基于考試的分類與整合思想研究

“收納”利用“分門別類”的方式把那些看似與美

無緣的雜物以智慧和靈感的方式呈現其可愛的一

面.市面上充斥著各類收納產品很yf( x )=12(x3?12x2+45x )

好的利用了分類與整合思想.分類

與整合思想是解決問題的一種邏輯

方法，也是一種數學思想，對于簡

1 2 3 45x

化研究對象，發展人的思維有著重要作用.

1 基于考試的分類與整合思想的考查概述

1.1 內涵闡釋

分類與整合思想是在問題所給的對象不能進行統一研究時，對研究對象按某個標準進行分類，然后再對每一類分別研究得出相應的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答.它是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學思想策略.

1.2 功能剖析

分類與整合思想同其它數學思想一樣，是數學知識在更高層次上的抽象和概括，蘊涵于數學知識的發生、發展和應用過程中，其考查可以從架構學生全面數學素養的角度進行思考.

（1）廣蓋知識

知識是血肉骨架，思想是神經靈魂.知識可見，思想蘊涵，對知識剖析、整理以至形成系統性知識體系就是對知識分類與整合的過程.因此分類與整合思想的考查一般可以覆蓋較多的知識點，蘊涵較大的思維量，有利于知識點交匯考查，實現廣蓋知識點的考查功能.

案例1 設集合=M{} 1 2 3 4 5，，，，.選擇M的兩個非空子集A和B，求使B中最小的數大于A中最大的數的概率.

評析：按集合A中最大數可分四類：12 34、、、，對應集合B的個數分別是15 14 12 8、、、，共49個.本題主要考查集合、排列組合、概率等基礎知識，蘊涵的分類與整合思想體現在：（1）空集與非空集合；（2）集合中元素的大小關系.

（2）呼喚意識

意識是思考判斷，思想是方法導向.通過思想方法的學習可以對現實世界中蘊涵的數學模式有更深刻的認識.因此考查分類與整合思想有利于培養邏輯劃分和歸納整合的能力與意識，實現呼喚意識的考查功能.

案例2 直角坐標系xOy中，i，j分別是與x，y軸正方向同向的單位向量.在直角三角形ABC中，若2AB =+

ij，則k可能值的個數是

A.1 B.2 C.3 D.4

評析：本題的突破口在于利用直角三角形中的“直角”.由角A，B，C均可能是直角引發分類與整合，解決它需要熟練的分類意識引領.

（3）揭露能力

能力是效能呈現，思想是指導引領.應用分類與整合思想可以提出問題的不同解決方案，創造性的解決問題.因此考查分類與整合思想有利于掌握分類方法和整合原則，實現揭露能力的考查功能.

案例3 已知函數

，.

本題分類的抉擇有創新性.若先整理( )t x′再對m分類，則當0m≤時對( )t x′符號的判斷十分繁雜.

（4）挖掘潛能

潛能是心智脫穎，思想是挈領導航.通過對分類與整合思想的學習，如果能夠準確甄別、成熟辨析、匠心整合數學問題，那就說明學生已經具有反哺應用、創新學習的數學潛能.因此在實際問題中滲透分類與整合思想，可實現挖掘潛能的考查功能.

案例4 過定點(0)D m，(0m > )作直線l交拋物線24yx=于A，B兩點，E是D關于坐標原點的對稱點，是否存在垂直于x軸的直線被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.

評析：本題有兩個分類點.（1）對動點A，D分類；（2）對參數m取值分類整合.線段AD是變動的，但細磨則發現，點D定而點A動，即線段AD是因A而動，對A和D進行動靜分類就抓住了問題的命門.本題能有效檢測學生的潛能.

2 分類與整合思想的考查回顧

對思想方法的考查要以課標和考試大綱為本源依據，以考試說明為直接依據，以基礎知識為載體.全面考查蘊涵其中的基本技能、思想方法、情感態度、價值觀和學習潛能.在對分類與整合思想的考查上，著重體現對分類方法及整合原則的考查.

2.1 廣蓋知識類

此類試題通常常規通俗，簡單明快，難度易中，面向知識，涵蓋的知識點有多有少，主要考查對基礎知識的掌握程度.

案例5（2011年高考福建卷·理 7/文10）設圓錐曲線Γ的兩個焦點分別為

評析：本題引發分類與整合的原因是圓錐曲線具有不同的類型，著重考查學生對圓錐曲線不同類型的掌握情況.

2.2 呼喚意識類

此類試題難度易中，直奔主旨，可適量的知識交匯.主要考查雙基，著重檢測學生對分類與整合思想的應用意識.

案例6（2011年高考福建卷·文12）在整數集Z中，被5除所得余數為k的所有整數組成一個“類”，記為[ ] knk n=+∈Z，0 1 2 3 4k =，，，，.

