數學解題教學中的引深藝術

摘要

“問題是數學的心臟.”數學問題是由解題主體與數學習題系統組成的.因此，解題教學就成為決定教學成敗的關鍵因素.數學解題教學應突出探索活動，探索活動不能僅停留在對原習題的解法的探索上，而應適當地、有機地對原習題進行深層次的探索、挖掘出更深刻的結論.

引深，是一種探索問題的方法，也是一種值得提倡的學習方法.

引深，可以激發學生學習數學的興趣，更可以有效地提高學生的數學水平.

（1）通過一般化將問題引深

一般化是由個別到普遍的認識方法，它是從考慮一組對象，進而考慮包含該組對象在內的更大的一組對象，把局部、特殊的數學問題上升為整體、普遍的數學問題，再根據問題本身的特性，引出數量關系及位置關系.一般化方法被數學教育家波利亞稱為“獲得發現的偉大源泉”.對數學問題一般化，就是將數學問題引深，往往能達到“做一題，解一類”的目的.

（2）通過類比將問題引深

著名天文學家開普勒說過：“我贊成類比勝過其他的一切，它是我最可信賴的，它知道自然的一切奧秘，并且在幾何中它經常是有效的.”類比方法不僅是尋找和發現解題途徑的方法，而且也是將數學問題引深的常用方法.

（3）通過豐富命題結論將問題引深

一個命題，在條件基本不變的情況下，往往能推導出許多在形式上進而在內容上各有差異的結論.培養學生主動尋找更多結論的習慣，有助于發展其思維能力，同時可以起到引深數學命題的作用.

（4）通過變換命題條件將問題引深

變換命題的條件，一是將特殊化的條件放寬到一般化的條件，這時結論往往不變.例如將正三角形變為等腰三角形進而變為任意三角形，將線段的中點變為線段上的任意點等.二是在原有條件的基礎上附加一些限制性條件，這時的結論往往要求高一些，問題常常往深處發展.

（5）通過交換命題的條件與結論將問題引深

交換命題的條件與結論，實質上就是考察原命題的逆命題是否成立.有的命題的逆命題為真，有的未必；有的命題的逆命題比原命題容易證明，有的卻難以入手.因此，交換命題的條件與結論應根據命題的特點，恰當地進行，才能達到引深的目的.

應當指出，中學數學教學要面向全體學生，所以教學中不能隨意增加教材以外的內容，不能一味拔高.引深，應結合學生實際和所教內容的特點恰當地進行，逐步提高學生的學習興趣，不斷提高學生的解題水平.

值得一提的是，初中數學引趣教學和高中數學引深教學不是截然分開的，初中也可以引深，高中也應該引趣，只是初中應該多一些引趣，高中應該多一些引深.引趣中有引深，引深中有引趣，兩者相輔相成，有機結合，才能共同促進數學教學.

回顧

《用“引趣”的方法上好初中數學課》一文發表后，我就開始在高中的數學教學實踐中，研究和探索“引深”藝術.

初上高中，我把主要精力放在數學課堂教學上.

功夫不負有心人，帶第一輪高中，我班數學高考全校第一.帶第二輪高中，學校決定讓我帶實驗班.所謂實驗班，其實就是奧賽班，入此班有嚴格的條件，每位學生至少要參加一項競賽課程訓練.有17位奧數選手由我帶，要超前學習高中數學課程，還要加上奧數課程，工作量非常大，必須全身心投入.首屆實驗班取得了優異的成績！

兩輪高中教完之后，我對“引深”有了更深刻的認識和更多的教學實踐經驗.

原想以《用“引深”的方法上好高中數學課》成文，投稿《中學數學教學參考》，這樣可以和“引趣”一文成為“姊妹篇”，相映成趣.后因我忙于主編《教學藝術探索》（西北工業大學出版社出版）一書，我自己也要放進一篇，當時正在寫“引深”一文，索性抓緊寫完編入書中.考慮到《教學藝術探索》一書要談“藝術”，我順便也把論文的標題改為《數學解題教學中的引深藝術》.

凝思

“深”與“淺”是相對的，每位高中數學教師在教學中都能進行，只要用心，就一定能“深入淺出”.

重讀此文，覺得文中有一段話說的甚好：引深，是一種探索問題的方法，也是一種值得提倡的學習方法；引深，可以激發學生學習數學的興趣，可以有效地提高學生的數學水平.

展望

課改背景下，“引深”之路怎么走？

我以為，合作學習、自主學習、探究學習都可以和“引深”掛上鉤.數學教師要善于引導，讓你所教的班級具有“引深文化”.

其次，研究性學習與“引深”也有著密切的聯系.一方面，某些“引深”的問題，再“引深”下去，就是滲透式研究性學習.另一方面，研究性學習有課題式和滲透式兩大類.課題式研究性學習的選題，一般情況下與課堂數學學習沒有直接聯系，而滲透式研究性學習問題是課堂學習的深化.

滲透式研究性學習，是數學解題教學的深化，是基于“預設”的“生成”，是隨時可以進行的，何樂而不為？

如果誰能寫一本《高中數學引深教學法》，那就太好了！