芻議數學課堂教學中思維訓練的量化設計

評價一節課的好壞，不僅僅是教學方法、教學形式和教學手段的好壞，更主要的是看課堂的思維容量的大小，學生思維活動的密度和強度如何，即學生的思維得到的訓練程度，學生是否能將老師所教的知識進行內化、拓展、升華，成為自己的東西，并形成一定的數學思維能力．所謂思維容量，就是指在一節課的時間內學生得到思維訓練的量．對數學課堂教學中學生思維活動的引導，以及思維容量的控制，就是思維訓練的量化設計過程．數學課堂教學的容量大小，應當是指其思維容量的大小，而不是數學題目的堆積．數學問題設置的好壞要看其是否具有思維的價值，大量的平行題訓練是沒有太多的思維訓練價值的，課堂思維容量依賴于課堂教學的精心設計和科學的安排．

美國著名教育家布魯姆的掌握學習策略認為：“只要有適當的內容和適當的時間，一個人能學習的東西幾乎所有人都能掌握．”只要我們在課堂教學中科學安排，張弛有度，學生就能掌握相關知識．高中數學課堂教學的思維容量應當適中，不能過大，也不能過少．如果課堂教學的思維容量過大，教師就會因教學內容過多而提快語速，加快節奏，這樣就使教師在教學時少了幾分從容和自然，多了幾分緊張和壓力．學生也會因信息過多，一下子接受不了，學起來囫圇吞棗，吃夾生飯，不消化．最終導致大腦皮層疲勞，消極倦怠，學習提不起神，久而久之便失去學習的興趣．當然，課堂思維容量過小也不可取，因為思維容量過小，信息就很少，那會使學生有了玩小動作、開小差的機會，尤其是優生“吃不飽”便會分心，時間一長，便會喪失學習的主動性，難以主動探究問題．

多年來，筆者一直擔任校青年教師優課比賽的評委，發現絕大多數青年教師都會在教學形式和教學手段上做文章，注重課件的制作和多媒體的使用，課堂教學中力求師生互動，這些都很好，但很少有人能全面地思考課堂教學中學生思維的密度和強度，思考何時練，何時點評，何時引申拓展，以及訓練和拓展的程度．不久前筆者有幸參加江蘇省邗江中學舉辦的全國課堂教學觀摩研討會，感受頗多，專家們對教材的分析、學情的了解、課堂時間的控制、問題設置的數量和難易度、課堂教學節奏的把握等都是無可挑剔的．那么，怎樣才能合理地量化設計高中數學課堂教學中的思維訓練呢？

一、遵循認知規律，創設問題情境，激發學生的思維火花

高中學生已經具備了較強的認知能力，學生的集中思維能力較強，同時還具有一定的發散思維的能力．教師的教學設計應當根據學生的認知規律進行，要由淺入深，循序漸進，不斷地引發學生的思維．高一高二的新授課要更多地創設問題的情境，讓學生去發現知識的發生發展過程．要多為學生設計階梯，架橋鋪路，讓學生在探索知識的過程中生成能力．少數青年教師在教學中方法簡單，知識講解缺乏鋪墊和引導，學生接受起來較為困難．如在對數運算公式后就尋問函數y=e|lnx|的圖象的畫法，其實學生還沒有掌握對數運算公式．而在講解函數值域求法時，學生還沒有掌握函數值域問題的一般求法，就讓學生去了求解問題：“函數y=log2(kx2+4kx+3)值域為R時的k值．”這些都是違背學生認知規律的做法．在課堂教學中，我們要努力創設各種不同的教學情境，幫學生開啟思維之門，發揮他們各自的想象力．這樣，教師方可因勢利導，使教學事半功倍．深圳市數學特級教師李志敏在給學生上《雙曲線的標準方程》一課時，針對學生已經學習了橢圓的標準方程的特點，讓學生進行類比學習，他為學生設計了相關問題：（1）求雙曲線標準方程有哪些基本步驟？（2）如何化簡|(x+c)2+y2-(x-c)2+y2|=2a？（3）焦點在x軸和焦點在y軸的雙曲線標準方程有何區別？（4）嘗試求解課本例題，對照解答你能歸納雙曲線標準方程的基本類型嗎？讓學生帶著問題進行自主探究，并要求學生向教師質疑．學生探討之后，教師對相關問題進行適度點撥，真是教者自如，學者輕松．

二、講究民主教學，暴露思考過程，調整學生的思維方向

《學記》中有這樣一句話：“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達”，說的是：引導而不牽著，鼓勵而不壓抑，開導而不灌輸．高中數學教學中，要讓學生多參與和討論，要敢于放手讓學生探究．沒有學生的參與，就不能發現學生思維的不足，也就不能調整和引導學生進行科學思維．認識是一個走彎路的過程，要尊重學生的認知心理過程，要講究民主，注意傾聽，讓學生把話說完，不要撲滅學生思維的火花．在一節題為《指數函數性質應用》的優課評比中，兩位教師遇到同一種情況，在講解不等式5x-1>5x-3時，教師用分類討論的方法講解，學生均提出與教師不同的方法，教師甲擔心學生方法不好，影響教學任務的完成，便讓學生下課后再討論其他方法，而教師乙則讓學生說完，結果學生用換元法很快得解，還有學生又提出數形結合的方法．從教學實效看，教師乙的做法注意到了學生在課堂教學中的參與度，教師甲則缺乏民主，浪費了極好的思維拓展的機會．可見，教學中應關注學生的學習行為，重視學生在課堂教學中的“參與度”．

