二次函數與一元二次方程(一)

摘 要：本節課是義務教育課程標準實驗教科書北師大版《數學》九年級下冊第二章《二次函數》第8節（第70-78頁），本節內容安排兩課時完成，主要研究二次函數和一元二次方程的聯系。在這一過程中，教科書密切結合現實背景，強調意義的理解，使學生在現實背景中體會二次函數和一元二次方程的聯系。本節課為第一課時，主要探索函數與方程間的關系，并獲得方程的圖像解法，從而發展學生數形結合的意識。

關鍵詞：二次函數；一元二次方程；課程；教學

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）03-201-02

一、學情分析

學生已經學習了二次函數圖像和代數表達式的三種表示方法，其中對一般式和頂點式做了大量的訓練，因此從“數“的方面對二次函數有較為全面的認識，但對交點式仍然停留在感性認識的成面，通過本節課對二次函數進行數形結合的全面而深刻的接觸。另外，學生以前在對一次函數和一元一次方程的學習中積累了一些（如一次函數圖像的應用）經驗，因此可通過類比學習法完成新課。

二、目標分析

1、教學目標：

知識與技能：理解二次函數圖像與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，以及滿足什么條件時方程有兩個不等的實根，有兩個相等的實根和沒有實根。

過程與方法：（1）通過觀察二次函數圖像與x軸交點的個數，談論一元二次方程的根的情況，進一步培養學生的數形結合思想。

（2）理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數y=ax2+bx+c與直線y=h（h是實數）圖像交點的橫坐標。

情感態度與價值觀：經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體會二次函數與方程之間的聯系。具有初步的創新精神和實踐能力及合作意識。

2、教學重點：理解二次函數圖象與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，及滿足什么條件時方程有兩個不等的實根，有兩個相等的實根和沒有實根。

3、教學難點：理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實數）圖象交點的橫坐標。

四、課前準備

學生分組及分工：按照學生的學習水平和能力大小，將學生分為6組，每組7-8人。每組設正副組長各一名，若干個“師父”，采取一對一師徒幫教形式。組長負責出題、教題，講題。副組長還負責管理紀律和計分等。

五、教學過程

1、回味多彩人生，導入新課

設計問題：（課件展示）我班謝志鵬同學在10月份校運會上，勇奪鉛球比賽第二名。已知鉛球上拋的高度h(m)與飛行的距離x(m)滿足關系式：h=-0.03(x-5)2+3，你知道他把鉛球擲出多遠嗎？

設計意圖：從學生的校園生活中提取上課素材，能拉近數學與生活的距離，讓學生體會到數學在生活中的應用，提高學生上課的積極性。鉛球問題的設置，主要目的是讓學生從代數和圖像兩個方面思考和解決問題。

代數方面，令h=-0.03(x-5)2+3中的h=0，就能將函數問題轉化為方程問題，求出的x就是擲出的距離。圖像方面，直接觀察圖像就能得出答案。引導學生注意二者之間是否有聯系，從而引出新課的學習。預計用時：5分鐘

2、自主學習、合作探究

（課件展示）二次函數y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的圖象如圖所示。

(1) 每個圖象與x軸有幾個交點？

(2) 一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有幾個根?驗證一下一元二次方程x2-2x+2=0有根嗎?

(3) 二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關系?

（附“交點個數、方程的根和判別式三者聯系”表格）

設計意圖：本環節為自主探究，獲取新知的部分。學生通過觀察圖像得到每個圖像與x軸的交點個數，再通過計算方程的根得到根的個數，從而得出圖像交點與方程根二者間的聯系。學生在此過程中積極參與探索，多和小組內其他同學進行交流，并虛心采納別人合理的意見，老師對有困難的同學進行點撥。預計用時：8分鐘

3、拋磚引玉

判斷下列拋物線與x軸的交點坐標情況

(1) y=x2-x+3

(2) y=x2+2x-8

(3) y=x2+4x+4

解：(1)∵交點在x軸上，

∴它們的縱坐標為0，

∴令y=0，則x2-x+3=0

Δ=b2-4ac<0

∴此拋物線與x軸無交點

(2)x2+2x-8=0，Δ=b2-4ac>0，兩交點坐標為(-4，0)，(2，0)

