基于CVaR約束的金融市場指數追蹤優化模型及實證分析

摘要：本文基于結構風險最小化思想，考慮到投資者不同的風險偏好以及單個資產的集中度、資金規模、交易成本等影響因子，建立了基于CVaR約束的新型金融市場指數追蹤優化模型，并利用深圳成份指數歷史數據進行了實證檢驗。實證結果表明本文提出的新方法能夠提高樣本外追蹤效果，從而具有較高的理論和實用價值。

關鍵詞：CVaR市場指數；追蹤指數；投資組合

中圖分類號：F830.59文獻標識碼：Ａ文章編號:１００３－９０３１(２０12)04－００36－０3DOI:10.3969/j.issn.1003-9031.2012.04.09

一、引言

指數化投資組合被大多數投資者和機構所采用。但是，面對市場上包含幾十上百種資產的金融市場指數，以有限的資金按照金融市場指數的構成比例購買所有的資產，完全復制所追蹤的金融市場指數是比較困難的。因此，采用優化復制方法，即通過權重的優化再配置尋找一個含有“部分”成份資產的投資組合來追蹤某個特定的金融市場指數，以使其長期收益水平接近或優于整個市場或指定版塊的收益就具有積極的現實意義。

從上世紀九十年代以來，一些學者在此領域進行了一些有意義的探索，如Haugen和Baket（1990）采用均值—方差模型對指數追蹤問題進行了研究[1]。Worzel和Zeniou（1994）提出通過使用效用函數懲罰追蹤誤差并最大化期望效用函數來追蹤指數[2]。Konno（1991）等在對組合優化進行研究時，提出了一種基于平均絕對偏差的模型，并代替傳統的均值—方差模型[3]。陳春鋒、陳偉忠（2004）以上證180指數為標的研究了如何構建指數復制的數學模型，并對目前存在的幾種不同的復制方法進行了實證分析[4]。徐凌（2009）探討了分層抽樣中行業篩選的問題[5]。對指數追蹤的研究盡管豐富，但研究角度都是基于追蹤偏差（即經驗風險）最小，沒有考慮在實際運作中，對于投資者來說，收益率高于所追蹤的金融市場指數收益并不算是風險，僅僅當收益率低于所追蹤的金融市場指數收益時才有風險，可能會造成損失。Rockafellar和Uryasev（2000）提出了條件風險價值CVaR[6]，回答了投資者關心的在進行投資組合決策時，怎樣在現有的資產因子中配置資源使得投資組合與其追蹤的金融市場指數偏差大于某個給定偏差時的平均偏差最小的問題。本文構建基于CVaR約束并考慮單個資產集中度、資金規模、交易成本等影響因子的金融市場指數追蹤優化模型。最后，利用深圳成份指數的歷史數據對提出的模型進行檢驗，結果表明該模型具有良好的泛化能力，很大程度上降低了樣本外追蹤偏差，同時提高了模型的魯棒性。

二、問題描述

金融市場指數追蹤優化問題是指從P種資產（一般是標的金融市場指數的成份資產）中選出n種資產構建一個投資組合，并使得該組合相對標的金融市場指數的一些考核標準更優。為了評價追蹤組合的優劣，選取目標金融市場指數和備選資產的歷史數據，又稱測試數據集，并將其分為樣本內和樣本外，即t=1，……，T的數據為樣本內數據，t=T+1，……，T+L的數據為樣本外數據。通過樣本內的數據，依據模型確定最優追蹤組合，利用樣本外數據評價追蹤組合的追蹤效果。

假定投資者的投資組合p由si（i=1，……，n）種資產構成，I為要追蹤的標的金融市場指數。t=1，……，T的數據是基于歷史時期的樣本內數據，來考察投資組合與標的金融市場指數的價值變化，t=T+1代表一個決策時點，在該時點把當前投資組合調整為一個新的追蹤組合。x0=（x01，……，x0n）是初始時n種資產持有量，x=（x1，……xn）為決策變量（即待求變量），代表T+1時點資產s=（s1，……，sn）的持有數量；Pit代表t（t=1，……，T）時刻資產si（i=1，……，n）的價格，則資產si在t時刻的對數收益率為rit=ln（pit/pi，t-1）；則投資組合p的對數收益率為rt=∑ni=1（ritpiTxi/∑ni=1iTxi），It為指數I在時刻t的點位，則指數在時刻t的對數收益率Rt=ln[It/It-1]。定義zt=Rt-tt為投資組合p與金融市場指數兩者之間的偏差變量。為合理度量投資組合p追蹤金融市場指數i的風險，采用在一定的置信水平下，偏差zt=Rt-rt超過某個給定偏差的平均值CVaR作為風險的度量。

