例說函數(shù)思想的五個應(yīng)用

摘 要：考生往往由于不知此題是考查函數(shù)思想，不會用函數(shù)的觀點去認識、看待問題，從而導(dǎo)致沒用函數(shù)思想去解題。本文例說了函數(shù)思想在解題中的五個應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：函數(shù)思想；構(gòu)造；應(yīng)用

函數(shù)思想指的是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。而我們的考生往往由于不知此題是考查函數(shù)思想，不會用函數(shù)的觀點去認識、看待問題，從而導(dǎo)致沒法解題。以下例說函數(shù)思想的幾個應(yīng)用。

1．構(gòu)造函數(shù)證明（解）不等式

例1 設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時， f(x)g(x)+f(x)g′(x)＞0，且g(-3)=0，則f(x)g(x)＜0不等式的解集是 .

解析 設(shè)F(x)=f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，易得F(x)為奇函數(shù)．又當x＜0時，F(xiàn)′(x)=f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)＞0，所以F(x)在（-∞，0）上為增函數(shù)，又F(x)為奇函數(shù)，所以F(x)在（0，+∞）上也為增函數(shù)。因為F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3)，所以F(x)＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）。

例2 （2007年高考山東理）設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bln(x+1)，其中b≠0．

（Ⅰ）當b＞時，判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的極值點；

（Ⅲ）證明對任意的正整數(shù)n，不等式ln+1＞-都成立。

解析 （I） 略（II）略（III）由不等式的特點構(gòu)造函數(shù)h(x)=x3-x2+ln(x+1)，則h′ ( x)=在［0，+∞)上恒正，所以h(x)在［0，+∞)上單調(diào)遞增，當x∈（0，+∞)時，恒有h(x)＞h(0)=0，即當x∈（0，+∞)時，有x3-x2+ln(x+1)＞0從而ln(x+1)＞x2-x3恒成立，對任意正整數(shù)n， 取x=得ln(+1)＞-．

評注 善于根據(jù)題意構(gòu)造、抽象出函數(shù)關(guān)系式是用函數(shù)思想解題的關(guān)鍵。例1中就是構(gòu)建函數(shù)F(x)=f(x)g(x)，再根據(jù)題意明確該函數(shù)的性質(zhì)，然后由不等式的解集與函數(shù)的圖象間的關(guān)系，使問題獲得解決的。而例2第（Ⅲ）題中貌似不等式證明問題，實質(zhì)可通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題。

2．構(gòu)造函數(shù)解決不等式恒成立問題

例3 （2012年高考福建文）已知關(guān)于x的不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 .

解析 法一：構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2-ax+2a，由題設(shè)關(guān)于x的不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立，等價轉(zhuǎn)化為f(x)的最小值大于0，而函數(shù)f(x)的最小值為，由＞0得0＜a＜8．

法二：同法一構(gòu)造函數(shù)f(x)，結(jié)合題設(shè)條件，需f(x)的圖象在x軸的上方，則Δ=a2-8a＜0，解得0＜a＜8．

法三：可以進行參數(shù)分離，由x2-ax+2a＞0得x2＞a（x-2），本題要對x-2進行討論，構(gòu)造函數(shù)g(x)=，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)的最值解決問題．

評注 不等式恒成立問題，可以利用函數(shù)的性質(zhì)，去構(gòu)造函數(shù)f(x)［或法三中的g(x)］，通過函數(shù)的圖象、最值使問題獲得解決的。

3．構(gòu)造函數(shù)解決方程有解問題

例4 若關(guān)于x的方程sin2x+cosx+m+1=0有實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是 .

解析 原方程可化為m=-sin2x-cosx-1，由題設(shè)知m的取值范圍為函數(shù)f(x)=-sin2x-cosx-1的值域，而函數(shù)f(x)的值域可求得［-，0］，即m的取值范圍為［-，0］.

評注 將m表示為x的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)f(x)=-sin2x-

cosx-1，利用方程有解與函數(shù)f(x)的值域的關(guān)系，確定m的范圍。

4．構(gòu)造函數(shù)解決取值范圍問題

例5 （2012年高考福建理）對于實數(shù)a和b，定義運算“*”：a*b=a2-ab，a≤b，b2-ab，a＞b設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），且關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根，x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是 。

解析 由題設(shè)得：f（x）=2x2-x，x≤0，-x2+x，x＞0不妨設(shè)x1＜x2＜x3，利用函數(shù)f（x）的圖象可知：x1為方程2x2-x=m的負數(shù)根x2、x3是方程-x2+x=m的兩個根，則2x12-x1=m，x2x3=m，并且由題設(shè)需0＜m＜，故0＜2x12-x1＜，所以＜x1＜0．則x1x2x3=x1m=x1（2x12-x1）=2x13-x12。

設(shè)g（x）=2x3-x2(＜x＜0)，利用函數(shù)g（x）的單調(diào)性求出g（x）∈(，0)．即x1x2x3的取值范圍是(，0)。

評注 本題是函數(shù)與方程思想的綜合應(yīng)用，問題的解決在于含有多個變量的x1x2x3中，要理清問題的本質(zhì)，揭示其中的函數(shù)關(guān)系，選定合適的主變量x1，去構(gòu)造函數(shù)g（x），利用函數(shù)的單調(diào)性，使問題得以解決。

5．構(gòu)造函數(shù)解決最值問題

例6 (2010年高考全國卷Ⅰ)已知圓O的半徑為1，PA、PB、為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，那么?的最小值為( )

A．-4+ B．-3+

C．-4+2 D．-3+2

解析 法一：設(shè)==x，∠APB=θ，則tan=，cosθ=則

?=x2×==

=x2+1+-3≥2-3

當且僅當x2+1=，即x2=-1時取等號，故?的最小值為-3+2．選D。

法二：設(shè)∠APB=θ，0＜θ＜π，則==，則?=cosθ

=2 cosθ=?(1-2sin2)

=≥2-3。

評注 要善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特征，選擇恰當?shù)淖兞浚梢允?=x或∠APB=θ為變量），建立數(shù)量積?與變量之間的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的最值，本題選擇用基本不等式求最值，使問題得以解決。

例7 （2010年高考遼寧理）已知數(shù)列{an}滿足a1=33，an+1-an=2n，則的最小值為 .

解析 可以利用累加法求數(shù)列的通項公式an=n2-n+33，所以=+n-1。

設(shè)f（x）=+x-1，易知函數(shù)f（x）=+x-1在(，+∞)上單調(diào)遞增，在(0，)上單調(diào)遞減，由于n∈N*，所以當n=5或n=6時，取最小值，而=，=，所以的最小值為。

評注 利用累加法求數(shù)列通項公式后，再構(gòu)造函數(shù)f（x），利用函數(shù)單調(diào)性求得最小值。對于數(shù)列問題，數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要。