加強函數模型教學提高解應用題的能力

摘 要：本文通過舉例中職學校教材里常見的四種函數應用題的教學，讓學生熟悉并掌握建立函數模型，從而提高解應用題的能力。

關鍵詞： 函數模型；應用題；能力

眾所周知，應用題問題是數學教學中的一個薄弱環節，學生在解數學應用題時常感到束手無策，很難順利求解，究其原因：一是數學應用題的情景往往采用描述性語言，文字敘述較長，背景陌生，學生難以理解題意，無法抓住關鍵詞句全面理解題目的已知和未知；二是數學模型較生疏。數學應用題，就是指用數學的方法將一個層面上非數學問題或非完全的數學問題轉化成完全形式化的數學問題，即把實際問題轉化成數學問題，其中重要的一種類型就是建立函數模型。建立函數模型，首先要設出變量，尋找函數關系，通過建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，然后運用函數的知識和方法去解決。因此，熟悉函數模型，恰當進行轉化，是解好應用題的關鍵。中職學校教材里的函數應用題，常見的有以下幾種：

一、一次函數模型

關鍵詞句是成本與產量之間的關系、銷售收入與產量之間的關系等。常見的是價格對銷量的影響，即價格提高，銷量減少，反之，價格降低，銷量就會增加。

例1 某商品的最低價格為60元時，月銷售量為1800件，價格每提高3元，月銷售量就會減少600件，在不考慮其他因素時，試求這種商品的月銷售量與價格的關系式，當價格提高到多少元時，這種商品就會賣不出去？

解析：設商品價格提高n個3元時，則商品價格為x=60+3n（元），即n=，銷售量y=1800-600n（件）。

∴y=1800-600×

=1800-200x+12000

=13800-200x

商品賣不出去時，銷售量y=0

∴13800-200x=0 即x=69（元） ∴x∈［60，69］

所以這種商品的月銷售量與價格的函數關系式為y=13800-200x，x∈［60，69］。

當價格提高到69元時，這種商品就會賣不出去。

二、二次函數模型

在實際生活中，普遍存在最優化問題，如有關造價用料最少、利潤最高、幾何面積最大等問題都可以轉換為二次函數最值問題。2004年至2011年福建省“高職單招”統一考試應用題均考查二次函數的實際應用。主要是：一種產品要取得最佳的利潤，就要考慮成本、銷售量與定價等問題，或是如何設計幾何圖形的邊長，才能使其面積最大。

例2 （2010年高職單招高考題）某超市銷售一種成本為60元/件的商品，當商品的銷售價為80元/件時，銷售量為2000件，而銷售價每提高2元/件，銷售量就減少40件，問：當銷售價多少時，超市銷售該商品所獲利潤最大？并求最大利潤。（注：利潤 = 銷售收入—成本）

解析 設商品價格提高n個2元時，則商品價格為x=80+2n（元/件），銷售量Q=2000-40n（件）。利潤為y元

因此利潤為

y=x?Q-60?Q

= (80+2n)? (2000-40n)-60? (2000-40n)

=-80n2+3200n+4000

這是一個二次函數，且a=-80＜0，因此上述函數在（-∞，+∞）上有最大值，

配方得y=-80（n-20）2+72000

所以當n=20，即x=120時，y取得最大值，且最大值為72000。

答：當銷售價為120元/件時，超市銷售該商品所獲利潤最大，且最大利潤為72000元。

例3 （2011年高職單招高考題）如圖1面舊墻，另三邊用長度等于20（單位：米）籬笆圍一個矩形區域EFGH，設FG=x （單位：米）.

(1) 寫出矩形EFGH的面積S關于x的函數關系式，并指出其定義域；

（2）當x取何值時，S最大？并求出S的最大值。

解析 因為FG=x，且FG+2HG=20

所以 HG==10-， 0

所以 S=x?10-

= -x2+10x。定義域為（0， 20）

因為S=-x2+10x =-（x-10）2+50，x∈（0， 20）

所以當x=10時，S取最大值，且最大值為50。

三、分段函數型

函數在自變量的不同取值范圍內，需要用不同的解析式來表示，把這種函數叫做分段函數。分段函數是一個函數，而不是幾個函數，只不過該函數需要分段表示。

現實生活中分段函數在出租車計費、稅收、日常生活（水費、電費等）等方面有極其廣泛的應用。

例4 某地出租車按如下方法收費：當行程不超過3 km時，收費10元；行程超過3km但不超過7km時，超過3km部分按1.6元/km計價；行程超過7km，超過7km部分按2.4元/m計價。

(1) 試寫出以車費y（元）與行車里程x（km）之間的函數解析式。

(2) 若某人要坐出租車到6.5 km遠的商場去，問他要付多少車費？

解析 根據題意，列出表1：

表1

即y與x之間的函數解析式為y=10；0＜x≤31.6x+5.2；3＜x≤72.4x-11.6；x＞7x

（2）因為6.5∈(3，7］，

所以y=1.6×6.5+5.2=15.6。

即某人要坐出租車到6.5 km遠的商場去，需要付費15.6元。

四、指數函數模型

在應用題中常遇到的按復利計算利息的一種儲蓄、平均增長率等關鍵詞句。

例5 某市2004年有常住人口54萬，如果人口按每年1.2%的增長率增長，那么2010年該市常住人口約為多少萬人（精確到1萬）？

解 經過1年即05年常住人口為：

y=54+54×1.2%=54×1.012

經過2年即06年常住人口為：

y=54×1.012+54×1.012×1.2%

=54×1.012×(1+1.2%)=54×1.0122

經過3年即07年常住人口為：

y=54×1.0122+54×1.0122×1.2%=54×1.0123

……

由此得出，經過x年該市常住人口為y=54×1.012x

當x=6，即2010年該市常住人口為y=54×1.0126≈58。

答：2010年該市常住人口約為58萬人。

在實際問題中，常遇到有關平均增長（遞減）率的問題，如果原來產值的基礎數為N， 平均增長率為p，則對于時間x的總產值或總產量y，可以用下面的公式：y=N（1±p）x表示。

理解題意是解應用題的關鍵。在平時的教學中，教師應指導學生逐字逐句去理解題意，特別是抓住關鍵詞句全面理解題目的已知和未知，只有讀懂了題目，正確理解題意，明確題目的實際背景，才有可能正確地進行抽象，把實際問題轉化成數學問題。中職學校教材中所列應用題，對于學生來說雖有一定困難，教師在教學中不要輕易刪減，教學中要多想辦法，多下功夫幫助學生克服困難?？傊?，幫助學生縝密地審題是解應用題的首要任務。