數(shù)學(xué)教學(xué)中如何激活學(xué)生的思維

【摘要】數(shù)學(xué)課是一門重點(diǎn)課，數(shù)學(xué)學(xué)得好差直接影響著其它學(xué)科的學(xué)習(xí)，而教師在教學(xué)方法又左右著學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)效率。

【關(guān)鍵詞】教學(xué);激活;學(xué)生;思維

在中學(xué)的課程設(shè)備中，數(shù)學(xué)課是一門重點(diǎn)課，數(shù)學(xué)學(xué)得好差直接影響著其它學(xué)科的學(xué)習(xí)，而教師在教學(xué)方法又左右著學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)效率。

1 出示課題寓新奇

如何吸引學(xué)生的注意力，使他們一上課就進(jìn)入角色，產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲？這就需要教師出示課題寓新奇。例如在講授“對(duì)數(shù)”時(shí)，先讓學(xué)生口答24與43各等于多少？后指出如何表示16是2的多少次冪？64是4的多少冪？進(jìn)而提問如何表示2是3的多少次冪？這樣，學(xué)生既感到驚奇，又迫切期待解決。于是提出課題“對(duì)數(shù)”。

2 推陳出新寓多解

課堂上選講的例題不宜過多，對(duì)典型的例題注意從知識(shí)的橫向聯(lián)系上去剖析，尋求多種解法，并通過方法的比較，鑒別優(yōu)劣，推陳出新。例1：求過點(diǎn)P（2，3）并且在兩軸上的截距相等的直線方程。

解一：設(shè)所求值線方程為y-3=k(x-2)(k≠0)，令x=0得y=3-2k，即2k2-k-3=0，解之得k1=3/2，k2=-1，所求直線方程為y=3x/2或y=-x+5

解二：設(shè)所求直線方程為y=kx+b (k≠0)，令y=0得x=-b/k；由題意得：-b/k=b，解之得b=0或k=-1，因直線過點(diǎn)（2，3），所以3=2k+b，當(dāng)b=0時(shí)k=3/2；當(dāng)k=-1時(shí)，b=5，故所求直線方程為y=3x/2，或y=-x+5

解三：設(shè)所求直線與y 軸的交點(diǎn)為(0，b)，(b≠3)，則由兩點(diǎn)式得，即y=3……(1)令y=0得x=2-，又直線在y軸上的截距為b，則由題意得b=2-，即b2-5b=0，∴b1=0，b2=5，代入(1)，化簡得所求直線方程為y=3x/2或y=-x+5

解四：當(dāng)所求直線在坐標(biāo)軸截距不為零時(shí)，方程設(shè)為: x+y=a，截距為零時(shí)設(shè)為: y=kx，∵直線過點(diǎn)(2，3)，∴2+3=a或3=2k，即a=5或k=3/2，∴所求直線方程為y=3x/2或y=-x+5

3 探索規(guī)律寓變題

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)命題的變更、引申、推廣、挖掘典型題目間的內(nèi)在聯(lián)系，組織知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，縱向深化知識(shí)、無疑對(duì)培養(yǎng)應(yīng)變能力、探索能力有所裨益。

例如，求點(diǎn)p(-5， 2)關(guān)于直線3x-y-3=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：設(shè)所求對(duì)稱點(diǎn)為p′（x′，y′），則由題意得x′-52=-13……(1)，3·x′52-y′+22-3=0……(2) ，由(1)(2) 得x′=7，y′=-2，∴所求的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，-2）。

變題一：求直線L1：2x-y+1=0關(guān)于直線L2：3x-y-3=0的對(duì)稱直線L的方程

思路一：設(shè)P(x， y)為所求直線L上任一點(diǎn)，它關(guān)于直線L2的對(duì)稱點(diǎn)為Q（x′，y′），則L2為線段PQ的垂直平分線，于是PQ中點(diǎn)M(x′+x2，y′+y2)在直線L2上，即3·x′+x2-y′+y2-3=0……(1)，由L2⊥PQ，即KL2？KPQ=-1……(2)，聯(lián)立(1)(2)得：x′=-(4x-3y-9)/5……(3) ，y′=(3x+4y-3)/5……(4) 由于Q(x′，y′)在L1上，∴2 x′，y′+1=0，將(3)(4)代入上式化簡得所求方程為11x 2y 26=0

