漫談n條兩兩異面直線的交線性質

在2010年高考全國Ⅱ理科卷中，有如下試題：

題1：與正方體ABCD A1B1C1 D1的三條棱AB，CC1，A1D1所在直線的距離相等的點

A.有且只有1個 B.有且只有2個

C.有且只有3個 D.有無數個

關于本題的求解，可以考慮建立空間直角坐標系，求出x，y，z之間的關系，即為點的軌跡方程.可得其軌跡方程為x=y=z，即空間中的一條直線，因此這樣的點有無數多個.

實際上，到兩條異面直線距離相等的點的集合是“雙曲拋物面”，這不禁讓我想起1997年全國高中數學聯賽的一個關于“雙曲拋物面”的試題：

題2：若空間三條直線a，b，c兩兩成異面直線，則與a，b，c都相交的直線有

A.0條 B.1條

C.多于1的有限條 D.無窮多條

本題得到許多專家的肯定，認為“頗為有趣”，源于這道試題表明了如下的性質：

命題1：與兩兩異面的3條直線都相交的直線有無窮多條，且除個別點外，過這三條直線上任一點的交線存在且唯一（參閱命題3）.

前年，筆者曾聯系直紋曲面，探討了n (3n≥)條兩兩異面的直線的交線性質，如交線是否存在？若存在，是否唯一？等等，特別是用中學幾何方法，討論了一些在一般幾何書尚未涉及的問題，得到一些有趣的結果.下面先給出與上述問題有關的直紋

π都有兩族無窮多條母線，每一族母線都可組成相應曲面.

（2）過曲面上每一點，每一族母線有且只有一條通過.

（3）每兩條同族母線不共面.

（4）每兩條異族母線必共面.

（5）經過曲面上每一點有且只有兩條母線.

（6）曲面1π的同族3條母線不平行于同一個平面，而曲面

π的同族3條母線平行等于同一個平面.

命題2說的是曲面上兩組異面直線性質（可用解析法證明），這些性質為命題1提供了實際例子，同時，它們在建筑學上也是有用的.那么，反過來，任給兩兩異面的n (3n≥)條直線是否存在一個曲面1π或曲面

π（3條平行于同一個平面）通過這3條直線，而且和這3條直線都相交的直線組成了相應曲面的一族母線（最多相差兩條母線）.

分析一：把交線看作兩平面交線，這樣把作交線的幾何方法解析化即得.

證明一：分兩種情形：

任給兩兩異面3條直線a，b，c.

1.a，b，c不平行于同一個平面時，建立空間仿射坐標系（如圖1），其中Ox，Oy，Oz為平行六面體

C，，，

再設(0 0)Pt，，為直線c上任意一點，現求過P和a，b，c都相交的直線τ的方程.

∵τ必是過P，a和P，b所確定兩平面的交線，設

BB（相當于0t =或1t =的情況）組成了曲面②，也就是說它們恰好是曲面②的一族母線.

2.當a，b，c平行于同一個平面時，建立仿射坐標系（如圖2），面 Bm，，，

又設直線c上點(01)Pt，，，則不難求得過P和a，b，c都相交的直線方程PM為：

③，消去t得二次曲面方程2π：(1)0(0 1)mxzmyzmym??+=≠，④，當0t =時，交線為直線 2π直截了當地表明為直線組成，提供了從另一角度研究它們的性質的可行途徑.

分析二：在證一坐標下，利用直線在二次曲面上條件，用待定系數法證之，（詳證略）.

分析三：根據兩線共面條件，我們可利用行列式和齊次線性方程組討論證明.

證明三：在證一的坐標系下，仍分兩種情形.

如證一中圖1，直線a為過(1 0 0)A，，方向向量坐標為(0 1 0)，，，b為過

C，，方向向量坐標為(1 0 0)，，，c為過(0 0 0)D，，方向向量為(0 0 1)，，，設與此同時a，b，c都相交的直線τ的定向向量為()e m n，，，()P xyz，，為τ上任意一點，據兩線共面條件有：

依第3行展開得一個關于emn、、的齊次線性方程組，

∵e m n、、不同時為0，

n n≥條情況可歸納為4條情況，我們有：

命題4：與4條兩兩異面的直線a，b，c，d都相交的直線可能不存在：若存在，可能有1條，2條或無窮多條.

分析：設與a，b，c都相交的直線為τ，由命題1，則問題歸結為研究d與τ是否相交，據命題3，問題又可歸結為研究過a，b，c的二次曲面與直線d公共點個數，這樣，就轉化成直線方程與二次曲面方程公共解的個數，詳證不再贅述.

至此，已用解析法從正面完全解決了我們提出的交線存在唯一性問題，值得指出的是上述證明，完全未直接引用有關直紋曲面性質，這也體現命題3證法一的獨特效用；下面，再談談僅用中學立幾方法就可推得的一些有趣結果，這些結果也似未在一般立幾參考書出現過.

命題5：（4條異面直線定理）存在4條兩兩異面的直線，使得沒任何直線能與它們同時相交.

證一：（如圖3），取正方體

DD兩兩異面，我們用反證法證明這4條直線適合命題要求，假設存在一條直線τ與這4線都相交，τ和1AC交于E，現將整個圖形繞

1AC旋轉0

∩，而且τ′仍與這4條直線都相交，這樣，四條兩兩異面直線的每條直線都有兩點在τ與τ′確定的平面上，這與4線兩兩異面矛盾，命題得證.

這個證明十分巧妙運用了旋轉變換，簡捷直觀解決了一個中學數學看起來難以入手的問題.再一次揭示出正方體的一個美妙性質，讓人賞心悅目，值得談一談的是這個證明有深刻重要的背景：即任

BC必不相交（詳證略）.

這個證明構思也十分巧妙，充分體現了研究立幾的基本思想方法——平面化.

命題6：任給兩兩異面3條直線a，b，c，設mnp、、與它們都相交，則：

① a，b，c平行于同一個平面等價于mnp、、平行于同一個平面；

② a，b，c不平行于同一個平面等價于mnp、、不平行于同一個平面.

分析：①可用平移法或梅涅勞斯定理的空間推廣證之.

②可用反證法.

命題7：存在無窮多條兩兩異面直線，使得和它們都相交的直線也有無窮多條.

分析：利用命題6①及同一法.

命題8：任給3條異面直線a，b，c，一定存在直線d滿足：

①a，b，c，d兩兩異面；

②沒一條直線和a，b，c，d都相交；

③d有無窮多條.

分析：分情況（1）當a，b，c平行同一個平面時，利用命題6①；（2）當a，b，c不與同一個平面平行時，可參照命題5的證法二用平面化思想證之.

對命題6，7，8這些乍一看難以入手的命題，其實可以利用命題2，3，4所采用的解析法證明，但是幾何證明一方面滲透了解幾思想，體現了指導作用，同時又直觀形象，易被中學生接受，從而豐富了中學教學內容.聯賽命題者的用心、問題的背景值得我們領會學習.本文一些內容，可作為高中課外興趣小組活動內容，對開拓學生知識面，提高能力有一定作用.