基于考試的有限與無限思想研究

有限與無限是物質(zhì)世界固有的矛盾之一，是反映物質(zhì)運(yùn)動(dòng)在時(shí)間和空間上辯證性質(zhì)的一對哲學(xué)范疇.它們既有聯(lián)系又有區(qū)別，且相互依存，在一定條件下，既能夠相互轉(zhuǎn)化又能夠相互利用.正是這種相互依存、相互轉(zhuǎn)化和相互利用的辯證關(guān)系，構(gòu)成了有限與無限思想的本質(zhì)內(nèi)涵.

人們在認(rèn)識世界、征服自然的過程中，總是先研究有限，并由此發(fā)現(xiàn)無限；反之，當(dāng)無限的問題得以解決之后，又利用無限的結(jié)論去解決關(guān)于有限的問題.這種“無限化有限”、“有限化無限”的方法也是利用有限與無限思想解決問題的本質(zhì)方法.

高中數(shù)學(xué)中所表現(xiàn)出來的有限和無限，同樣詮釋著這一辯證的哲學(xué)思想，同樣也是在有限與無限不斷地轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)問題的解決.

1基于考試的要求概述

《課標(biāo)》中，有限與無限思想盡管沒有具體的描述，但在高中課程體系的教學(xué)中，有限與無限思想?yún)s無處不在，并無時(shí)無刻地滲透到其中.如有限集與無限集，古典概型與幾何概型，線段、直線和平面，以及曲線的切線、漸近線、導(dǎo)數(shù)和微積分等等，都從知識層面上得到了體現(xiàn).在整數(shù)、實(shí)數(shù)等無限數(shù)集的學(xué)習(xí)中利用有限個(gè)數(shù)的運(yùn)算，通過對有限數(shù)的研究，得以刻畫無限數(shù)的性質(zhì)；幾何中的學(xué)習(xí)則通過對線段的直觀研究來替代對直線的想象研究；以無限逼近的方法來求“定點(diǎn)”、“定值”；算法中著名的“秦九韶算法”和“割圓術(shù)”等等，都充分說明了方法上的滲透.

《考試說明》中明確指出：“有限與無限相比，有限顯得具體，無限顯得抽象，對有限的研究往往先于對無限的研究，對有限個(gè)對象的研究往往有章法可循，并可以積累一定的經(jīng)驗(yàn).而對無限個(gè)對象的研究，卻往往不知如何下手，顯得經(jīng)驗(yàn)不足，于是將對無限的研究轉(zhuǎn)化成對有限的研究，就成了解決無限問題的必經(jīng)之路.反之當(dāng)積累了解決無限問題的經(jīng)驗(yàn)之后，可以將有限問題轉(zhuǎn)化成無限問題來解決.這種無限化有限，有限化無限的解決數(shù)學(xué)問題的方法就是有限與無限思想.……”

由此可見，對于有限與無限思想，課程學(xué)習(xí)中注重的是體驗(yàn)和感知這屬于感性上的認(rèn)識；而在考查中，注重的是理解和運(yùn)用，則屬于理性上的認(rèn)識.《考試大綱》較《課標(biāo)》而言：目標(biāo)更為明確，方法更為具體，意識更為強(qiáng)烈，理念更為深刻.

基于考試的可測性評價(jià)目標(biāo)主要考查：一是在“知識上”的認(rèn)識，二是在“方法上”應(yīng)用，三是在“意識上”的運(yùn)用.三個(gè)方面在層次上逐漸遞進(jìn)，尤其是對“意識上”的運(yùn)用的考查，是對有限與無限思想的理解程度和運(yùn)用水平上的最高層次的考查，即考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2基于考試的考查回顧

2.1由遠(yuǎn)及近，無限轉(zhuǎn)有限

例1 （2005年高考福建卷·理22）已知數(shù)列{ }

2nan<<≥，求a的取值范圍.

評析 題設(shè)中，由于所給出的初始條件不同，根據(jù)通項(xiàng)公式得到的數(shù)列也不同，可能是無窮數(shù)列，也可以有窮數(shù)列.有限與無限思想的韻味十足.

第（Ⅰ）問，通過有限次遞推得到具體結(jié)論；

第（Ⅱ）問，通過有限次試驗(yàn)，找到規(guī)律，合情推理，得出猜想，再使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.這就是將無限的問題轉(zhuǎn)化為有限問題來求解決.

第（Ⅲ）問，是對無限個(gè)4n≥都成立的條件，通過有限次分析、運(yùn)用來進(jìn)行求解.

值得一提的是，本題涉及到數(shù)學(xué)歸納法.

有限與無限的邊界在于“限”，從具體到抽象的突破是二者聯(lián)系的關(guān)鍵.而數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法.其證明功能是判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，正是使命題的正確性突破了有限，達(dá)到了無限.因此，數(shù)學(xué)歸納法本身就是體現(xiàn)有限與無限思想的良好平臺.