教學必須講“過程”，教師力求暴露學生的思維過程，不要過早地把結論告訴學生，要堅持“推遲判斷”，不要輕易地將“窗戶紙捅破”，教師要弄清楚什么是自己該做的，什么是應該讓學生去做的，不能越俎代庖，要讓學生感受到數學是自然的．蘇霍姆林斯基認為，了解和研究學生是掌握教育藝術的基本功．教育藝術體現在尊重信任孩子，保護兒童道德幼芽，運用鼓勵性評價激發心靈活力．有時教師對學生的想法，甚至是一點點的思維的火花給予肯定，都可能激發學生的學習興趣．教師對學生“參與度”的關注程度，能影響學生的整個學習階段，甚至是一生．

三、把握教學主線，倡導變式訓練，控制教學的思維密度

波利亞認為：“數學有兩個側面，它是歐幾里德式的嚴謹科學，但也是別的什么東西．由歐幾里德方法提出來的數學看來像是一門系統的演繹科學，但在創造過程中的數學看來卻像是一門實驗性的歸納科學．”數學教育工作者，應當把握教學的主線，做到涇渭分明，并進行變式訓練，這是“雙基”教學的重要組成部分．要講究知識之間的聯系，幫助學生建立一個良好的認知結構．如果說沒有系統的知識是一鍋粥，不知道從哪兒下手的話，那么良好的知識結構就像一碗面條，線條分明，挑一根就能理順一片．例如，在一節題為《兩角和與差的三角函數》的復習課中，教者能通過設計求值、化簡、證明等問題，將各種公式之間的聯系教給學生，在問題設計中，將題目的條件作不斷變化，激發學生對知識的理解．

數學課堂教學的本質是思維活動的教學，但一節課的思維密度的控制，直接影響學生的接受程度．在知識編排和問題設計中，應當注意抓住主體，適度拓展，通過變式教學滲透知識的相互聯系，從而形成完整的知識體系．如在《直線與平面所成角的習題課》上，教者從“最小角定理”入手，設置了一系列的問題：（1）斜線與平面所成角為α，平面內過斜足的直線與斜線所成角為β，過斜足的直線與斜線在平面內射影線所成角為γ，則cosγ=cosα·cosβ；（2）過平面內一個角的頂點的斜線上任意一點到角的兩邊距離相等，則斜線在平面內的射影線是平面內這個角平分線（如圖１）；

圖1（3）已知兩條異面直線成60°角，過空間任意一點作直線與兩條異面直線均成60°，這樣的直線有幾條？問題不斷變化，由淺入深，但解決問題的本質沒變，這就強化了對某一問題的認識．如果直接給出問題（3），其思維能力要求較高，思維的密度也必然加大．

四、優化教學手段，激發學習興趣，提升教學的思維強度

俗話說：興趣是最好的老師．教師的精彩引出能使學生一下子對知識產生興趣．在講解《用二分法解方程》時，一位教師從央視李勇主持的價格競猜節目入手，引出二分法的解題思想，學生不僅有興趣，而且很快理解了解題方法的本質．在講解《中心投影和平行投影》一課時，教者讓學生觀看兩幅世界名畫《伏爾加河上的纖夫》和《最后的晚餐》，尋問學生繪畫的藝術特點是什么，為什么能成為世界名畫．從而引出具有中心投影的特點，直接引入這節課的主題，學生被深深地吸引了．在講《橢圓標準方程》一課時，江蘇省數學特級教師陶維林用幾何畫板演示如下問題：點A是定圓E內一定點，點B是圓E上任意一點，線段AB的中垂線為l，觀察點B運動時會有什么特殊圖形出現(如圖２)．

圖2在演示過程中，直線l掃過平面的部分區域，恰好形成沒有掃過的橢圓區域，此時，教者尋問：這個橢圓是哪個點的運動軌跡？學生很自然地去思考分析．此后教者繼續尋問：為什么會形成橢圓這一軌跡？從而引出符合橢圓定義的軌跡問題．教學中學生的思維完全被教師牽引著，課堂的思維強度在不知不覺中增大了．

可見，課堂教學的思維容量不是通過設置高難度問題而得出來的，激發學生學習興趣是增強思維容量，加大思維強度的最好途徑．新時代教學技術手段的發展變化日新月異，這些教學技術手段運用于教學后對教學活動產生了巨大的影響，它不僅增加了課堂傳播信息的窗口，擴大了學生的視野，而且實現了教學方法的改革，縮短了教學進程，提高了教學效益．但是這些教學技術手段只是教學輔助手段，不是運用得越多越好，要根據學生的接受能力和課堂的有效時間來選擇相關的教學技術手段，才會發揮其巨大的效果．

在大力倡導教育改革的今天，數學課堂教學的設計是每位教師必須要研究和探討的問題．正如江蘇省數學特級教師陶維林所說，不管教育最終發展如何，教師上課始終要做到“三個帶著”，即帶著數學的本質來上課，帶著數學教學的本質來上課，帶著數學學習的本質來上課．數學教師的課堂教學永遠是數學思維訓練的教學，數學課堂教學的思維容量也會成為教師教學研究的永恒的話題．讓我們精心設計課堂教學，科學引導，讓每個學生都能學會探究知識和思考問題的方法，從而成為具有較高數學素質的優秀人才．

（責任編輯 黃春香）