(3)x2+4x+4=0，Δ=b2-4ac=0，交點坐標為(-2，0)

設計意圖：本環節為應用新知，解決問題的部分，學生通過前面的學習掌握了交點個數、方程的根和判別式三者聯系，例題運用數形結合的思想探究拋物線與x軸的交點情況。預計用時：5分鐘

4、全員大練兵

要求：組長每次出一道題，并叫一名組員在黑板上做。每位組員完成本組組長所出題目，有時間再自選別組題目做。組長負責輔導組員完成練習。組員做完后，組長還需講題。

1組：已知函數的圖象與x軸只有一個交點，且交點在y軸左側，拋物線開口向下，求此交點的橫坐標。

2組：判斷下列各拋物線是否與x軸相交，如果相交，求出交點的坐標。

（1）y=6x2-2x+1"" （2）y=x2-14x （3）y=x2-4x+4。

3組：已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖1所示。

①這個二次函數的表達式是y＝______；②當x＝______時，y＝3；③根據圖象回答：當x______時，y>0。

圖1

4組：關于二次函數y＝ax2+bx+c的圖象有下列命題，其中是假命題的個數是（ ）

①當c＝0時，函數的圖象經過原點； ②當b＝0時，函數的圖象關于y軸對稱；

③函數的圖象最高點的縱坐標是；

④當c>0且函數的圖象開口向下時，方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根（ ）

A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個

5組：已知拋物線y=x2+px+q與x軸的兩個交點為（-2，0），（3，0），則p=""" ，q="""""" 。

6組：已知拋物線y＝ax2+bx+c如圖3所示，則關于x的方程ax2+bx+c－8＝0的根的情況是

圖3

A. 有兩個不相等的正實數根B. 有兩個異號實數根

C. 有兩個相等的實數根D. 沒有實數根

設計意圖：本環節為學生自主學習部分，由組長出題，同學做題的模式能充分調動同齡人間的積極性和競爭意識，提高學習效率。當學生碰到困難時，可向同學、“師父”或組長求助，開展互幫互助，爭取在課堂上就解決難題。老師在此過程中巡回指導并適時進行點撥。預計用時：20分鐘

5、隨堂測試

(1) 二次函數y=x2-2x+2的圖像與x軸的交點坐標有幾個？與y軸的交點坐標呢？

(2) 拋物線y=ax2+3x-1與x軸交于兩點，則a的取值范圍是 ( )

A. a>0 B. a>-4/9 C. a>-9/4 D. a>-9/4且 a≠0

(3) 拋物線y=2x2-(m-1)x+m+5的頂點在x軸上，則m=________。

思考題：已知拋物線y=x2-(2m-1)x+m2-m-2

（1）此拋物線與x軸有幾個交點？試說明理由；

（2）分別求出拋物線與x軸、y軸的交點坐標。

設計意圖：本環節為檢測反饋部分，及時掌握學生情況，以做到查漏補缺，為下節課的教學設計提供參考。預計用時：7分鐘

6、作業布置：

（1）組長出1-2道與本課所學相關的題目給組員，明天收和改，做在作業本上。

（2）分A、B、C三層完成期末復習試卷。

設計意圖：組長在生活中選取素材出1-2道題目，讓組員鞏固所學知識。另外，由于期末臨近，分層布置期末復習作業，學生能根據自身情況完成作業，不至于負擔重無法完成作業，任務輕松點就能極大地提高學生的學習效率。

六、教學反思

1、讓數學回歸生活，使學生體會到數學就在自己的身邊

教學時把學生經歷過和感受過的故事、情景、游戲等生活經驗作為數學內容的背景材料，能讓學生體會到數學不是枯燥空洞的，數學就在身邊，在自己的生活中，從而體會到數學的趣味和作用。

2、體現學生的主體地位，把學習的主動權和探索權還給學生

新課標指出：“動手實踐、自主探索和合作交流是學生學習數學的重要學習方式。”在整節課上，我充分發揮學生的合作與交流、體驗與感悟，注重讓學生自主建構數學知識的過程。

3、要營造平等、民主、和諧的師生關系和生生關系

課堂上要尊重個性差異，關注每一個學生，鼓勵學生發現問題，提出問題，敢于質疑，大膽嘗試，樂于交流與合作，在學習活動中嘗到成功的喜悅，建立自信心。