

e0—原始向量序列；ei—第i個向量序列；（i=1，2，3，…）

—逆稱矩陣（E）與第i-1個向量序列的乘積（i=1，2，3，…）

—ei的n個分量之和；E—逆稱矩陣。

五、模型的建立及求解

1.名次的確定和分制

不考慮待評人員的意愿，按待評人員總成績評定其在班級的名次。各科或者各項目都是以百分制為標準。

2.建立各因素的數學計算模型

（1）計算德育的數學模型。以某學年度學生所學的政治理論、法律知識和思想道德為主要的研究參照對象，其中每門課程的成績以期末總評的成績（ai）為準，德育的每門課程的成績所占的權重（ai）由學校里面比較有權威的教師或專家商議決定，即給定了逆稱矩陣（E）。那么容易得出計算德育的數學模型：其中而ai為第n個向量序列en的第i個分量。

（2）計算智育的數學模型。以某學年度學生所學的基礎課、專業課和所做的實踐創新為主要的研究參照對象，基礎課、專業課和實踐創新以期末總評的成績（bi）為準。智育的每門課程的成績所占的權重（βi）由學校里面比較有權威的教師或專家商議決定，即給定了逆稱矩陣（E）。那么容易得出計算智育的數學模型：其中)而βi為第n個向量序列en的第i個分量。

（3）計算體育的數學模型。以某學年度學生所學的體育理論、體育達標為主要的研究參照對象，其中每門課程的成績以期末總評的成績（ci）為準，體育的每門課程的成績所占的權重(γi)由學校里面比較有權威的教師或專家商議決定，即給定了逆稱矩陣（E）。那么容易得出計算體育的數學模型：其中，而Υi為第n個向量序列en的第i個分量。

（4）計算美育的數學模型。以某學年度學生所學的文明禮貌和修養主要的研究參照對象，其中文明禮貌和修養的成績（di）由教師或者班主任評定。美育每門課程成績所占的權重（δi）由學校里面比較有權威的教師或專家商議決定，即給定了逆稱矩陣（E）。那么容易得出計算美育的數學模型：其中而δi為第n個向量序列en的第i個分量。

3.建立計算該學生總成績的數學模型

以上述所算得的智育、德育、體育和美育的成績為主要的研究參照對象，其中智育、德育、體育和美育的成績分別記為A、B、C和D，并且這四門課程的成績所占的權重分別記為a、β、y和δ，也是由學校里面比較有權威的教師或專家商議決定，即給定了逆稱矩陣（E）。那么容易得出計算總成績的數學模型：Z=Aa+Bβ+Cy+Dδ，其中，，，而a、β、y、δ為第4個向量序列e4的4個分量。

六、模型的應用

1.計算智育的成績

例1：設有一專家對智育的三個變量a1(基礎課）、a2 (專業課）、a3（實踐創新能力）作了成對比較，賦值為：。

于是得逆稱矩陣:

同理可得：

取e4的分量作權，得評價智育成績的公式：B=0.185b1 +0.659b2+0.156b3（其中b1、b2、b3分別為智育的基礎課、專業課、實踐創新的成績）。

若某學生的基礎課、專業課和實踐創新成績經測試分別為80、85、90分，則他的智育成績為：B=0.185×80+

0.659×85+0.156×90=84.855。

2.計算總成績

例2：某學校請兩位專家F和G對德、智、體、美四個變量A、B、C、D作了成對比較，其賦值見表2.。

由此可得兩個逆稱矩陣：

同理可得:易得es=e4，故停止迭代。

由此得全面評價學生成績的公式:Z=0.336A+0.475B +0.133C+0.056D 。

設有三名學生經各種考查，其德、智、體、美的成績見表3。

可用前述的公式對三人作出綜合的評價：

Z1=0.336×90+0.475×80+0.133×75+0.056×90=83.26

Z2 =0.336×80+0.475×95+0.133×80+0.056×70=86.57

Z3=0.336×85+0.475×90+0.133×70+0.056×80=85.10

三人的綜合成績排名為：乙、丙、甲。若按總分排名，則甲第一、乙和丙并列第二。層次分析法的關鍵在于，層次結構要合理，成對比較的逆稱陣要可信，這需要對具體問題進行細心調查研究。要盡量使求權系數有較大的計算量，一旦求出來，便可在一定范圍內普遍適用。

七、評價

為了檢驗評價體系和數學模型，筆者以06機電高1班和06計美高1班作為對象，使用上述評價體系進行測評。測評結果見表4。

表4 測評成績分布

測評顯示的結果與學生實際情況比較相符。從表4的測評結果得出：此評價體系從各個層面反映了學生的素質狀況，反映出不同學生在德育、智育、體育和美育等方面的差異性，比較全面地體現了素質教育的綜合性。該學生評價體系具有三個特點：一是具有一定的科學性，二是具有較好的可操作性，三是具有較強的實用性。

本文評價方法中的德育、智育、體育和美育所占的權重卻是經過工作者利用層次分析法計算而得到的，這樣就使我們可以根據不同的學校、不同的專業確定不同的德育、智育、體育和美育的權重，總成績按加權平均計算。

（作者單位：廣州市輕工技師學院）