長木板類問題的處理方法

【摘要】牛頓運行定律，動量守恒定律、能量守恒定律是物理學科中的三大定律，而不同情況下的長木板問題，能很好地體現這三大定律的應用。

【關鍵詞】長木板類;問題;處理方法

牛頓運動定律、動量守恒定律、能量守恒定律是物理學科中的三大定律，而不同情況下的長木板類問題，能很好的體現的這三大定律的綜合應用。根據多年的教學經驗，我把長木板類問題的基本處理方法綜述如下。

1 物體在長木板上滑動，長木板與地面間無摩擦

如圖1所示，質量為m的木塊以速度V0滑上原來靜止的質量為M的木板，水平地面光滑，木板長為1，木塊與木板間的動摩擦因數為μ，當木塊運動到木板的另一端時，它們的速度分別是V1和V2，木板的位移為S。

在該過程中，摩擦力對木塊做的功Wa=μmg(s+1)

摩擦力對長木板做的功Wa=μmgs

摩擦力對系統做的總功為W1+Wn+Wa=-μmgl

功是能量轉化的量度，在該過程中，系統的功能減少同時產生了內能。系統功能的減少量克服摩擦力做功內能，故系統產生的內能等于摩擦力對系統做功的絕對值。即Q=fs相對應該強調的是，內能只能對應系統功能的變化，而不是只要摩擦力做功，就轉化為內能。

如上述過程中，摩擦力對木塊做功，等于木塊功能的減少量，即

-μmg(s+1)=12mv12-12mv02

摩擦力對木板做的功，等于木板功能的增量，即μmgs=12mv22

在這兩個摩擦力做功的過程中，均與內能無關。對木塊和木板這一系統，功能的減少量等于內能。即

12mv02-12mv12-12mv22=μmgl

例1（2004年高考甘、新、寧、青25題）

如圖2，長木板ab的b端固定一擋板，木板連同擋板的質量為M=4.0kg，ab間的距離為s=2.0m木板位于光滑水平面上，在木板a端有一小物塊，其質量m=1.0kg，小物塊與木板間的滑動摩擦系統μ=0.10，它們都處于靜止狀態?，F令小物塊以初速v0=4.0m/s沿木板向前滑動，直到和擋板相碰。碰撞后，小物塊恰好回到a端而不脫離木板。求碰撞過程中損失的機械能。

解析：運動過程分析；

小物塊受到向左的摩擦力，向右做減速。長木板受向右的摩擦力，向右做加速，小物塊相對長木塊向右運力，到b端和長木板相碰如圖3，碰后長木反速度比碰前增大。小物塊可能以小于長木板的速度繼續向右運動，也可能被反彈，無論哪種情況，長木板都受到向右的摩擦力，向右做減速，小物塊可能向右做加速，也可能先問左做減速，再向右做加速。因為碰后長木板的速度大，所以碰后長木板相對于小物塊向右運動?！靶∥飰K恰好回到a端而不脫離木板”，表明，當小物塊到塊a端時，恰與長木塊達到共速。如圖4，能量轉化情況：系統功能的減少量等于碰前、碰后兩個過程中產生的內能和碰撞過程中損失的機械能之和。整個過程中，相對唯一為2s，故由于摩擦產生的內能Q=2μmgs。

解：設木板和小物塊最后的共同速度為V0由動量守恒定律：mv0=(M+m)v

設碰撞過程中損失的機械能為E，則12mv02-12(M+m)v2+E+μmg2s

得E=2.4J

2 物體在長木板上滑動，長木板與地面間有摩擦，或長木板受其他外力作用

這種情況下，系統的功量不守恒。不能直接應用動量守恒定律和總能量守恒定律求解。這時，要應用動能定理或運動學公式求解。

例：如圖5所示，兩個完全相同的質量為m的木板A、B置于水平地面上，他們的間距s=2.88m。質量為2m大小可忽略的物塊C置于A板的左端。C與A之間的動摩擦因數為μ1=0.22，A、B與水平地面之間的動摩擦因數為μ2=0.10，最大靜摩擦力可以認為等于滑動摩擦力。開始時，三個物體處于靜止狀態。現給C施加一個水平向右，大小為2/5mg的恒力F，假定木板A、B碰撞時間極短，且磁撞后粘連在一起，要使C最終不脫離木板，每塊木板的長度至少應為多少？

解析：

運動過程分析：C受恒力F作用，A能否與C一起向右加速呢？這取決于F和與C、A間摩擦力的大小以及A與地面間摩擦的大小。

A、B碰撞瞬間，內力遠遠大于外力，A、B組成的系統動量守恒，且碰撞具有瞬時性，磁撞瞬時，C的速度不變。A、B碰后，C受F和摩擦力作用，因為F＜f1，故C在A、B上做減速。A、B受到C對A、B向右的摩擦力f1=0.44mg，受到地面向左的摩擦力f地=μ1 4mg。

f1＞f地故AB向右做加速?！耙笴最終不脫離木板，每塊木板的長度至少應為多少？”這句話對應著臨界條件：C到B的右端時，A、B、C恰時達到共速。

解：A、C間的最大靜摩擦力f1=μ2mg=0.44mg。

A與地面之間的最大靜摩擦力f2=μ3mg=0.3mg。F=0.4mg。

F2＜F＜f1，所以A、C可以一起向右加速運動。

設A與B相碰時，A、C的速度為V1，根據運能定理

Fs-μ3mgs=123mv12

設A、B碰后速度為V2，根據動量守恒定律

mv1=2mv2

設板長為L，A、B碰后又一起向右運動的距離為1，運動時間為t，A、B、C最終的共同速度為V

對C，根據動定原理

(F-μ22mg)(1+2L)=122mv2-122mv12

根據動量定理

(F-μ12mg)t=2mv2-2mv1

對A、B，根據動能定理

μ12mgl-μ24mgl=122mv2-122mv22

根據動量定理

(μ12mg-μ24mg)t=2mv-2mv2

L=0.3m

從上述兩題可以看出，若只有物體和長木板之間的相互作用時，則應用動量守恒定律、能量守恒定律求解；若系統除物體和長木板之間的作用外，還有其他力做功，則要應用動能定理、動量定理求解。

以上是筆者的一些教學體會，還望同學們自己多歸納、總結，加深對物理規律的理解。