“數學應用”教學中若干問題探究

沙丹

[摘要]本文主要就大學本科應用類數學課程的教學提出了自己的一些想法。文章首先指出了應用數學和“數學應用”兩者之間的區別，強調了大部分非數學專業的應用數學類課程要關注的是數學如何應用。其次，指出對于各類實際問題的判斷是學習和掌握數學應用能力的關鍵，從而引出如何加強培養學生的判斷能力的問題。最后，文章闡述了要達到該目的應該在教學中注意的幾個關鍵點。

[關鍵詞]應用數學教學 教學法 數學應用能力

本文受到上海市教委《運籌學》重點課程建設項目資助。

數學課程教學的兩個核心問題

在整個大學本科教育中，數學的教育是不可或缺的。不論是數學專業還是非數學專業，數學的邏輯思維能力的訓練對學生來講都至關重要。但作為一名數學教師，經常會遇到有學生問這樣的問題：老師，我們的數學學了有什么用？甚至畢業了的學生也會說:大學里學了那么多數學，根本不知道怎么用！面對這樣的問題，如果單純地以“培養數學的素養”來回答，多少顯得有些蒼白。尤其是對于像上海對外貿易學院這樣的以應用型人才為培養目標的高校，如果所教授的內容，不能很好地與實際相結合，會使同學失去學習的興趣和動力，導致“培養數學的素養”的目標也落空。因此，當遇到這樣提問的學生越來越多時，作為一名數學教師，是需要認真地思考一下：在我們的教學過程中，是不是哪里出了問題？經過仔細的檢討，我認為問題的核心大致可以歸結為兩個方面：

1.在教學過程中混淆了應用數學和“數學應用”的界限。大學非數學專業（特別是商科專業）本科課程設置中所開設的數學課程，如統計學、運籌學、博弈論和模糊數學等，若從學科分類角度來說，都應該歸為應用數學范疇。應用數學是利用數學來發展經驗科學的學科。它始于經驗性事實，止于對經驗性事實進行規律性預測，這些規律性預測還必須被其他的實驗數據所證實。應用數學的主體是建立科學概念、構造數學模型和公式，進而發展數學理論，并作科學上的預測。它強調的還是對數學方法和數學理論的拓展。而后者則是強調數學方法在實踐中的應用，它強調的是對實際問題的判斷，要求能在眾多的數學方法中，正確選擇合適的方法（或略微加以改造）來解決實際問題。下面的示意圖可以用來描述兩者的區別。

應用數學：實際問題→數學模型→數學理論和方法→預測和決策

數學應用：實際問題→判斷→方法選擇→解決問題

圖1. 應用數學和數學應用的區別

作為數學教師，在課堂教學中，我們常常自覺或不自覺地沉醉于數學本身的完美體系之中，過分強調數學的嚴密邏輯，或注重數學方法細節的描述，強調對于數學方法的掌握而忽略了方法的應用。事實上，對于大多數學生來說（尤其是商科學生），更重要的是數學的應用。因為只有學以致用，才能提高學生對學科的興趣。對于這個本質問題認識不清晰，是導致學生對數學學習產生困惑的原因之一。

2.在教學過程中模糊了對學生的培養要求。有的應用數學類課程教學大綱中，都會強調學生對于理論和方法的掌握。個別課程如有應用軟件的，還會提供上機機會。但是，在具體實施教學時，往往會專注于要求學生掌握方法本身，而忽略對數學應用的基本素質培養。例如，面對實際應用問題，許多學生都不能把它用數學的語言描述出來，更談不上如何選擇合適的方法來解決問題了。

數學應用的基本素養

哪些是學生應當掌握的數學應用的基本素養呢？粗略可以歸結為下列幾點：

1.會用數學的語言將問題描述出來。是數學應用的最基本能力。如果不能將問題用數學語言表示出來，也就無法用數學的方法將它解決。此外，學會數學語言的運用，也是進一步培養數學思維的基礎。注意，這里所說的僅僅是“描述”，它可以是不嚴密的，不連貫的，不完整的，有別于數學模型的嚴密和完整。

