例談不同背景下的同類二次約束條件的最值問題

關于二次約束條件下的一類最值問題文[1]、文[2]均給出不同條件下的求解方法，本文主要探討近年在不同試卷中出現的該二次約束條件最值的題源，并給出比較完整的解法策略.

定理 對于n元實二次型f( x1，x2，B，xn)=XAX′，λ1，λ2，B，λn為A的全部特征值，那么min{λi }n

i=1

XX′≤f( x1，x2，B，xn)≤max{λi }n

i=1XX′.BC

1 平面向量背景

量

以O

jOjA jg

例為

和圓

1 Oj

心

j給jB

g

的

定，它圓

兩

們弧

個

的

長A?B夾度上角為變為1動1

的2，0

平。若.面如Oj

j

向Cj圖g=

所

xOj示jAj g

O，+

點yOjCjBj g在

，

A

其中x， y∈R，則x+y的最大值是.解

=x2Oj

Oj

j

jCj

Aj gg22

+=2(x

xOjy

jOjA jgj

jA

g+

?

yOj

jOj

B

j

jgBj

g+)2

y2 OjjBj g2

=x2 OjjAj g2+2xy O

jjAj g OjjBj gcos120d+y2 OjjBj g2

=x2+y2?xy=1，

即背景問題歸結為在二次約束條件x2+y2?xy=1下，求x+y的最大值.

由已知條件可知，x， y∈R+，

(x+y)2=x2+2xy+y2=1 + 3xy≤1+ 3?

??

x+2y???2=1 +34(x+y)2，

即14(x+y)2≤1，亦即(x+y)2≤4，

故可得x+y的最大值為2.

點評 解此題的關鍵是如何將隱含在背景條件中的數學模型化問題提取出來，這里由于x與y的系

數比剛好和2

x與的系數比相等，因此很容易由平均值不等式求得.

2 純粹數學背景

例2 （2011年高考浙江卷·理16）設x，y為實數，若，則

xy+≤.

點評 本題難度不是太大.由于系數之間的關系比相等，因此由均值不等式可馬上得到結果.此處采用的是高等數學的二次型理論進行求解，主要是想揭示題源的高數背景，從理論的高度揭示變量之間的依賴關系.

3 三角形背景

例3 ABC△中，3AC =，

，求

60

B =°2ABBC+的最大值

解 設ABx=，，由余弦定理可得，即 BCy=

222cos603xyxy+?°=223xyxy+?=.此題源背景可歸結為在約束條件下，求

的最值問題.

方法1 （參數法）

將223xyxy+?=中的x，交換位置得到的式子仍然不變，故此方程為對稱式方程. vxuv=?，代入約束條件得22

+=.它表示一個橢圓，利用橢圓的參數方程3cos

sin

故而可得2()2()3xyuvuvuv+=?++=+

3 3cossin2 7sin()θθθ?

(2 )2 7.xy+=

方法2 （配方法）

將223xyxy+?=中的x看作變量，而看作常量對式子進行配方可得，

xy+=

點評 這里由于系數之間的關系比不相等，因此是沒辦法通過均值不等式求解出來的.此處采用的參數法與配方法兩種重要的數學解題方法，不論是哪種方法其實都歸結為三角函數的問題.三角函數代換是解決最值問題的有力武器.

()2cos3π

sin

234

ab+

下，求乘積最大值的問題，用均值不等式容易得到，這里不再贅述.

點評 向量是解決高中數學問題的一種有效工具，利用向量運算將三角形中邊之間的數量關系揭示出來.前面幾個例子探討的是在不同背景下的同類二次約束條件的最值問題，方法靈活多樣，為二次約束條件最值的題源探究提供依據.

參考文獻

[1]張猛.利用二次型性質解一類數學競賽題.福建中學數學.2007（8）：27-28

[2]林國夫.二次型約束下最值的求解策略.中學生數學(高中)，2010（11）：28-30