給出如下四個結論：①2011 [1]∈；②3 [3]?∈；③[0] [1] [2] [3] [4]Z =∪∪∪∪；④整數a，b屬于同一“類”的充要條件是“[0]a b?∈”.

其中，正確結論的個數為

A.1 B.2 C.3 D.4

評析：運用的分類與整合思想進行推理論證、分析求解問題的意識和能力，是求解本題的關鍵.

2.3 揭露能力類

此類試題往往著力知識主干，綜合度高，思維量大，要求掌握的知識扎實全面，思想方法嫻熟深刻，能力高超強悍.當然此類試題往往廣蓋知識，有所交匯，突顯應用意識和綜合處理能力.

案例7 (2009年高考福建卷·理10)函數 m f xnf xp++=

是四次方程，解集的元素個數分5種情況：0 1 2 3 4，，，，，由選項知含2 4，兩種.因為函數( )f x的圖象關于直線

=?對稱，而兩個根必關于它們平均值對稱，所以判斷選項C，D即可，因為它們的元素都從小到大排列，且1 42 3+=+，1 644 16+≠+，故選D.解決本題要有高超的分類與整合能力.

2.4 挖掘潛能類

此類試題具備覆蓋面廣、綜合度高、思維量大、素養層深等特征，同時兼具靈活性和創新性，因此對能力的要求全面深刻，反哺潛能顯著，區分功能強勁，具備優秀的選拔功能.

案例8 (2011年高考福建卷·理10)已知函數

( )ex一定是鈍角三角形；②ABC△可能是直角三角形；③ABC△可能是等腰三角形；④ABC△不可能是等腰三角形.其中，正確的判斷是

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

評析：本題蘊涵按邊分類與按角分類綜合分類三角形的判別問題，交匯量大，綜合度高，靈活性和創新性十分突出.

3 分類與整合思想的考查展望

作為考查，應優先確定整體考查目標、層次、地位、作用和要求.對分類與整合思想的考查，可以是知識型、思想型、能力型或交匯綜合型.基于此及以上的研究，對分類與整合思想的考查可從以下五個方面考慮：

3.1 直奔知識

考查知識體系中關乎分門別類型知識的掌握情況，著力概念、性質、公式等的理解和掌握.

案例9 已知m，n為直線，α，β為平面，給出下列命題：

①

//.

命制意圖：本題主要考查學生對線線、線面、面面位置關系類別的掌握情況.

3.2 面向思想

考查關乎分類與整合思想四個關注點，關注公平、關注交匯、關注應用、關注潛能.著力分類方法和整合原則的應用.

案例10 已知函數( )f x的定義域均為R，

( )( ) cos S.

命制意圖：交匯考查函數性質、三角函數、數列、導數等知識和分類與整合思想的應用情況，從而考查推理論證、運算求解等能力.（1）單調區間和極值因導數值變化不同引發分類；（2）

3.3 著眼能力

在運用分類與整合思想解決問題中綜合考查數學思想和能力.

案例11已知橢圓 D，與以線段AB為直徑的圓的位置關系.

命制意圖：交匯考查直線、橢圓、圓等知識，數形結合、化歸與轉化、分類與整合等思想，運算求解、推理論證等能力.本題由圖形的位置關系引發分類與整合，蘊涵直線與橢圓的位置關系、點和圓的位置關系，兩種位置關系相結合，最終整合出針對參數的不同情況下的點和圓位置關系.

3.4 力圖潛能

綜合考查數學思想方法和反哺能力，具有較大的思維量，分類時機靈活.

案例12曲線C：+=，過點(0 1)，作直線l與曲線C交于不同的兩點A B，，當AOB∠為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍.

命制意圖：交匯考查圓錐曲線和直線等知識，數形結合、化歸與轉化、分類與整合等思想，運算求解、推理論證等能力，應用意識和創新意識等潛能.本題分類時機的把握至關重要.當1m >時，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓；當1m =時，曲線C表示圓；當01m<<時，曲線C表示焦點在y軸上的橢圓.若解題過程中按曲線類型分類去實施，同樣可以解決它，但書寫量非常大，其中同一模塊要書寫三次，從時間上和占用空間上看都不是理想的選擇.由AOB∠為銳角轉化為0OA OB?>+取值的討論同樣只須統一執行.因此，僅僅只須就0Δ>獲得m，k的關系式對m分三類展開討論.

3.5 規避分類

有些分類整合型試題分類后有多種情況，逐類加以分析討論需要繁瑣、冗長的步驟，解題過程極易導致錯誤.換個角度去審視，有時分類與整合其實是可以規避的.此類問題可以檢測能力及學習潛能.(《請分類討論讓路》：《福建中學數學》2005年第4期，作者：楊躍民)

案例13已知曲線+?至少有一個正極值點，試求a的取值范圍.

命制意圖：重點考查分類與整合的思想，同時檢測是否具備規避分類的潛能品質.