CVaR可以用下面的數學表達式表示：

CVaR?茁=VaR?茁+E[f（x，p）-VaR?茁]|[f（x，p）>VaR?茁]

其中：x=（x1，……，xn）T表示n種資產的持有量向量；p=（p1，……，pn）T表示引起投資組合與追蹤指數發生偏差的市場因子，如資產價格；f（x，p）表示投資組合的平均偏差函數；?茁表示置信水平。通過構造一個輔助函數解決計算問題，對任意的?綴R，輔助函數近似表示為：

F?茁（x，）=+∑Tt=1[f（x，pt）-]+

將其線性化，則F?茁（x，）可表示為：

+∑Tt=1zt

zt≥f（x，p）-，zt≥0 t=1，……T

需要考慮的其它約束條件有：

（一）組合內單個資產的集中度。即組合內單個資產的持有數量不得超過一定的比例，也不能小于一定的比例。即k∑ni=1piTxi≤piTxi≤bk∑ni=1piTxi，k=1，……，n。其中，k為投資組合中資產sk的最小持有比例；bk為投資組合中資產sk的最大持有比例，則有0≤k≤bk≤1，bk限制了投資組合中資產sk的風險敞口。

（二）資金規模。即持有的投資組合市值加上交易成本等于初始資金規模。∑ni=1piTxi+∑ni=1cpiT|x0i-xi|=v。其中，x0i為投資組合調整之前資產si的持有量；c為交易中涉及到的傭金、印花稅等費率的綜合比例；∑ni=1cpiT|x0i-xi|為倉位調整所帶來的交易成本；v為初始資金規模，其值等于每次調整前一日收盤后的投資組合市值與因倉位調整而被調出的資產賣出而帶來的交易成本的差額。

（三）交易成本。即倉位調整所帶來的交易成本不能超過初始資金規模的一定比例。即0≤∑ni=1cpiT|x0i-xi|≤qv，其中q為倉位調整所帶來的交易成本最多不超過投資組合總市值的比例。

三、金融市場指數追蹤優化模型

投資組合能夠容忍的下方追蹤偏差是由投資組合的規模和目標及其接近于零風險時的難度和成本決定的。理想狀態下，指數化投資者會在把目標瞄向零向下追蹤偏差，期望獲得最大收益率。則均值-CVaR金融市場指數追蹤優化模型為：

min-∑ni=1E[ri]xi

s.t.+∑Tt=1zt≤wt=1，……，T

zt≥Rt-rt-，zt≥0t=1，……，T

k∑ni=1piTxi≤piTxi≤bk∑ni=1piTxi，k=1，……，n

0≤∑ni=1piTxi+∑ni=1cpiT|x0i-xi|=v

0≤∑ni=1cpiT|x0i-xi|≤qv （1）

其中，w表示風險承受水平，通過對投資組合的置信水平?茁和風險承受水平?棕取不同的值求解上面模型，可得到指數追蹤的最優投資組合中資產持有量X*。均值-CVaR金融市場指數追蹤優化模型（1）反映了結構風險最小化的思想，在最小化經驗風險的同時，最大化預測能力，最終獲得兩者間的平衡。因此，它不僅能夠較好地追蹤歷史數據，而且能夠較好地預測未來，即減小樣本外追蹤組合與目標指數收益間的線性回歸誤差。

四、實證分析

本文根據深圳成份指數和成份股的歷史成交數據并同時考慮個股集中度、資金規模、交易成本等約束條件來構建追蹤組合，然后進行資產配置和組合模擬。

（一）樣本選取及參數設定

測試數據集采集深圳成份指數與深發展A、招商地產、深圳能源、云南白藥、五糧液、宏源證券、中興通訊、美的電器、中金嶺南、冀中能源10個成份股從2005年5月到2009年12月周收盤歷史數據，指數和成份股的收盤價均為229個數據。將前179個數據作為本文提出的指數追蹤模型的訓練集，也稱為樣本內，其余50個數據作為測試集，也稱樣本外，對本文提出的均值-CVaR金融市場指數追蹤優化模型進行實證檢驗，以表明該模型的優越性。模型中的一些參數設定如下：（1）優化前總的投資資產規模為v=2000000；（2）分散化約束系數：ai，bi=0.2，i=1，……，n；（3）標的股票的交易成本系數：c=0.003；（4）倉位調整產生的交易成本比例系數：q=0.0005；（5）置信水平?茁=95%和?茁=99%。

