例談以形助數(shù)

摘 要： 作者根據(jù)自己多年的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，把常常會(huì)用到數(shù)形結(jié)合的幾種題型進(jìn)行歸納，并介紹了以形助數(shù)在解題時(shí)的作用.

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合 數(shù)與形 以形助數(shù)

以形助數(shù)就是把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)來確定，借助形的生動(dòng)直觀性來闡明數(shù)量之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的.實(shí)際上，在某些問題上常用的方法就是數(shù)形結(jié)合，如有關(guān)集合問題，在正確理解集合的概念及運(yùn)算意義的基礎(chǔ)上，合理運(yùn)用文氏圖和數(shù)軸；常結(jié)合圖像去研究函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、值域等；結(jié)合圖像研究一系列與二次方程的根的分布有關(guān)的結(jié)論；利用二次函數(shù)的圖像直觀地處理與二次方程、不等式有關(guān)的問題；利用單位圓、三角函數(shù)的圖像研究三角函數(shù)問題；向量的基本概念和基本運(yùn)算都可以與有向線段結(jié)合起來；在解線性規(guī)劃問題時(shí)常把約束條件轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域（可行域）而用一族平行直線ax+by=z表示目標(biāo)函數(shù)z=ax+by……由此可見數(shù)形結(jié)合在各個(gè)知識(shí)點(diǎn)中都被廣泛地運(yùn)用著.靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要意義.下面從解題的對(duì)比說明問題.

1.與不等式有關(guān)的問題

例1：若不等式|x-4|+|3-x|＜a的解集為空集，求a的取值范圍.

這道題目是已知不等式的解集求未知的參數(shù)，是考查不等式解法的逆向運(yùn)用，解這道題的一般思路是：先對(duì)a分類討論：（1）a≤0時(shí)，不等式的解集為空集，符合題意；（2）a＞0時(shí)，先求不等式有解時(shí)a的取值范圍：a＞1，從而得當(dāng)0＜a≤1時(shí)，原不等式的解集為空集.然后求出（1）（2）兩種情況的并集：當(dāng)a≤1時(shí)，原不等式的解集為空集.整個(gè)解題過程涉及分類討論，去絕對(duì)值，多次解不等式.按照這種方法去解題，易出錯(cuò)，花費(fèi)時(shí)間多.如果我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，顯然|x-4|+|3-x|=|x-4|+|x-3|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到3和到4的距離之和（圖1），其最小值為1.即|x-4|+|x-3|≥1，若|x-4|+ |3-x|＜a的解集為空集，只需a≤1所以a的取值范圍是a≤1.后一種方法明顯比前一種方法簡單、清楚，運(yùn)算量小，出錯(cuò)率低.

2.與函數(shù)有關(guān)的問題

例2：求函數(shù)y=的最大值和最小值.

解：∵y=，令A(yù)（2，0）、B（cosx，-sinx），∴點(diǎn)B在單位圓x+y=1上，∴y=k.由圖2可知：當(dāng)直線AB與單位圓相切時(shí)，斜率有最大值及最小值，容易求出k的最大值為，最小值為-.

3.與軌跡有關(guān)的問題

例3：設(shè)x，y∈R，i，j為直角坐標(biāo)系內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若向量=x+（y+2），=x+（y-2），且||+||=8，求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程.

分析：如果純粹從向量的模的代數(shù)意義上考慮，||+||=8，可化為+=8，再通過移項(xiàng)，平方等步驟得出軌跡方程，整個(gè)方程需要兩次平方去根號(hào)，從學(xué)生解答的情況看，很容易出錯(cuò).如果從向量的模的幾何意義上考慮，+=8指的是動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到兩定點(diǎn)F（0，-2）、F（0，2）的距離之和為8.由橢圓的第一定義可知，軌跡C就是以F，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，其方程是+=1.

這道題充分反映了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢.有些問題比較特殊，采用常規(guī)方法來解，推理運(yùn)算過程復(fù)雜，如果利用數(shù)形結(jié)合的方法來解，就可以使推理運(yùn)算過程簡化.有意識(shí)地開發(fā)并利用解析幾何中的“形”去思考、分析并解決問題，可以拓寬思路，有利于提高綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題、解決問題的能力.

4.與最值有關(guān)的問題

例4：若|z|=1，求|z+i|+|z-6|的最小值.

解：∵|z|=1，∴復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在單位圓（如圖3），

|z+i|+|z-6|表示點(diǎn)P到A（0，-1），B（6，0）兩點(diǎn)之間距離的和，即：|z+i|+|z-6|=|AP|+|BP|≤|AB|=.

故|z+i|+|z-6|的最小值為.

數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，它可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化，生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).我們?cè)诮忸}中充分應(yīng)用這種思想方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的思維會(huì)有很大的幫助.

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