2.會對實際問題的類型作出判斷。里所說的問題的類型，涉及到兩個層次。第一個層次是對問題大類的判斷，即問題屬于確定性的、隨機性的、模糊的，還是混合性的。學會這樣的判斷一般不難，這只要判斷問題所包含的變量的類型就行了。第二個層次的判斷就比較困難，它要求對問題所涉及的應用數學分支進行判斷，進而決定采用什么數學方法。

3.會整理歸納已學的數學方法。這里要求學生將所學過的數學方法進行歸納整理，使之系統化。借用計算機科學的語言，就是要建立一個關于方法的數據庫，將各種方法的特點，適用場合作為關鍵字儲存起來，以便實際應用使快速檢索。而這一種能力的提高，反過來也是對第二種能力的促進。

上述三種能力的培養，需要我們貫徹在每一門課程的教學之中。余下的問題就是，我們應當如何在課堂教學中來培養學生的這些能力呢？

如何在課堂教學中培養數學應用的素養

對于數學應用素養的培養，我想是否可以從以下幾個方面來著手：

1.經常強調要求學生用數學的語言來描述問題。這是一項長期的工作，可以在每一門數學課中進行。開始時，可以反過來進行，即在介紹一種數學語言（包括數學符號）時，同時指出它在現實生活中代表或可以代表何種現象。等到學生熟悉了這種方式后，再啟發學生自己來表述。

例如，在介紹圖或網絡時，先說明它可以表示一個城市的交通網絡。其中，網絡的邊表示一段街道，邊上所附的權表示該段街道的長度。求從某出發點到目的地的最短路就等價于在一個賦權的網絡中尋找連接這兩點的所有路中權和最小的那條。當同學熟悉了基本概念后，提出下列問題：某公司要制訂一項5年內更新設備的計劃。已知該設備在不同年份購置的價格及設備連續使用時每年的維護費用，并假設公司現有的設備已經連續使用了兩年。應如何選擇更新時機使總費用最低？啟發學生把問題用網絡的語言表示出來。又如在介紹了線性規劃模型后，提示同學，規劃中的變量可以是連續的，也可以是離散的。然后給出問題：已知某籃球隊有8名球員，并且知道他們各自的身高和擅長的位置。現要參加一場籃球賽，需從8名隊員中選擇一個平均身高最高的出場陣容。啟發同學用0-1變量來表示該名隊員上場與否，進而表示成一個線性規劃問題。

2.強調解題的規范。講解例題及對學生解題都嚴格要求具備三要素，即判斷、方法應用和結論解讀。“判斷”是指對問題類型的判斷，其中蘊含著對適用方法的判斷。要求學生具體寫出顯式的條件和隱式的條件。決不能因為覺得太簡單而忽略這一步驟。“方法應用”則是選用適當的方法進行解題。“結論解讀”是將數學計算的結果還原到實際背景中去的過程，即要求學生明白，數學上的解在實際中的意義。

在上述解題三要素中，判斷是整個解題的基礎，也是最重要的一環。相對來講，第二步方法的應用倒是比較容易掌握的。第三步往往是學生會忽略的，但這卻也是數學應用的重要步驟。往往會出現這樣的情況，同樣的計算結果，在現實生活中可以有不同的解釋。在安排教學時間上，應該放比較多時間在問題的判斷上，甚至可以集中將一些問題放在一起讓同學判斷而不必具體求解，以鍛煉學生的判斷能力。尤其是在階段性復習時，更要訓練判斷，因為此時掌握的方法多了，必須先對問題作出準確判斷，然后才能確定解決方法。

例如，在解答假設檢驗類的題目時，要求學生先把諸如樣本容量、顯著性水平、總體參數等已知條件寫一遍。然后根據這些已知條件進行判斷，是單總體還是雙總體，是采用正態分布還是學生氏分布。判斷正確了，問題就解決了一大半。最后，要將假設檢驗的結果用文字表示出來，如接受原假設時，可以說“在給定的顯著性水平下樣本數據不足以說明原假設不成立”；當拒絕原假設時，可以說“在給定的顯著性水平下樣本數據顯示原假設不成立”。又如，給出某公司800筆應收賬款按金額和賬目到期時間分列的數據表格，問抽樣結果是否顯示應收賬款金額與賬目到期時間著兩個因素相互之間有影響？讓學生判斷，是作獨立性檢驗還是作方差分析。適當時候，讓學生自己總結這兩種方法的區別點。

