淺談在數學教學中培養學生的創新思維

【摘 要】學生的創新思維的培養是一個長期的過程，需要教師把握時代發展思維發展的脈搏，去探索、去開拓。本文從五個方面講述了如何培養學生的創新思維。

【關鍵詞】創新思維 能力 教學

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2012）02－0135－02

前蘇聯教育家斯托利亞爾認為：“數學教學是數學思維活動的教學?！币虼?，數學教學對學生創新思維的培養至關重要。創新思維的培養不一定要求學生創造出什么新鮮事物，只要學生能夠通過對數學問題的思考、探索，獨立獲得結論，對學生來說就是一種創新。教師在教學中要有意識地往這方面引導學生，久而久之，學生的創新思維就會被激發出來。

一 加強對學生邏輯推理思維的訓練

邏輯推理是邏輯思維的基礎，培養邏輯推理能力是一個逐步提高的過程，這需要教師在教學中給予學生進行大量邏輯訓練的機會。在演繹體系的幾何教學中，有著大量對學生進行邏輯推理訓練的機會，在代數中也同樣有邏輯推理的訓練。

例如，已知數列 ， ，…… ，

sn為其前n項和，計算得s1＝ ，s2＝ ，s3＝ ，s4＝ 。

觀察上述結果，推測出計算sn的公式，并用數學歸納法加以證明。

分析：本題要推測出sn的公式，訓練了學生觀察、比較、概括與抽象的能力。

通過對s1，s2，s3，s4的觀察、比較和概括，可推測得

sn＝ 。能正確用“數學歸納法”證明問題，是

推理能力熟練的一種標志。其中最重要的是假設當n＝k時等式成立，之后如何推得n＝k＋1時，等式也成立。這一步的

證明，如果首先能想到sk＋1＝ ＝ ，

那么由sk＋1＝sk＋ ＝……的變形過程就有了

明確的方向。

本題從具體數值的分布中分析其特征，發現分布規律，抽象為一般形式，提出猜想，再從理論上證明其正確性，這是一種重要的能力。數學歸納法是重要的邏輯推理形式，能很好的訓練學生的嚴密性和合理性，表述的條理性和規范程度。在教學中應引起足夠的重視。

另外，如果本題沒有規定要用數學歸納法證明，則從數列的特征中也可以找到另外的證明途徑。如通過觀察、分析，發現數列通項分子8n是分母兩個因式之差，通項可寫成：

an＝ ，因此有sn＝（1－ ）＋（ － ）

＋……＋ ＝1－ ＝ ，這

既得出了sn的通項公式，同時也通過運算完成了證明過程，顯示出更強的邏輯思維能力。

在運算題中，由于要以概念作指導，要遵循一定的法則合理運算，同樣存在邏輯推理的訓練，因此不應將邏輯推理的訓練局限在證明題，而應滲透到全部數學教學中。

二 啟發學生形成聯想性思維方式

聯想，是由一種事物想到另一種事物，即由此及彼的思維方式。通過由此及彼、由表及里的深入思考，擴大頭腦中的固有思維空間，用已知的知識、信息聯想到更多的知識、信息，以此來誘發更多的創造性靈感。

例如，求sin240＋cos210－sin40°cos10°的值。

分析：由式子的結構聯想到余弦定理的形式，利用正弦定理，構造外接圓直徑為1，兩內角分別為40°、80°的三角形，則另一內角為60°，因而

sin260°＝sin240°＋sin280°－2sin40°sin80°cos60°

即sin240°＋cos210°－sin40°cos10°＝sin260°＝

可見，聯想起到了非常巧妙的作用，將兩類不同的事物聯系到一起，從而解決了問題。所以，在數學教學中，要培養學生善于運用聯想方法，從聯想中產生創造性思維的火花。

三 培養學生的逆向思維能力

逆向思維主要是相對于順向思維而言的。順向思維主要是按照事物發展的自然過程進行思考，即由已知到未知，由原因到結果。而逆向思維則是反其道而行之，當順向思維在人的頭腦中形成固定的思維定勢以后，容易束縛人的思維發展，阻礙創新思維的產生。如果打破常規，從事物發展的方向考慮和觀察問題，就會別有一番天地。利用逆向思維解決數學問題，能收到良好效果。

例如， ≥ 的解集為｛x︱－4≤x≤

－2｝，求實數a的值。

分析：若先求出原不等式的解集，再根據題設條件求出a，對一般學生來說并非易事，如改用逆向思維就簡單多了。

解：因為原不等式的解集為｛x︱－4≤x≤－2｝，所以

x＝－4和x＝－2是方程 或 x＋11－

a＝0的解，代入得a＝ 或a＝ 或a＝ ，經檢驗可知，

只有當a＝ 時不等式的解集為[－4，－2），故a＝ 。

所以，在教學中必須注意培養學生的逆向思維能力。在順向思維無法解決問題時，啟發學生用逆向思維方式解決問題，這樣對培養學生的創新精神大有裨益。

四 提高學生利用數形結合解題的能力

在數學實踐中，我們可通過圖形來解決一些較為抽象的、復雜的問題，通過數形結合將問題簡單化、直觀化。

例如，求函數y＝ ＋ 的最小值。

分析：原函數為y＝ ＋ ＝

＋

觀察上述表達式可知：求y的最小值就相當于求x的值，x

軸上一個動點P（x，0）到兩個定點A（－1，4）、B（3，2）距離之和的最小值。如圖所示（圖略），由平面幾何知識可知，先求B點關于x軸的對稱點B（3，－2），于是︱PA︱＋︱PB︱的

最小值為：︱AB︱＝ ＝ ＝

＝ ，即函數y的最小值為 。

通過數形結合教學使枯燥乏味的、復雜的數學問題變得直觀形象、簡單有趣，培養學生學習數學的興趣和創新的解題能力。

五 指導學生進行一題多解

面對問題時，應考慮能不能用不同的語言（代數語言，三角語言，幾何語言等）重新表述，從而帶來多種解法。在思維受阻時及時轉換語言重新表述，以成功突破解題障礙。

例如，求證 ≤ 。

解法一：代數語言。

原式 a2＋2ab＋b2≤2a2＋2b2 a2－2ab＋b2≥0 （a－b）2≥0

解法二：三角語言。

令 （r≥0），

則原式變為：

≤

解法三：幾何語言。

原式變形為 ≤ ，則 為點（a，b）

到原點的距離，而 為點（a，b）到直線x＋y＝0的距離。

由圖立可得到結果。

解法四：代數的復數語言。

考慮到 ＝︱a＋bi︱

= ，由此可見，教學中注重培養學生使用各

種語言表述問題的習慣很重要。有時路路通，有時此路不通彼路通。這種方法也可培養學生思維的廣闊性及創新性。

總之，創新思維是復雜的、高級的心智活動，創新思維的培養也不是一朝一夕就能完成的。但只要從大處著眼，小處著手，從點滴開始，就會“人人是創新之人，處處是創新之地”。教育所力求的是逐步培養起學生強烈的創新意識、高度的創新敏感、大無畏的創新勇氣和出類拔萃的創新能力，如此，勇于創新、善于創新將會無處不在。

參考文獻

［1］金永鑫.淺談數學教學離不開創新［J］.數理化解題研究（初中版)，2011（3）

〔責任編輯：龐遠燕〕