數學建模

數學建模是建立數學模型并用它解決問題這一過程的簡稱。數學建模的本質在于它突出地表現了原始問題的分析、假設、抽象的數學加工過程；數學工具、方法和模型的選擇、分析過程；模型的求解、驗證、再分析、修改假設、再求解的迭代過程，它更完整地表現了學數學和用數學的關系。這樣的一個過程給學生再現了一種“微型的科研過程”，不僅促進了孩子數學眼光、數學意識和數學素養的提升，關鍵還促進了一種數學品質的提升。

一、巧妙折騰——讓建模成為理性思維的應然

在教學過程中要讓學生充分體會模型的簡約性、直觀性、實用性抽象性。感受客觀事物的多樣性、復雜性、相似性。享受思維的獨特性、概括的內斂性、發現的創造性。

案例：《認識公頃》教學片段：

1 活動感知1公頃的大小

①師：你認為1公頃到底有多大呢？請你發揮自己的想像猜一猜。

生：大潤發超市占地面積約1公頃。

生：某小學北校操場占地面積約1公頃。

生：邊長是100米的正方形面積是1公頃。

師：打開書81頁，看看你們猜的對不對？

指出：邊長是100米的正方形土地，面積是1公頃。（電腦出示）。（齊讀）

師：請你算一算1公頃等于多少平方米？

②跑一跑，說一說。

師：我們跑過邊長是100米的正方形，你會語言描述一下跑過的過程嗎？

生口頭敘述從“從…出發…，又回到…，這樣一個正方形大約是1公頃。

出示某小學校園平面圖。指出剛才學生敘述的路線，勾畫出一個紅色的透明正方形，邊長是100米的正方形是1公頃。

2 通過計算、比較進一步抽象1公頃

①我們已經初步認識了1公頃，下面我們再來實際感受一下。

師：操場的旁邊是一個樟樹林。

點擊出示長50米，寬50米的場地。（樟樹林）

師：它的面積有1公頃嗎？你怎么判斷的？

生：沒有。

師：現在告訴你它的邊長是50米，知道它的面積了嗎？

生：2500平方米。

師：你還知道了什么？（多少個這么大的地方就是1公頃了？）

生：4個這樣的正方形面積是1公頃。

師：假如你手中的4張正方形紙片邊長是50米，你會怎么把它們拼起來呢？

展示各種拼法。（學生展示）

師：它們的形狀不同，但面積總和是1公頃。

②師：在樟樹林旁邊，同學們做起了游戲，看看他們圍成了一個什么圖形？

出示邊長10米（實拍七位同學手拉手為邊長）的圖。

一個同學一庹長度大約是1，5米，估算一下，幾個學生一庹的長度大約是10米？

這個正方形有多大？（100平方米）多少個這么大的地方就是1公頃了？

出示某小學北校區定位圖。用紅色半透明標注出剛才10名同學在國旗下跑道上站成的正方形。

啟發思考：

沿著跑道連擺10個這樣的正方形，是多少公頃？

生：0.1公頃。

師：還要擺幾排是1公頃？

生：10排。

③師：剛才我們知道了教室的面積是50平方米，我們這兩棟教學樓一共有80個教室，這些教室全部加起來有1公頃嗎？

生：沒有。

師：那多少個教室的面積是1公頃呢？

生：200個。

④師：我們來到了一片尚未開墾的土地，手上沒有測量工具，如果讓你找出一塊1公頃大小的土地，你準備怎么辦呢？

生：……

師：這1公頃的土地，如果讓你來規劃建設，你心中有它美好的設計藍圖嗎？

二、充分感知——讓建模成為感性走向理性的實踐

案例1蘇教版三年級下冊《認識面積》教學片段：

（1）出示數學書

師：這是我們的數學書，他有很多面，（一一介紹封面、背面、側面）

指出：這節課研究封面。

（2）摸一摸課桌的表面

課桌表面、書的封面它們作比較怎么樣，用一句話說一說。

（3）黑板的表面和課桌表面比較怎么描述？

讓學生去摸黑板、課桌的表面師通過剛才的研究我們知道有的面大有的面小。依次介紹，師示范摸物體的面（固定面的大小），

賀卡表面的大小是賀卡表面的大小。

打折卡表面的大小是賀卡表面的大小。

讓學生一邊上來摸物體的面一邊介紹它的面積。

手機表面……

課桌表面……

讓學生自己找身邊的面來介紹它的面積。

案例2蘇教版三年級下冊《認識噸》教學片段：

（1）感受10袋大米的重量。

師：我們南校區食堂剛運進了一些大米，1袋大米100千克，兩袋重幾千克？3袋、4袋、10袋呢？（課前已經帶領學生去食堂看過袋裝大米，并讓學生搬大米，一人搬，多人合作搬）

（2）以感受學生體重為載體，建立1噸的表象。

讓同桌兩人做“背靠背互相背一背”的游戲，再問問對方有多重？

（三年級的學生大約30千克）30個學生大約是1噸，讓30名學生起立，一起走一步，通過感受30名學生的群體，進一步建立1噸的觀念。

（3）感受1噸牛奶的重量，建立1噸重的概念。

師：讓學生推選一名力氣最大的同學上臺搬牛奶，先搬一箱、再搬兩箱、三箱，讓該生談談感受。

讓學生分小組討論：1箱牛奶重12千克，10箱重多少千克？多少箱就是1000大約千克，也就是1噸？

《認識面積》是概念課，感知課，需要大量的生活素材，讓學生充分的感知、體會面積的含義，建立起面積這一概念的模型。教學《認識噸》亦是如此。因此在這類的內容的教學中，要掌握住建模過程中物理變化到化學變化的火候。要學生充分的“感知”不是“趕知”，只有充分的感知、體驗以后才能抽象出模型并走向理性的實踐。

