淺談數學解題中的基本元變換

數學的公式往往以兩個量為基本元，將研究對象用基本元表示.如，三角公式以兩個角為基本元，等差數列以首項、公差為基本元，平面向量以不共線的兩個向量為基底，…….因此在解決數學問題時，我們常常根據已知條件，先確定基本元，再將所研究的代數式用基本元加以變換.只有掌握基本元變換，才能深刻理解數學的本質，使學習遠離題海戰術，提升數學思維能力.

1 以已知量為基本元，將所求量用已知量表示

例1 已知銳角α，β滿足

=#8722; ，求c o s β.

解析 以已知角α和α+ β為基本元，將所求角變換為β=( α + ) β#8722; α ，得到解題過程如下： 4≤x + y ≤ 6#8722; 3≤x#8722; y ≤ 1#8722;，求3x+ 4 y的取值范圍.

解析 以已知代數式x+ y ， x#8722; y為基本元，將所求代數式用基本元變換，得到解題過程如下：

設

( ) ( )

， .

聯系等式中的運算：加、減、乘、除、乘方、開方，學生會類比不等式的加減運算性質，嘗試得到不等式的乘、除、乘方、開方的運算性質，將問題創新為：

設實數x ，y滿足3≤ΔA E F ≤ 8，4≤Δ A′ E F 9≤ ，求A′ E F ⊥平面的取值范圍.

B E F

解 以已知代數式ΔA E F ，Δ A′ E F為基本元，將所求代數式用基本元變換.

∴ ∈ ， .

學生通過體會各種運算之間的聯系與區別，總結學習的經驗，在課堂生成中領悟數學研究的方法.為提高學生的學習能力和興趣，可將問題延伸.

延伸1 （2 0 0 9年高考全國卷I ·理2 2 ）設函數

f x= x + b x + c x有兩個極值點x1 ，x2 ，且x1 ∈[#8722; 1， 0 ] ，x2 ∈[1 ， 2 ] .

（I ）略；（I I ）證明：( )

∴Δ=#8722; + ≥ ，

解得d ≤#8722;2 2或d ≥2 2 .

延伸3 （2 0 1 0年高考浙江卷·理1 6 ）已知平面向量α，β(α≠ 0 ， α ≠ ) β滿足

∴ <α ≤ .

2 選定不變量，以基本元的變換構造方程例3 求證： ( )

s i nα+ β = s i n α c o s β + c o s α s i n β，

.

人民教育出版社出版的新課程教材以單位圓中角的變換研究三角公式，學習中要注意體會角的變換實質上是基本元的變換.

證明 如圖，以為不變量，將其用不同基底表示.若以，為基底，則O C C A ′重合，求線段F M的長.

這是2 0 1 0年高考浙江卷理科第2 0題，受到眾多師生的詬病與批判.學生感覺條件太少，覺得沒條件可用于解決所問，不知道從哪里下手.老師認為新課程側重于用空間向量解決立體幾何問題，翻折問題需要考生自己畫出翻折后的空間圖，對學生的空間想象能力要求太高.

分析 對于立體幾何中的翻折問題，只需找出翻折圖形前后幾何量的不變性( C M )，將其在翻折前后圖形中分別計算.