3.及時幫助學生歸納整理已學過的知識。一個階段教學后，將所學方法用表格結構、樹形結構或鉤連表結構進行歸納整理，幫助學生從形式到內容梳理知識，必要時還應將方法之間的邏輯關系標明。在教師作出示范后，就可以要求學生也照此來整理。這種方法不僅可以用來整理應用方法，還可以用來整理數學概念。

例如，在統計學中，講授了區間估計后，可以要求學生將不同類型的區間估計計算公式列出來。一種可能的方式是：單總體均值或兩個總體的均值，再分為正態總體或非正態總體，再分為大樣本還是小樣本，再分為總體方差已知或未知。在博弈論中，按靜態還是動態來分，再按信息完全和不完全來分，再按信息完美還是不完美來分，每種類型的博弈歸納出幾種典型的模型。在運籌學中，講授了網絡規劃后，讓學生按邊上的賦權情況來分類。如一個權的，屬于什么類型的問題，或可以提出哪些類型的問題；兩個權的，又可以提出哪些問題，各自又有哪些方法來解決。

有時，通過歸納總結，還可以引導同學自己提出新問題。例如，在最小費用流問題中，是滿足容量約束，達到費用最小。可不可以讓費用滿足約束，使容量達到最小？

4.引導學生自己發現新問題的關鍵點。在每次引入或介紹新方法時，不要開門見山，直接說出解決的方法。可以要讓學生和你一起來思考，以問題來驅動新知識點的引入。教師備課時材料要充分，啟發學生用類比、歸納等方法，找出可能解決問題的幾種途徑。當新方法介紹后，再要求學生進行對比，找出差距。這樣，把新知識的引入，處理成學生判斷、發現和解決問題的過程，把被動接受變為主動發現，同時也提供了一次學生在教師幫助下進行數學應用的實踐過程。

例如，在統計學課程中講授了擬合優度檢驗后，指出卡方檢驗實際上就是考察兩個分布在某些離散點上密度函數值的加權離差平方和。當這個值很大時顯然這兩個分布的密度函數曲線擬合很差。接著，在介紹獨立性檢驗時，先指出，我們希望能用類似擬合優度檢驗的方法來解決。同時提醒同學注意，獨立性檢驗所給出的數據表，實際上是一個兩維的頻數分布表，它只代表了一個分布函數的信息。而擬合優度檢驗需要比較兩個分布函數。那么，另一個分布函數（即理論分布函數）在哪里？

我們看下面的例子：在對某城市家庭的社會經濟特征調查中，調查者同時想確定家庭的電話擁有量與汽車擁有量是否獨立。該公司對10000戶家庭組成的簡單隨機樣本進行調查，獲得資料如下表。設顯著性水平為0.01。

顯然，數據只給出一個樣本的分布情況。那么，理論分布又在哪里呢？

在課堂教學中，面對這樣的提問，同學大都會感到很困惑。而這時，可以強調我們原假設是“電話擁有量與汽車擁有量是相互獨立的”，并進而給出提示：假如原假設成立，那么，數據會出現哪些現象？讓學生自己發現這樣的結論，即“電話的擁有量為0，1或2的家庭，其汽車的擁有量分布應該彼此相似”，從而得出理論分布的計算方法。這樣，獨立性檢驗的問題，就轉化為一個擬合優度檢驗的問題，即把一個新問題通過合適的轉換變為一個已經掌握了的“舊”問題。同樣的方式也可以用于博弈論中關于“海薩尼轉換”的教學。

結論

如前所述，大學應用數學課程的教學，不光是需要講授數學方法，更應多一點對于應用能力的培養。而這當中，尤以對問題的判斷更顯重要。本文雖然提出了一些應予關注的方面，但還需留待實踐來證明。

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作者單位:上海對外貿易學院商務信息學院上海