淺談數學課堂中數學思想的培養

現行職業技術學校數學教材大多有“以應用為目的，以必需夠用為度”和少而精的編撰原則，不少學校的數學教研活動也常把教學內容和課時數的多與少，有哪些數學知識在后續課程是否用到等作為重要議題之一，這里教材的編撰、教學計劃的擬訂和實際教學內容主要是圍繞著高等數學的表層知識，即概念、性質、定理、公式及例題等方面做文章。當然，高等數學的基礎理論和基本技能是每個從業者應該認真把握，以通俗易懂、深入淺出的方式傳授給學生。但僅做到這一點還不夠，還應該善于將隱含在表層知識中的數學思想加以充分挖掘和利用，所謂數學思想就是人們在數學的教學實踐中，通過對數學基礎知識和基本方法的歸納概括，提煉出的認識數學解決數學問題的基本觀點，一旦領會了高度概括的數學思想，也就掌握了解決數學問題的規律性，學習就會由自在變為自覺，由被動變為主動。不論教學內容如何變更刪減，理論層次如何降低，圍繞培養目標，針對學生實際，在教學過程中適當滲透數學思想及其應用還是很有必要的。筆者以為除了在中學階段學生初步掌握的集合思想、分類思想、數行結合思想、函數與方程思想等，在高職高等數學教學中還應著力培養學生的以下數學思想。

一、極限思想

極限是高等數學中最重要的基本概念，工具和方法，它從數量上描述變量在無限變化過程中的變化趨勢，也是把“有限”與“無限”、“靜止”與“運動”、“量變”與“質變”聯系起來的一種數學思想。對于習慣了用靜止觀點、孤立觀點解決初等數學問題的高職學生來說，極限概念和思想內涵較難把握，但對極限思想的萌發背景和直觀性描述還是不難理解的。比如在引入極限概念之前向學生介紹中國古代哲學家莊周的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這句話，實際上就是把木棰長度的變化納入一個無限的過程中去研究。基于直觀的事例，卻蘊涵了極限思想，由此引入極限的描述性定義，學生大多比較容易接受。從極限思想的直觀理解到準確、嚴謹的數學刻畫這就需要一個由老知識向新知識，由不習慣到習慣的過渡過程。極限思想的準確理解和把握，并不是幾個課時就能達到目的，如果學生不能接受，不應喪失信心。隨著高等數學后續內容連續函數、導數和微分、積分以及無窮級數概念的引入，通過反復的接觸和應用，逐步建立變量數學的思維方式，極限思想會逐漸成為學生認識問題、解決問題的有力工具。

二、化歸思想

化歸思想是數學的基本思想之一。所謂化歸就是轉化和歸結的意思，即把待解決和未解決的問題，通過變換、轉化、歸結到一類已解決或者比較容易解決的問題中去，最終求得原問題的解決。以極限、導數和微分、積分的運算為例，都可以看到化歸思想在其中的應用。如在各種極限計算中，其實最終都可以將所求極限通過適當的方法，轉化為以下三種基本極限問題：

（1）特殊極限

（2）兩個重要極限

（3）不定式型，型的極限。

轉化的主要手段就是對待求極限式進行恒等變形，變量代換，等價無窮小代換，或應用四則運算法則，對數變形等。又如所有的積分運算包括不定積分、定積分、重積分等，其運算最終都是通過各種方法手段將其化歸為不定積分的計算問題。

由于化歸的指向可以界定為簡單化、熟悉化和規范化，因此化歸思想應著意于尋找待解決問題與己有知識經驗的邏輯關聯，通過觀察、類比、聯想、探索化歸途徑及目標，從而獲得問題的解決。很顯然，高等數學中的這種化繁為簡、化隱為顯、化難為易、化未知為已知、化一般為特殊、化抽象為具體的數學思想方法，一旦成為學生的化歸意思，其數學思維能力和分析問題、解決問題的能力必將有一個質的飛躍。

三、數學建模思想

應用能力和動手能力的培養是職業計算教育的主要特色，作為重要基礎課的高等數學其教學重點也是數學應用能力的培養和提高，現在不少學生對數學望而生畏，覺得數學抽象難懂，認為數學沒有多大用處。產生這種現象的一個重要原因就是他們沒有發現和體會到數學的實際功效，而對高職學生高等數學應用能力培養的一個很好的途徑就是加強對學生數學建模思想的教學。眾所周知，數學來源與實際，數學理論是從不同事物的紛繁復雜的數量關系抽象反映相同規律的共性和結果的科學，而數學建模就是用數學語言和方法，通過抽象和簡單化，建立描述實際問題的數學模型，然后用適當的數學工具，并且一般要借助于計算機來求解模型，最后，其結果必須接受實際的檢驗，并反復修改，完善這個模型和結果。應該說數學建模思想非常適合高職高等數學教學改革的“降低理論，加強應用，增加實踐性環節”的指導思想，雖然現行高職高等數學中也有如利用導數求極值、最值等應用性知識內容，但這些內容大多是作為數學概念和定理的附屬，更多的是對高等數學理論知識的驗證，并且它們往往偏重于幾何、物理上的應用，應用范圍相當狹窄。這就要求要培養學生數學建模思想，將其融于高等數學基礎教學之中。在教學過程中主要采用加強對數學原理和背景的介紹，注重直觀性闡述，強化微積分理論的數學建模方法，不僅介紹微積分在幾何、物理上的應用，還要多舉一些應用微積分解決非數學的實際問題。實踐證明，數學建模思想的確立能夠調動學生的學習興趣和積極性，有助于開展研究性學習，有利于學生創造性思維的培養和形成，同時，學生的實踐能力、寫作能力乃至于團結協助能力都能得到不同程度的鍛煉和提高。

當然，高職高等數學課程中的數學思想，不只是以上三種，還包括如逼近思想、相對思想、近似思想以及美學思想等。數學思想是數學的核心與靈魂，數學知識的記憶是短暫的，數學思想方法的掌握是長遠的。知識使學生收益于一時，思想和方法使學生收益終身。

（作者單位：駐馬店高級技工學校）