三、放手嘗試——讓建模成為自主理性研究的平臺

案例：在教學《乘法分配律》時教者可以提供：

（1）三1班有3個小組，每小組15人，四1班有3個小組，每小組16人，這兩個班一共有幾人？

（2）玫瑰花一枝9元，百合花一枝15元，康乃馨一支3元，每一枝玫瑰花、百合花、康乃馨扎成一束獻給工人叔叔，買12束要多少元？

老師提供這一類型的素材讓學生從不同的角度來發現這一規律。讓學生舉出這種類型的式子，這些式子是有無數的，怎樣來表達這一規律呢？

學生可能出現的答案：

○x□+◎x□=（○+◎）x□

甲×乙+丁×乙=（甲+丁）×乙

最終要對這個模型進行符號化，引導學生用字母表示：（a+b）xc=axc+bxc

如此，學生這樣建立的數學模型是鮮活的，學生印象是深刻的。在這樣的基礎上（a-b）xc=axc-bxc，（a+b+c）xd=axd+bxd+cxd也就應運而生了。

實際上這一內容的教學非常重要，它為學習五年級上冊小數、六年級上冊分數簡便計算埋下伏筆。在后來的學習中，學生不斷的拆模、建模發現乘法分配律適用于整數、小數、分數。這樣就發掘出了這一現象的本質屬性，對這一現象建立模型，進行符號化得出：（a+b）xc=axc+bxc，并用這樣的模型去解決實際問題。

在整個教學過程中教師充分尊重學生的主體感知，提供豐滿、多樣問題情境，放手讓學生自主創造，從多角度、多維度，發掘出覺知識的本質屬性，建立乘法分配律這一模型，要并它進行符號化。

四、縱橫溝通——讓建模凸顯研究過程的價值

案例：《解決問題的策略》替換和假設解決雞兔同籠問題

（1）每張5元的人民幣若干張，一共40元，一共多少張？

（2）每張5元的和每張2元的人民幣共9張，5元的和2元的各多少張？

（3）每張5元的和每張2元的人民幣共9張，一共36元，5元的和2元的各多少張？這樣由易到難，循序漸進，引入“假設與替換”，不能一下子滿足兩個條件怎么辦？學生說先滿足簡單的。那是先滿足9張還是滿足36元呢？接著和學生一起操作：先拿9張5元；要滿足是36元，怎么辦？學生提出替換，先替換1張行嗎？“不行！”自己換，換好了為止。在學生充分探索的基礎上小結剛才是先怎么辦再怎么辦的？會用這樣的方法找答案嗎？

（4）出示：5元的和2元的人民幣共15張，一共60元，5元的和2元的人民幣各多少張？自己手上的假幣夠嗎？不夠怎么辦？兩人合作替換解決問題，再次小結剛才是怎么解答這道題的。

（5）5元的和2元的人民幣共100張，一共290元，5元的和2元的人民幣各多少張？2人合作行嗎？四人小組呢？全班行不行？行但是很麻煩，有沒有更好的辦法？引導學生可以通過畫或者寫的方法（即5元，5元，……，5元）中間用“……”表示，事實上學生通過剛才的一次一次的初步建模，此時“假設與替換”的策略是呼之欲出，學生很快就能理解并運用這一策略解決問題了。

最后老師可以放手讓學生自己設計“雞兔同籠”的問題，學生設計了很多問題：人與獵狗，牛和站立的袋鼠，三輪車和小汽車……

教師提供研究的問題情境須靠近學生的“最優發展區”、循序漸進。讓學生主體在場，讓學生經歷“從實際問題出發，進行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、和必要的邏輯推理，構建數學模型，解決數學問題，從而解決實際問題”的全過程。只有學生自主建構了關于“雞兔同籠”問題的數學模型，才能將2元5元人民幣、雞兔、自行車小汽車的問題演變為“人狗”、“牛、袋鼠”、“對錯題得分”、“雨天、晴天采果子”的問題，學生的思維在教師的引導下不斷內省自悟，自主構建雞兔同籠問題的模型也便水到渠成了。這樣的學習過程是難忘的，這樣的學習過程學生也是感到輕松有收獲的。學生的學習能力、解決問題的能力都有了不同程度的提升。因此，我想在日常教學中我們要從多方位、多角度著手培養學生用數學的意識，要有意識的建模，把數學方法、數學思想植根于學生的大腦中，讓數學應用意識化為信念，伴隨學生的學習和生活，成為終身享用的財富。

總之，本立而道生，建模意識、建模思想有多遠，我們就能走多遠。數學模型的建立不是最終目的，而是讓學生形成一種模型意識，建立思維方法，反過來再去解決問題，讓學生理解并形成數學的思維、促進數學的理解、促進自我的數學建構，這種數學化的思想才是根本的目的。