巧用等積法解高考立體幾何試題

在立體幾何中，有些求體積問題可以通過等積變換來完成，即將一個幾何體的體積等價轉化為另一個便于求體積的幾何體來解決；求某些點到到平面的距離，也可以通過等積法來完成；因為采用這種方法可以回避尋找垂足點的具體位置，從而降低了思維難度，省去許多作圖和論證過程，而將問題巧妙地得以解決；求斜線與平面所成角時，若能求得斜線上的某點到斜足的距離及該點到平面的距離，便可快速求出該斜線與這個平面所成的角.

從近幾年的一些高考立幾試題中，我們不難發現，許多立幾解答題(特別是文史類試題）若能靈活地運用此方法，可將試題簡捷訊速得以解決，下面

結合2 0 1 1年部分省市高考立幾試題展示相應解法（以下各題均只給出最后一小題的解法），供參考.

1 巧用等積轉化求體積

題1 （2 0 1 1年高考上海卷·文2 0 ）如圖1 ，已知

.

2 巧用等積轉化求點到平面的距離

題4 （2 0 0 1年高考全國卷·文1 8 ）如圖4 ，四棱錐P#8722; A B C D中，底面A B C D為平行四邊形，

6 0

P D ⊥ A B C D .

（I ）證明：P A⊥ B D ；

（I I ）設P D= A D =1 ，求棱錐D#8722; P B C的高.

（I I ）的另解 由題設條件可得B C =1 ，C D = 2 ，

，由余弦定理知

6 0

P A C P A= A B P B A C所成角的余

弦值；（Ⅲ）當平面與平面垂直時，求

的長.

∴ = = 1 ，過M作M H ⊥平面A B C D ，垂足為H (無須論證H在什么位置），連結A H，則∠M A H就是直線A M與平面A B C D所成的角.

在RtΔ A H M中，得

從以上各題解法的展示過程中不難發現，采用此方法解題的關健在于：①巧妙地利用了三棱錐每個頂點均可作為棱錐的頂點，三棱錐每個面均可作為棱錐的底面；②利用線與面平行、面與面平行，借助等底面積等高的錐的體積相等，從而實現等積轉化，達到解決問題的目的.

許多高考試題雖然出至于不同省市、甚至來自于文、理不同科目，但在解法思路上均可用“等積變換”這一方法得以完美的統一.

這一方法除了直接用于解題展示外，也可作為對其它解法所得結果的檢驗手段.因此，這一方法的確值得好好研究與靈活把握.