2.2由近及遠(yuǎn)，有限化無限

例2 （2009年高考福建卷·理19）已知A，B分別為曲線:C

，與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線l過點(diǎn)B，且與x軸垂直，S為l上異于點(diǎn)B的一點(diǎn)，連結(jié)AS交曲線C于點(diǎn)T.

（Ⅰ）若曲線C為半圓，點(diǎn)T為圓弧?AB的三等分點(diǎn)，試求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；

（Ⅱ）如圖，點(diǎn)M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點(diǎn)，

試問：是否存在a，使得O，M，S三點(diǎn)共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由.

評析 第（Ⅱ）題是較為典型的演繹推理的探究題，通過探究、推理，在變量中尋求常量、在動(dòng)態(tài)中尋求靜態(tài)、在一般中尋求特殊、在無限中尋求有限，通過無限研究來解決有限問題.

2.3由面及點(diǎn)，無限到有限

例3 （2006年高考福建卷·理16）如圖，連接ABC.

評析 隨著“中點(diǎn)”三角形的不斷生成，在無限逼近的過程中，三角形的面積愈來愈小并趨向于一點(diǎn)，問題從無限種可能轉(zhuǎn)向有限個(gè)結(jié)論.

由于高中階段學(xué)生的知識儲備有限，所涉及到的極限思想不宜采用“形式化定義”來表達(dá)，因此，課程體系中，往往以無限逼近來體現(xiàn)極限思想，以此來實(shí)現(xiàn)由直到曲、由近似到精確、由有限到無限的轉(zhuǎn)化.

本題以無限逼近為背景，以有限逼近為方法，考查極限思想的應(yīng)用，考查極限思想下的分析問題和解決問題的能力，將有限與無限思想的考查發(fā)揮到了極致.

2.4 由孤及群，思想相結(jié)伴

例5 （2010年高考安徽卷·文10）若0a >，0b >，

2

+==≥，命題⑤正確.

故答案為：①，③，⑤

本題采用特殊值法，舉出反例以推翻錯(cuò)誤的結(jié)論，利用均值定理來證明正確的結(jié)論.

事實(shí)上，對于條件“0a >，0b >，2a b+=”中的無窮多的a與b，選取有限個(gè)特殊值進(jìn)行研究，本身就體現(xiàn)了有限與無限思想.不等式的內(nèi)在和有限與無限思想息息相關(guān).同時(shí)，在正確結(jié)論的證明過程中，既體現(xiàn)了有限與無限思想，也滲透了特殊與一般思想.這是因?yàn)樵凇熬刀ɡ淼拇笄疤帷焙汀?a >，0b >，2a b+=的小前提”下，由“一般到特殊”的演繹推理，在深層次的挖掘中，也將有限問題轉(zhuǎn)化為無限問題來解決.類似的演繹推理在本質(zhì)上都是這個(gè)原理.

2.5由魂及形，知識為載體

例6 （2010年高考福建卷·理20）已知函數(shù)

為定值.

評析 本題借由導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識及方法為載體來考查有限與無限思想.除了圖象本身具有的“無限形式”的“有限表示”的性質(zhì)之外，導(dǎo)數(shù)的幾何意義也是有力的體現(xiàn)工具.

微積分是在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，用極限的方法開拓的一個(gè)新思路，并抽象成對一般函數(shù)的研究方法，也為解決實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)模型提供了有效途徑.作為微積分中的一部分，導(dǎo)數(shù)本身就含有“有限與無限思想”，以其為載體進(jìn)行考查，就是對“有限與無限思想”的考查.

3基于考試的考查展望

例7 已知數(shù)列{ }

命題意圖 當(dāng)數(shù)列的單調(diào)性不易求得時(shí)，轉(zhuǎn)而對數(shù)列的函數(shù)性進(jìn)行挖掘與利用.構(gòu)造一個(gè)與原數(shù)列相對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)，用函數(shù)的單調(diào)性來說明數(shù)列的單調(diào)性.在函數(shù)單調(diào)性的證明中又加入了導(dǎo)數(shù)這一工具.更為重要的是，這里借用連續(xù)“無窮”的曲線來解決“離散”的點(diǎn)的問題，將有限問題轉(zhuǎn)化成無限問題來解決，有限與無限思想體現(xiàn)得淋漓盡致.

綜上所述，有限與無限思想的體現(xiàn)并非如眾人所認(rèn)為的那樣諱莫如深，而是可以信手拈來，枚不勝舉.而它體現(xiàn)的形式更是多種多樣，繽紛多彩.基于考試條件限制下的多種“有限”，數(shù)學(xué)知識、能力、方法的考查方式則擁有“無限”個(gè)可能.由此可知，思想方法的深入滲透比起表面解讀更為重要.