2011年高考江蘇卷第20題的別解與推廣

我們知道：若數列{ } a是等差數列，則坐標

()

n a，表示的點在一條直線上.反過來，若()

n a，表示的點在一條直線上，則數列{ } a是等差數列.引理 若將無窮數列{ } a每隔1k?項取一項，得到k個新數列

a都是等差數列；再每隔1l?項取一項，得到l個新數列

n k l∈N，，也都是等差數列，且k與l互質，則數列{ } a是等差數列.證明 若1k =，則數列{ } a已是等差數列.若1k >，1l >，設數列

a?+的公差為d，由

?+?+?+∈N，在一條直線上.即數列

a?+在原數列中表示的點在一條直

線上，我們記該直線為h.同理數列

{}a在原數列中表示的點也分別在同一條直線上.對數列

a?+上的點

()n∈N在一條直線上.我們記該直線為

kx lyc c?=∈N至少有兩個正整數解，即總存在*

lm l?+至少有兩解，即點點重合.

根據直線的基本性質：兩點確定一條直線，∴直線h與直線

h重合.

一般地，k∵與l互質，對任意* ij∈N，，方程

kn kilm lj?+ =?+也至少有兩正整數解，即點

()

?++?+，與點()

()m n∈N，至少有兩點重合.

∴題中兩組數列各任取一數列都能證它們表示的點在同一直線上.

因此，數列

{}a上所有的點都在直線h上.即數列{ } a是等差數列.

例 (2011年高考江蘇卷·題20)設M為部分正整數組成的集合，數列{ }

S.已知對任意的正整數kM∈，當整數nk>時，

2() a的值.（Ⅱ）設{3 4}M =，，求數列{ } a的通項公式.

解 （Ⅰ）略；

（Ⅱ）對于nk>，2()

a+都是等差數

列，由于{3 4}kM∈=，滿足條件，∴數列

a+都是等差數列，又因為整數3與4互質，

∴由引理得，當2n≥時，數列{ } a是等差數列.

設其公差為d，

由(*)式得() ()2

ad=.

又 an=?.

本題可以看成是一道難度適中的常規題 “等差

a的公差d，前n項和為 12ad=對任

意的正整數k，當整數nk>時，求證：

2()

+?+=+” 的逆命題的一種變式.它增加了原題的思維量和難度.

不改變題設“設M為部分正整數組成的集合，數列{ }

a的首項 S.已知對任意的正整數kM∈，當整數nk>時，2()

11a =，前n項和為

都成立”的情況下.我們還可推廣，得到以下結論：（1）若{1}M =，則從第2項起數列是{ }

a+都是等差數列；（3）若kM∈，且