例說函數思想的五個應用

摘 要：考生往往由于不知此題是考查函數思想，不會用函數的觀點去認識、看待問題，從而導致沒用函數思想去解題。本文例說了函數思想在解題中的五個應用。

關鍵詞：函數思想；構造；應用

函數思想指的是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。而我們的考生往往由于不知此題是考查函數思想，不會用函數的觀點去認識、看待問題，從而導致沒法解題。以下例說函數思想的幾個應用。

1．構造函數證明（解）不等式

例1 設f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x＜0時， f(x)g(x)+f(x)g′(x)＞0，且g(-3)=0，則f(x)g(x)＜0不等式的解集是 .

解析 設F(x)=f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，易得F(x)為奇函數．又當x＜0時，F′(x)=f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)＞0，所以F(x)在（-∞，0）上為增函數，又F(x)為奇函數，所以F(x)在（0，+∞）上也為增函數。因為F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3)，所以F(x)＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）。

例2 （2007年高考山東理）設函數f(x)=x2+bln(x+1)，其中b≠0．

（Ⅰ）當b＞時，判斷函數f(x)在定義域上的單調性；（Ⅱ）求函數f(x)的極值點；

（Ⅲ）證明對任意的正整數n，不等式ln+1＞-都成立。

解析 （I） 略（II）略（III）由不等式的特點構造函數h(x)=x3-x2+ln(x+1)，則h′ ( x)=在［0，+∞)上恒正，所以h(x)在［0，+∞)上單調遞增，當x∈（0，+∞)時，恒有h(x)＞h(0)=0，即當x∈（0，+∞)時，有x3-x2+ln(x+1)＞0從而ln(x+1)＞x2-x3恒成立，對任意正整數n， 取x=得ln(+1)＞-．

評注 善于根據題意構造、抽象出函數關系式是用函數思想解題的關鍵。例1中就是構建函數F(x)=f(x)g(x)，再根據題意明確該函數的性質，然后由不等式的解集與函數的圖象間的關系，使問題獲得解決的。而例2第（Ⅲ）題中貌似不等式證明問題，實質可通過構造函數，利用函數的單調性解決問題。

2．構造函數解決不等式恒成立問題

例3 （2012年高考福建文）已知關于x的不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立，則實數a的取值范圍是 .

解析 法一：構造函數f(x)=x2-ax+2a，由題設關于x的不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立，等價轉化為f(x)的最小值大于0，而函數f(x)的最小值為，由＞0得0＜a＜8．

法二：同法一構造函數f(x)，結合題設條件，需f(x)的圖象在x軸的上方，則Δ=a2-8a＜0，解得0＜a＜8．

法三：可以進行參數分離，由x2-ax+2a＞0得x2＞a（x-2），本題要對x-2進行討論，構造函數g(x)=，轉化為求函數g(x)的最值解決問題．

評注 不等式恒成立問題，可以利用函數的性質，去構造函數f(x)［或法三中的g(x)］，通過函數的圖象、最值使問題獲得解決的。

3．構造函數解決方程有解問題

例4 若關于x的方程sin2x+cosx+m+1=0有實數解，則實數m的取值范圍是 .

解析 原方程可化為m=-sin2x-cosx-1，由題設知m的取值范圍為函數f(x)=-sin2x-cosx-1的值域，而函數f(x)的值域可求得［-，0］，即m的取值范圍為［-，0］.

評注 將m表示為x的函數，構造函數f(x)=-sin2x-

cosx-1，利用方程有解與函數f(x)的值域的關系，確定m的范圍。

4．構造函數解決取值范圍問題

例5 （2012年高考福建理）對于實數a和b，定義運算“*”：a*b=a2-ab，a≤b，b2-ab，a＞b設f（x）=（2x-1）*（x-1），且關于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根，x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是 。

解析 由題設得：f（x）=2x2-x，x≤0，-x2+x，x＞0不妨設x1＜x2＜x3，利用函數f（x）的圖象可知：x1為方程2x2-x=m的負數根x2、x3是方程-x2+x=m的兩個根，則2x12-x1=m，x2x3=m，并且由題設需0＜m＜，故0＜2x12-x1＜，所以＜x1＜0．則x1x2x3=x1m=x1（2x12-x1）=2x13-x12。

設g（x）=2x3-x2(＜x＜0)，利用函數g（x）的單調性求出g（x）∈(，0)．即x1x2x3的取值范圍是(，0)。

評注 本題是函數與方程思想的綜合應用，問題的解決在于含有多個變量的x1x2x3中，要理清問題的本質，揭示其中的函數關系，選定合適的主變量x1，去構造函數g（x），利用函數的單調性，使問題得以解決。

5．構造函數解決最值問題

例6 (2010年高考全國卷Ⅰ)已知圓O的半徑為1，PA、PB、為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，那么?的最小值為( )

A．-4+ B．-3+

C．-4+2 D．-3+2

解析 法一：設==x，∠APB=θ，則tan=，cosθ=則

?=x2×==

=x2+1+-3≥2-3

當且僅當x2+1=，即x2=-1時取等號，故?的最小值為-3+2．選D。

法二：設∠APB=θ，0＜θ＜π，則==，則?=cosθ

=2 cosθ=?(1-2sin2)

=≥2-3。

評注 要善于觀察問題的結構特征，選擇恰當的變量（可以是==x或∠APB=θ為變量），建立數量積?與變量之間的函數關系，利用函數的最值，本題選擇用基本不等式求最值，使問題得以解決。

例7 （2010年高考遼寧理）已知數列{an}滿足a1=33，an+1-an=2n，則的最小值為 .

解析 可以利用累加法求數列的通項公式an=n2-n+33，所以=+n-1。

設f（x）=+x-1，易知函數f（x）=+x-1在(，+∞)上單調遞增，在(0，)上單調遞減，由于n∈N*，所以當n=5或n=6時，取最小值，而=，=，所以的最小值為。

評注 利用累加法求數列通項公式后，再構造函數f（x），利用函數單調性求得最小值。對于數列問題，數列的通項或前n項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點處理數列問題十分重要。