思路二：根據(jù)L1與L2的角等于L2到L的角，利用，求出所求直線L的斜率，現(xiàn)求L1與L2交點(diǎn)會(huì)標(biāo)，因該點(diǎn)在L上，故由點(diǎn)斜式可得方程。

思路三：求L1與L2交點(diǎn)坐標(biāo)，再在L1上任取一點(diǎn)求出該點(diǎn)關(guān)于L2的對(duì)稱點(diǎn)，后由兩點(diǎn)式可得方程。

變題二：光線沿著直線2x y+1=0射入遇到直線3x y 3=0即行反射，求反射光線所在直線方程。

變題三：在△ABC中AB所在直線為2x y+1=0，∠BAC的平分線所在直線方程為3x y 3=0，求邊BC所在直線方程。

注：變題二、變題三是變題一的不同敘述方式，實(shí)質(zhì)是同一題。而這樣一變縱向深化了知識(shí)激發(fā)了興趣，優(yōu)化了教學(xué)結(jié)構(gòu)，起到了“聞一知十”的教學(xué)作用。

變題四：即知圓C：（x+5）2+(y 2)2=1和直線L：3x y 3=0，求圓C關(guān)于直線L對(duì)稱的圓方程。

注意到所求對(duì)稱的圓半徑與已知圓半徑相等，故只需求圓心（-5，2）關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，這由原例1得C′(7，-2)，從而求這圓的方程為（x-7）2+(y+2)2=1，當(dāng)然，這里還可按變題一的“思路一”解之。

于是可知“求曲線f(x，y)=0關(guān)于直線L：Ax+By+C=0的對(duì)稱曲線的方程”的一般方法，即按“思路一”根據(jù)PQ⊥L且PQ中點(diǎn)在L上，求x′=φ(x， y)，y′=ψ(x′，y′)得，后代入f(x′，y′)=0可得所求對(duì)稱曲線的方程。

4 求實(shí)補(bǔ)虛寓設(shè)錯(cuò)

學(xué)生受思維定勢(shì)的消極影響或?qū)W得不實(shí)，常出現(xiàn)思維殘缺，忽視題中隱含條件。故在教學(xué)中善于利用一些具有隱含信息的題目，采用先出錯(cuò)后糾正的方法加強(qiáng)辨異鑒別訓(xùn)練，這不僅有利排除學(xué)生的思維障礙，更有利培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性批判性，提高學(xué)生思維品質(zhì)。

例3，求函數(shù)y=log1/2(-x2+2x+3)的單調(diào)遞減區(qū)間。

錯(cuò)解：令u=-x2+2x+3，則u=-(x 1)2+4，由二次函數(shù)性質(zhì)知在u上(-∞，1)是增函數(shù)，又0＜1/2＜1，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知y=log1/2(-x2+2x+3)在上(-∞，1)是減函數(shù)，所求的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，1)。

上面的解法觖視了函數(shù)的定義域。正確的解法是：由-x2+2x+3＞0得函數(shù)定義是（-1， 3），令u=-x2+2x+3，則u=-(x 1)2+4(-1＜x＜3) ，由二次函次性質(zhì)知u在(-1， 1)上是增函數(shù)，又0＜1/2＜1，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知y=log1/2(-x2+2x+3)在上(-1， 1)是減函數(shù)，所求的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1， 1)。

事實(shí)上，函數(shù)單調(diào)區(qū)間是建立在函數(shù)定義域基礎(chǔ)上，通過對(duì)錯(cuò)解的剖析，只需求出“錯(cuò)解”中得出的單調(diào)遞減區(qū)間與原函數(shù)的定義域的交集，即（-1，1） (-1， 3) =（-1，1）為所求的單調(diào)遞減區(qū)間。