高中數學反思解題教學的探究

在高中數學解題教學中，當解完一道題后，并不是大功告成，或者萬事大吉，教師還應啟發學生進行有效的反思，使學生從解題演練中獲得更多的啟示和更大的收獲，鞏固和擴大解題訓練的成果，從而有效地提高學生分析問題和解決問題的能力，提高數學教學質量.筆者根據多年的教學實踐，就高中數學解題教學中如何引導學生進行有效的反思，談幾點粗淺的看法.

一、反思相互聯系

在數學解題教學中，當學生解完一道題后，教師應引導學生回顧本題在解題過程中所聯系到的基礎知識，基本解題方法和技能技巧等，找出其內在的聯系，分清其實質.這樣不僅有利于提高學生分析問題和探究問題的能力，而且有利于培養學生的歸納思維能力.

【例1】 （2007年廣東省高考理科題）已知a為實數，函數f(x)=2ax2+2x-3-a，若函數y=f(x)在區間［-1，1］上有零點，求a的取值范圍.

本題的解法有七八種之多，當教師講解完后，還應引導學生反思一下，發現解題過程中共用到一元二次方程、一元二次函數、一元二次不等式等解法，以及用到分類討論思想、數形結合思想等數學思想方法.事實上，如果我們的學生平時把以上各量之間的關系都弄透了，弄懂了，那么當以后遇到類似的題目時，就能避免解題的盲目性，大大提高解題的質量和效率.

二、反思一題多解

在教學中我們不難發現，許多課本中的例題和習題，以及課外書中的不少題目，都存在一題多解的情況.因此每當在解完一道題后，教師還應啟發學生認真反思：本題還有別的解法嗎？如果有，應該怎樣解，在這些解法中，哪種最佳？等等.這樣的教學，不僅能極大地激發學生學習的興趣和鉆研精神，而且能有效地培養學生的發散思維能力.

【例2】 解方程：sinα-1=cosα.

解法一：原方程變形為sinα-cosα=1，

兩邊都乘以22，化簡得sin(α-π4)=22，

∴α-π4＝nπ+(-1)n·π4，即α=nπ+(-1)n·π4+π4.

解法二：由誘導公式將原方程變形為sinα-sin(π2-α)=1，

∴2cosπ4sin(α-π4)=1，即sin(α-π4)=22，以下同解法一.

解法三：原方程先化為sinα-cosα=1，

兩邊都平方得cosαsinα=0，

由cosα=0得α=nπ+π2，由sinα=0得α=nπ，

經檢驗，α=2nπ，α=2nπ+3π2是增根，故原方程的解集同解法一.

事實上，除以上的三種解法外，本題另外還有三種解法，此處就不一一列舉了.而這六種解法分別用到了三角的倍分公式、解方程、解三角函數等方法，體現了知識之間橫向與縱向聯系，尤其是這些解題方法各有千秋，充分展示了解三角方程的一般規律，教師在教學中引導學生進行這樣的反思，對培養學生思維的靈活性十分有利.

三、反思一題多變

在解題教學中，每當解完一道題后，教師還應啟發學生反思一下，若改變原題中的條件，其結論又會怎樣？若增加或減少一些條件，結論還成立嗎？或題目還有解嗎？若改變結論，又需要什么條件？本題還可以變式出哪些類似的題目？通過本題的解答還可以引申到什么樣的情形？凡此等等.這樣不僅可使一題變一串，有效地提高學生的解題效率，而且可以開闊學生的視野和思維，有效地提升學生的靈活應變能力和探究水平.

【例3】 已知z1，z2∈C，z1·z2=0，求證：z1，z2中至少有一個是零.

解完題后，教師引導學生作如下的變式訓練.

變式一：設z1，z2，…，zn∈C，且z1·z2·…·zn=0，則z1，z2，…，zn中是否至少也有一個是零？

變式二：已知z1，z2，z3∈C，則z1+z2+z3=1z1＋1z2＋1z3=1，求證：z1，z2，z3中至少有一個復數是1.

變式三：已知z1，z2，z3∈C，且1z1＋1z2＋1z3=1z1+z2+z3，證明：三個復數z1，z2，z3分別對應的向量oz1，oz2，oz3中至少有兩個向量的和必為零.

變式四：已知z1，z2∈C，z21＋z22=0，則復數z1及z2對應的向量oz1與oz2所在的直線互相垂直，且|oz1|=|oz2|.

四、反思解題規律

在解題教學中，當解完一道題之后，教師還應引導啟發學生反思：本題解題是否有規律可循，或者從特殊題目的解法可否能引申到較一般題目的解法等等.這樣的教學，不僅有利于學生強化知識的有效運用，而且能有效地提高學生知識的遷移水平，從而有效地培養學生的歸納概括、綜合整理的能力.

【例4】 求下列函數的值域：

①y=1+x+1；②y=x+1-x2；③y=x+x2-4x+3；④y=f(x)-1-3f(x)，其中f(x)∈38，49；⑤ｙ＝ｘ-1-x+1.

當解完上述習題后，教師應及時地啟發學生進一步反思這些題目的特點，不難發現其解題方法有下列規律：①形如y=mx+n型的函數的值域的求法：當m≠0時，其值域為ｙ≥0；當ｍ=0時，其值域為ｙ=n.②形如y=m+nx型的函數的值域的求法：當n＞0時，其值域為y≥m；當ｎ＜0時，其值域為y≤m.③形如y=mx+n1-x2型的值域的求法：可令x=cosα（0≤x≤π）或x=sinθ（-π2≤θ≤π2），利用三角換元來求解.事實上，教師在解題教學中通過這樣的啟發引導，不僅可以使學生達到舉一反三、觸類旁通的良好效果，而且可以培養學生勇于探索、善于總結的良好習慣.

五、反思錯誤之處

在解題教學中，教師應引導學生及時反思解題過程中的關鍵步驟，反思最容易忽略的地方，反思最容易混淆的概念和知識點，反思最容易出錯之處等等，并認真總結解題中應引起注意和重視的問題，提高學生辨析解題錯誤的能力，從而有效地培養學生一絲不茍、嚴謹科學的學習態度.

【例5】 （2008年全國高考題）雙曲線的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l1、l2，經過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1、l2于A、B兩點.已知|OA|、|AB|、|OB|成等差數列，且BF與FA同向.①求雙曲線的離心率；②設AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程.

當教師引導學生解答完此題后，還應提醒學生在解題過程中最易出現的問題：①認知上的錯誤，即學生不能較好地利用雙曲線的幾何量a、b、c來研究漸近線；②解答第一問時不會利用數形結合思想，解答第二問時不會利用轉化思想；③計算上的錯誤；④審題上的錯誤，如誤將AB被雙曲線截得的線段的長認為是|AB|=4，誤將垂直于l1的直線看成垂直于l2的直線等等.事實上，在平時的解題教學中，教師應著重啟發引導學生養成解題后再查漏補缺的習慣，并且不斷總結經驗教訓，不斷豐富和完善自己，從而有效地提高解題的速度和準確性，提高數學教學質量.

（責任編輯 黃春香）