長方體與四面體包含關系的妙用

長方體是立體幾何中的基本幾何體，其結構對稱，各元素之間存在著相等、平行、垂直等關系，是研究線面關系、特殊幾何體的一個重要載體.某些四面體可以看成是“寄居”在長方體內.如三組對棱分別相等的四面體、直角四面體（即一個頂點處的三條棱兩兩垂直）都可以看成是長方體的寄居體；正四面體也可以看成是正方體的寄居體.

構造長方體解有關四面體問題，能把復雜的位置、度量關系簡化成典型的位置、度量關系，從整體上把握局部問題，思路更清晰，手段更靈活，使問題輕松獲解.本文擬例說之.

例1（2011年高考江西卷·理21）

（1）如圖，對于任意給定的A1四面體A1 A2 A3 A4，找出依次排列的A2四個相互平行的α1，α2，α3，α4

，A4 A3

使得Ai∈αi(i=1， 2， 3， 4)，且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；

（2）給定依次排列的四個相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相鄰兩個平面間的距離為1，若一個正四面體A1 A2 A3 A4的四個頂點滿足：Ai∈αi(i=1， 2， 3， 4)，求該正四面體A1 A2 A3 A4的體積.

該題是考卷最后一題，滿分14分，平均得分0.14分，只有很少的同學得了不高的分，多數考生無從下手.

分析 如果第二小題將此正四面體置于一個正方體中，問題就會更好處理：

（1）將直線A1 A4三等分，其中另兩個分點依次為A2′，A3′，連結A2 A2′，A3 A3′，作平行于A2 A2′，A3 A3′的平面，分別過A2 A2′，A3 A3′，即為α2，α3.同理，過點A1，A4作平面α1，α4即可的出結論.

（2）現將此正四面體A1 A2 A3 A4置于一個正方體ABCD?A1B1C1 D1中，E1，F1分別是A1B1，C1 D1的中點，EE1 D1 D和BB1 F1 F是兩個平行平面，若其距離為

1，則四面體A1 A2 A3 A4即為滿D1F1C1(A4)D1F1C1

足條件的正四面體.設正方A1

E1

B1

N

體的棱長為a，若D(A2)F

CA1

M

E1

B1

A1M=MN=1，AEB(A3)

則有A1E1 =a2，

D1 E1

=A1 D12+A1 E12=

25a，

由于A1 D1? A1 E1=A1M? D1 E1，得a =5，

那么，正四面體的棱長為d=2a=10，其體積為V=a3?4×16a3=13a3=5

3

5.

（即一個棱長為a的正方體割去四個直角三棱錐后的體積）.

有些四面體是長方體的寄居體不太明顯，而圖形中有直角三角形、等腰三角形或是等邊三角形在解題時也不妨先考慮其能否寄居在長方體內.若能，則可給解題帶來方便.

例（12006年高考江西卷·理20）A

如圖，在三棱錐A? BCD中，側BD面ABD、ACD是全等的直角三角C形，AD是公共的斜邊，AD =3，BD=CD=1，另一個側面ABC是正三角形.

（1）求證：AD⊥BC；

（2）求二面角B?AC?D的大小；

（3）在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角？

若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由.

該題是倒數第三題，平均得分為2.90，很多學生習慣空間向量解立體幾何，不過該題學生不知道如何建立空間直角坐標系，導致得分偏低，但如果將其放進長方體中，問題就迎刃而解了.

分析 從題目的條件可以得出AB=AC=BC=2，因此三棱錐

A

z

體

A?中

B

的CD

三

可棱

以錐

看，

作其

棱中長

B

為D，1的

D

正C

方

是

xBE

D

正方體的棱AB，AC，BC是正方H

OyC

體的面對角線，AD是正方體的體對角線，如圖所示，則可建立空間直角坐標系進行解答.

構造長方體模型解題，是一種模型化思考方法，是一種轉化途徑，是一種整體思維策略，對于提高學生思維的靈活性，優化思維品質是大有裨益的.