獨辟蹊徑:幾個知識點的另類解讀

一、極限，把圓柱體積從“魔術”中變出來

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年）》里面強調：“借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。”小學階段的立體幾何方面的知識還是比較豐富的，有長方體、正方體、圓柱體、圓錐體等的表面積、體積的計算，以及它們的公式推導。

教學片段1：圓柱體積計算公式的推導（北師大版六年級下冊《圓柱的體積》）。

師：同學們，今天我們研究的是圓柱的體積是怎樣進行計算的？先來看看長方體的體積是怎樣計算的。

生：長方體的體積V＝abh，V＝Sh。

課件出示：長方體，其中長方體標出底面、高。（旁白：長方體體積＝底面積×高）

課件出示：

師：上圖右邊的立體圖形（三棱柱）的體積應該怎樣算？

生1：也是底面積乘高。

生2：把它們合并成一個長方體，算出長方體的體積，然后用長方體的體積除以2得出三棱柱的體積。三棱柱的體積＝長方體的體積÷2＝ 長方體的底面積×高÷2＝（長方體的底面積÷2）×高。長方體的底面積÷2，就正好是三角形的面積。

師：哇！太棒了！謝謝你!

師：我們繼續(xù)來看圖形的變化。

課件出示：

師：圖中的五棱柱，它的體積又是怎樣計算的？

生1：像剛才這位同學說的一樣：底面積乘高。因為我們可以把這個五棱柱分成三個三棱柱。

師：這位同學真了不起！不但講出了怎樣計算，還說出了理由。現(xiàn)在我們繼續(xù)看大屏幕圖形的變化。

課件出示：

師：從上面圖形的變化，大家大膽猜想，圓柱的體積等于什么？說說理由。

生：圓柱的體積等于底面積乘高。因為我們也可以把圓看成是一個近似的正多邊形，邊數(shù)非常非常多的多邊形。

師：了不起！大家的猜想非常正確。圓柱的體積等于底面積乘高。

我們的教科書，在推導圓柱體體積計算公式的時候，都是通過對圓柱進行切割變形，拼接成近似的長方體（即先把圓柱底面分成若干個小扇形，再沿高與半徑切開，再進行拼接成近似的長方體）進行計算的。現(xiàn)在換一種方法，通過極限，讓學生認識到，原來圓柱是這樣“變”來的，因此圓柱的體積也可以在這個“變”的過程中得到。更重要的是，在這一變換的過程中，學生初步認識了立體幾何里面的“不變的東西”——正立柱的體積的計算，都是“底面積乘高”。在這一變換的過程中，初步接觸了一種極限的思想，為后續(xù)的數(shù)學學習種下一顆“變”的種子。

二、倒看，三角形面積得來全不費功夫

在學校的一次教研活動中，筆者聽了一節(jié)示范課，碰到了授課教師預設之外的生成，可惜教師忽視了學生的這一創(chuàng)造性的生成，沒能借題發(fā)揮，捕捉這瞬間的靈智。

教學片段2：三角形面積計算公式的推導。

學生在自主探究、動手操作后，得出：兩個相同的三角形可以拼成一個平行四邊形，三角形的面積＝底×高÷2。

這時，還有兩個學生在爭論不休，教師進行詢問。

生1：我同桌把數(shù)學書倒過來看，說可以不按課本上的方法進行公式推導。

生2：老師，您看，我把書倒過來，是不是能更容易理解？

師：怎么能把書倒過來呢？就按我們大家探究的：兩個相同的三角形可以拼成一個平行四邊形。結果是：三角形的面積＝底×高÷2。

下課后筆者去找那位把書倒過來的同學問了問，他的想法，卻讓筆者驚訝不已！原來把書倒過來以后，圖形成了下面這樣：

現(xiàn)在我們完全可以來一個“倒行逆施”：把一個平行四邊形沿對角線剪成兩個完全一樣的三角形。那么，既然平行四邊形的面積等于底乘高，而三角形的面積等于平行四邊形面積的一半，即三角形的面積=底×高÷2，這樣更加容易理解。

其實像上面這種情況，在數(shù)學中比比皆是，像梯形面積公式的推導、乘法分配律的推導、同分母分數(shù)加減的運算過程的推導等，都可以如法炮制。

（作者單位：廣東省南雄市永康路小學?搖?搖?搖責任編輯：王彬）