分類思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透和培養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實(shí)現(xiàn)。正如數(shù)學(xué)家喬治·波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路。”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在。

數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成幾個(gè)不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對(duì)象分成幾類，分別進(jìn)行討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。分類討論思想，貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中。應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化。分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性、條理性，而分類討論，又促進(jìn)學(xué)生研究問題、探索規(guī)律的能力的提升。

一、把握時(shí)機(jī)，把分類思想滲透于日常教學(xué)中

每個(gè)學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識(shí)，如人群的分類、文具的分類等。我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會(huì)，把握滲透的契機(jī)。如數(shù)的分類、絕對(duì)值的意義、不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想的好機(jī)會(huì)。

例如：講授完“負(fù)數(shù)、有理數(shù)”的概念后，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類，讓學(xué)生了解到對(duì)不同的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)有不同的分類方法。如可分為：

有理數(shù)整數(shù)正整數(shù)零負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù) 有理數(shù)正有理數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)零負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

又如：兩個(gè)有理數(shù)的比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和零、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)幾類情況來比較，這就突出了學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。

結(jié)合“有理數(shù)”這一章的教學(xué)，反復(fù)滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識(shí)。并能在分類討論的時(shí)候注意一些基本原則，如分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，如若不然，會(huì)出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯(cuò)誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)，就是犯分類標(biāo)準(zhǔn)不一的錯(cuò)誤。在確定對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn)之后，還要注意分清層次，不能互相交叉。

二、思維的嚴(yán)密是解決分類思想的基礎(chǔ)

所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對(duì)象的特征，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對(duì)每一小類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。分類的方法常有以下幾種：

1.根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行分類

例1：化簡：|a+3|+|a-2|

分析：這是按絕對(duì)值的意義進(jìn)行分類，分別以a＜-3、-3≤a＜2和a≥2三種情況來討論，教會(huì)學(xué)生注意區(qū)分界點(diǎn)的無縫特征。

2.根據(jù)數(shù)學(xué)的法則、性質(zhì)或特殊規(guī)定進(jìn)行分類

例2：解關(guān)于x的不等式：ax+3＞2x+a

分析：通過移項(xiàng)，不等式化為（a－2）x>a－3的形式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可分為a－2＞0、a－2＝0、a－2＜0三種情況分別解不等式。

3.根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類

如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；直線和圓根據(jù)直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可分為：相離、相切、相交。在證明圓周角定理時(shí)，由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部、角的外部三種不同的情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據(jù)幾何圖形點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。

三、引導(dǎo)探索，循序漸進(jìn)地提高

初中課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些問題。只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤以致丟失題目的關(guān)鍵部分。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括、總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強(qiáng)學(xué)生思維的條理性、嚴(yán)密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：一是涉及代數(shù)式或函數(shù)方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。二是根據(jù)幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題。

例3：已知函救y=(m-1)x2+(m-2)x-1（m是實(shí)數(shù)）。如果函數(shù)的圖像和x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值。

分析：切入點(diǎn)應(yīng)選在是何種函數(shù)的討論上，不同的函數(shù)會(huì)有不同結(jié)局。

解：當(dāng)m=l時(shí)函數(shù)就是一個(gè)一次函數(shù)y=-x-1，它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（-1，0）。

當(dāng)m≠1時(shí)，函數(shù)就是一個(gè)二次函數(shù)y=(m-1)x2+(m-2）x-1

因而當(dāng)Δ=(m-2)2+4(m-1)=0時(shí)，函數(shù)與x軸有唯一交點(diǎn)，所以此時(shí)m=0。

由以上的幾個(gè)例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問題變成幾個(gè)大塊，然后在各個(gè)塊中應(yīng)用常規(guī)的辦法就可以完美地解決，解題思路非常的清晰。當(dāng)然，一旦這種方法被學(xué)生掌握，不但可以激發(fā)學(xué)生的興趣，而且可以激發(fā)學(xué)生的變通創(chuàng)造力。

總之，在日常教學(xué)中要根植于課本，著眼于提高，注意數(shù)學(xué)思想的滲透和強(qiáng)化，這將有助于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)水平，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，盡快適應(yīng)初中階段的學(xué)習(xí)。