（二）實證結果

對于不同的?茁（置信水平）和w（風險承受水平），運用序貫二次規劃法（SQP）與Matlab7.0.1求解模型（1），所得樣本內與樣本外投資組合與指數的周平均追蹤偏差見表1：

從表1可以看出，本文建立基于CVaR約束的金融市場指數追蹤模型在樣本內外表現出很好的一致性，反映了該模型良好的魯棒性。為更直觀衡量不同置信水平和風險承受水平下模型的跟蹤效果，筆者分別繪制了在?茁=95%和?茁=99%置信水平下樣本內的指數追蹤圖（圖1、圖3）和樣本外的指數追蹤圖（圖2、圖4），為考察不同風險承受水平對追蹤效果的影響，筆者在每幅圖中都繪制了w分別為0.01和0.04情形下所對應的追蹤曲線。

圖1、3給出的是在置信水平分別為?茁=95%和?茁=99%，風險承受水平w=0.01和w=0.04下，利用2005.05-2008.12月周收益率數據所確定的最優投資組合在2008年1月到2008年12月的追蹤效果。總的來看，各風險承受水平所對應追蹤曲線較好地反映了深圳成份指數的走勢，這說明模型具有很好的實用價值。具體到不同的風險承受水平對應的追蹤曲線，所得期望收益率存在明顯差異。盡管除2008年5月的最后一周和10月的最后一周外圖中所繪制的2條追蹤曲線在各個周的收益率均高于指數收益率，但隨著風險承受水平逐步減小，收益率呈單調下降趨勢，特別是5月份以后，該趨勢表現尤為明顯。

圖2、4描繪的是在置信水平分別為?茁=95%和?茁=99%，風險承受水平為w=0.01和w=0.04下，基于過去三年半內的周收益數據在2009年逐周滾動追蹤效果，即利用過去178周股票的周收益率數據來確定最優投資組合，然后考察在未來一周的追蹤效果。由圖2、4可知，各風險承受水平下的追蹤曲線與指數的走勢吻合，這說明模型具有相當好的穩健性，其在樣本外仍可較好地追蹤指數走勢。

五、結 論

與現有關于指數追蹤策略研究的文獻不同，本文從描述投資者的風險偏好和股票市場數據的實際特征出發，構建了一種新型金融市場指數追蹤優化模型，采用追蹤偏差作為風險的度量來刻畫投資者對追蹤風險的認識與偏好，同時解決了由于隨機收益分布模糊性對優化問題求解造成的困難。實證表明，該模型計算產生的追蹤曲線均能較好地吻合實際指數曲線。無論是樣本內還是樣本外，投資者風險承受水平和置信水平對追蹤效果有顯著的影響。風險承受水平越大，追蹤偏差越小；置信水平越高，追蹤偏差越大。特別是，該模型具有兩個明顯的優點，一是能夠提高樣本外的追蹤效果，二是能夠提高追蹤組合在樣本內外表現的一致性，即模型具有良好的魯棒性。實證研究顯示本文給出的指數追蹤優化模型新技術具有較高的理論意義和實用價值。

（特約編輯：羅洋）

參考文獻：

[1]Haugen R A，Baker N L.Dedicated Stock Portfolios[J].Jounal of Portfolio Management，1990，16(4):17-22.

[2]Worzel K J，Zeniou C V，Zenions S A. Integrated Simulation and Optimization Models for Tracking Indices of Fixed-income Securities [J].Operations Research，1994，42（2）:223-23

33.

[3]Konno H， Yamazaki H. Mean Absolute Deviation Portfolio Optimization Model and its Application to Tokyo Stock Market[J].Management Science， 1991，37(5):519-531.

[4]陳春鋒，陳偉忠.指數優化復制的方法、模型與實證[J].數量經濟技術經濟研究，2004，（11）：30-36.

[5]徐凌.現貨組合跟蹤指數過程的行業篩選應用研究[J].經濟問題，2009（2）：108-117.

[6]R.T. Rockafellar ， S. Uryasev. Optimization of Conditional Value-at-Risk[J]. Journal of Risk，2000(2): 21-41.