論初中數學中方程模型與應用題教學

【摘 要】 本文利用數學模型方法歸納總結出初中數學中常見的六類方程模型，并對初中數學教學中的應用題教學進行分析、論述，體現了這一思想方法在初中數學應用題教學中的廣泛應用。

【關 鍵 詞】 方程模型；應用題；數學；教學

做任何事情總要運用一定的方法，方法正確，會收到事半功倍的效果；方法不正確，會產生事倍功半的情況，甚至導致失敗． 當今時代，邊緣科學是科學自己從深發展的一個方向． 數學作為科學的基本工具，使各種領域問題的解決無不或多或少地依賴于數學． 定性、定量分析是各種領域研究問題的基本方法． 在初中數學應用題的教學中，適當并恰當地滲透數學模型方法，會起到很好的效果．

一、初中數學中常見的方程模型

在一定意義上說，列方程（組）解應用題就是用數學模型方法解決問題的，初中數學課程中方程模型的運用十分廣泛，其中許多問題都能采用幾乎是完全采用數學方程模型的方法來解決，將實際問題中的文字語言用方程（組）來表示，解出方程（組），問題便迎刃而解了．

根據初中數學課程中接觸到的方程，將它們與數學模型聯系，得到初中數學中常見的六類數學方程模型：

模型Ⅰ：一元一次方程模型：

ax+b=0（a≠0）

模型Ⅱ：二元一次方程組模型：

a1x+b1y+c1=0，a2x+b2y+c2=0a1 b1a2 b2≠0

模型Ⅲ：三元一次方程組模型：

a1x+b1y+c1z=0，a2x+b2y+c2z=0，a3x+b3y+c3z=0a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3≠0

模型Ⅳ：可化為一次方程的分式方程模型：

■+■=0a1 b1a2 b2≠0，c1c2≠0

模型Ⅴ：一元二次方程模型：

ax2+bx+c=0（a≠0）

模型Ⅵ：可化為一元二次方程的分式方程模型：

■+■+d=0a1 b1a2 b2≠0，c1c2≠0，d≠0

二、應用題教學

列方程（組）解應用題是運用方程（組）的知識解決實際問題的重要課題，對于培養學生分析問題和解決問題的能力十分有益，它既是教學中的重點內容，又是教學中的難點內容． 在初中代數里，曾先后五次出現列方程（組）解應用題：列一元一次方程解應用題；列二元（三元）一次方程組解應用題；列可化為一次方程的分式方程解應用題；列一元二次方程解應用題；列可化為一元二次方程的分式方程解應用題．

通過解應用題教學，可以歸納出列方程（組）解應用題的一般步驟是：

（1）審：分清題中的已知量、未知量及其關系．

（2）設：用字母x（y，…）表示題中的未知數．

（3）表：用含有未知數的式子表示題中有關的代數式．

（4）列：根據題中已知數與未知數的相等關系列出方程．

（5）解：解出所列的方程．

（6）驗：判斷方程的解是否符合題意．

（7）答：對題目提出的問題作明確的回答．

以上七步，前三步是基礎，第四步是關鍵，教學重點放在前四步，這是教學列方程（組）解應用題成敗的關鍵，當然后三步也不能忽視．

解應用題的前三步是密切相關的，有時甚至是交織在一起的． 首先要認真審題，分清題中哪些是已知量，哪些是未知量，已知量與未知量之間有怎樣的關系，這些關系是直接給出的，還是間接給出的，對于條件較多、關系復雜的應用題，可采用列表或畫圖的方式，仔細分析，加深理解題意． 其次，要重視“用未知數表示代數式”這一環節，一個應用題往往含有多個量，當選擇某一未知量為未知數后，就要用這個未知數表示其他相關的量，不要設完未知數就立即進入布列方程的工作．第三，搞清一些常見的基本數量關系式，并熟悉它們的變形，這對解決常見的應用問題是很有好處的． 要尋找題中的等量關系，這是布列方程的關鍵所在． 可按“等量關系語”去考慮，如“多”“少”“早”“遲”“是”“為”“比”等；或者按基本公式去考慮；或者按各類應用題中常用的等量關系去考慮，如“加水前含鹽重量＝加水后含鹽重量”等；也要注意挖掘隱藏的等量關系． 抓住了這一點，問題就容易解決了．

初中數學課程中的方程模型的運用十分廣泛，其中的許多問題都能采用數學方程模型的方法來解決． 教學時，指導學生將實際問題中的文字語言用方程（組）來表示，解出方程組，問題便迎刃而解了，同時要講清列方程（組）的關鍵——找等量關系，此即為構造方程模型的關鍵．

數學的生命力在于它能有效解決現實世界向我們提出的各類實際問題，而數學模型正是聯系數學與現實世界的橋梁． 如何將現實問題轉化為數學模型，這是對中學生創造性解決問題能力的檢驗，也是初中數學教學的重要任務． 因此，在初中數學教學中應給學生貫穿數學模型的思想，并指導學生去解決它們，同時要加強學生在這方面的學習和訓練．

初中數學內容包括代數、幾何、三角等幾個部分，它們都各自構成數學模型，每一個這樣的數學模型又可分為若干個小的數學模型，這許許多多的數學模型，經過教法設計和邏輯處理后，有機地結合起來，構成初中數學的知識系統，依此觀點，可以認為初中數學教學實際上是數學模型的教學，而方程模型是重要的數學模型之一，因此要在初中數學教學中加強這方面的指導． ■

【參考文獻】

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［２］ 趙振威． 中學數學教材教法［Ｍ］． 上海：華東師范大學出版社，１９９４．

［３］ 北京師范大學出版社． 九年義務教育三年制初級中學教科書 數學［Ｍ］． 北京：人民教育出版社，２００７－２０１０．

［４］ 北京師范大學出版社． 九年義務教育三年制初級中學 數學教師教學用書［Ｍ］． 北京：人民教育出版社，２００７－２０１０．