自然——數學教學的一種境界

■梁 棟

自然
——數學教學的一種境界

■梁 棟

梁棟，天津市武清區楊村第一中學副校長，數學特級教師，天津市數學學科帶頭人；曾獲得第八屆蘇步青數學教育獎二等獎和天津市優秀教師、武清區杰出人才等多項榮譽稱號；先后發表教育教學論文40余篇，撰寫《自然數學》專著一部。

作為數學教學的一種境界，“自然”體現在數學學習的各個方面，具體包括數學的解題思路、教師的教學過程、學生的學習過程都是自然的，教與學應當是充滿樂趣、充滿智慧的自然之旅。

一、數學的解題思路是自然的

數學解題是數學概念、思想方法于思維作用下的運用。尋求解題途徑的思考過程有其自然的一面，教師應注重在例題教學和技巧講解的過程中體現這種“自然”。

1.新課中的例題教學：勤練成就自然。

新授課的例題解法，例題難度一般較小，多是新學知識的簡單應用。對學生而言，此類例題易于理解，相當于“描紅”。因此，在此類例題教學過程中，可以適當增加“描紅”的時間和次數，使學生對基本方法的應用達到條件反射的程度。

2.習題課中的例題教學：基礎呈現自然。

習題課是強化訓練學生對知識、方法的運用能力的解題活動，題目具有一定的綜合性，但解題方法相對單一，且多數是剛剛講過的，學生容易確定解題的方向，困難是如何在復雜環境下應用知識和方法。

掌握復雜環境下應用知識的方法是學生解題能力形成的主要階段，也是良好思維方式形成的關鍵時刻。因此，教學中要突出定義、定理的直接運用，注重展示解法的得來過程。教師要多聽聽學生的想法，如有可能，盡量順著學生的思路繼續下去。此外，對于公式的應用而言，一般是用到的公式越基礎，解法的自然程度越高。因為，越是基礎性的公式學生越容易想到，教師的任務是盡可能讓這種思路最終獲得成功，從而讓學生感到數學解題并不神秘，平凡的方法有價值，也有生命力。

3.綜合復習課的例題教學：大眾化彰顯自然。

綜合復習課包含試卷講評課，這類課的例題常常涉及知識間的橫向聯系，對思維的深度要求比較高，解題的途徑多而相對復雜，對學生來說是個挑戰。

在教學過程中，如何找到一種學生樂于接受的思路就成為引導學生學習解題的關鍵。在分析解法時，教師要時刻進行如下的評估：用到的方法是不是學生熟悉的？應用的公式、定理是不是常用的？解題的思路是不是符合多數人的思維習慣？如果得到了肯定的結論，就說明解法具備了大眾化的基本要素。此外，還要看這種想法是不是具有普遍性，對其他題目的解決能不能提供思考方式上的幫助，如果答案還是肯定的，那么就是大眾化的方法了。

4.解題技巧也自然。

在沒有明確解題思路或思路受阻時，為了能夠解決復雜的問題，或者使解題過程簡單一些，就會涉及解題技巧。筆者認為，技巧也是自然的。技巧既然是一種解題方法，就應當有它自然的一面，提取技巧中自然的元素，技巧將具有高于普通方法的價值。展現技巧中自然的成分，不僅能豐富學生的解題方法，而且能使學生感受到數學的魅力。

二、教師教學的過程是自然的

很多數學問題的解法常常讓人感到出乎意料，難以想象，但如果仔細分析，就會發現解題的各個步驟都有熟悉的典型方法的影子，把這些相關的問題及解法梯次呈現，原本想不到的解法就自然而然地呈現出來了。

1.遞進式原則讓解題過程更自然。

數學問題之間是有聯系的，這種聯系一般表現在兩個方面：一是問題本身在形式上、內容上有密切的關系。如，有些題目通過變形就能轉化為另外的問題，有些題目的結論則是另外一些題目結論的一般化或特殊化。二是在思維方式上有一定的相似之處，通過類比就會找到新問題的解法。

經常有這樣的情形，一道數學題擺在面前，學生絞盡腦汁都無法解決。而看著別人提供的解答，每一步又都能看得懂，并且發現自己沒能想到的關鍵之處也并非是新的方法，只是當時沒有意識到。那么，為什么當時沒有意識到呢？是因為學生很少有過類似的解題經歷，熟悉的方法在陌生的環境下難以發揮作用。換句話說，一旦原本易于發現的聯系被各種繁亂的形式掩蓋，已知條件轉化的多樣性就會導致失之毫厘、謬以千里，想要迅速抓住問題的本質會非常困難。

遞進式原則能夠在一定程度上化解這個難題，并且利于學生認知結構的快速構建，使其養成良好的思維方式。所謂遞進式原則，是指利用已經掌握的典型方法、解題經驗，作為解決新問題時思考的基礎，把一道復雜問題分解成若干個已知的簡單問題，層層遞進，最后水到渠成地破解難題。

2.遞進式原則讓教學設計更自然。

遞進式原則遵循這樣一個基本思想：題目的難易不僅要看題目本身需要的方法和思維含量，還要看其中用到的數學方法的呈現方式和呈現時機，呈現的方式不同、時機不同，效果是有天壤之別的。對于綜合性比較強的題目，教師可遵循以下步驟來設計教學。

第一步，教師要清楚題目的解法是什么，解法中哪些是學生自己能想到的，哪些是不容易想到的，不容易想到的稱之為核心方法。第二步，核心方法在什么載體中出現過，在出現過的載體中學生感到最自然的是哪個，把這些載體羅列出來，然后找出和本題有密切關系的載體。也可以回憶核心方法在學生第一次接觸時是解決的哪道題，當時為什么用這種方法，第一次的印象往往是深刻的，學生會感到親切。第三步，篩選出來的載體能否轉化為本題的某一部分或全部，如果不能，還需要什么題目來過渡，然后再確定這些過渡性題目，當這些題目與要解的題目之間漸近關系比較明顯時，準備工作結束。第四步，把這些相關的題目按照由易到難的順序排列，如果題與題之間感覺順暢，那么教學設計完成，否則在跳躍性較大的題目之間再加入銜接的題目。

三、學生學習的過程是自然的

從不自然到自然是在學生學習一種方法后，通過一系列的變化，讓學生體驗方法并覺得方法是有用的，從而慢慢接受新的方法，會使用新的方法，會進行更深入的思考，最終成為一種自然的方法。

1.基本方法的教學與自然性原則的運用。

基本數學方法是構成學生數學素養的根基，也是學生繼續學習的基礎。對基本方法的教學，最難解決的是調動學生參與的主動性和積極性，否則很難引起學生思維上的深入，也容易造成學生對方法的理解只停留在形式化的表層，對后繼的學習產生消極影響。一是要在最初接觸方法時強化學生對方法應用的形式和條件的判斷。二是要有一定數量的變式練習來鞏固基本方法，多設置一些問題的情景與學生的習慣、經驗形成強烈反差的題目，將數學問題生活化、生動化，不斷激發學生的求知欲，提高學生解決具體問題的能力。

2.典型方法的教學與自然性原則的運用。

典型方法的教學中涉及的一些解題方法，學生對方法本身能夠理解卻不知方法的由來。自然性原則主張教師不去糾纏方法得來的過程，而是告訴學生這種方法是什么，展現方法的妙處，讓學生感到方法的價值，并嘗試應用這種方法。

方法的本質不難講清楚，方法的妙處和價值會在解題過程中體現出來，關鍵是教師如何設置題目讓學生體驗方法，不同的題目效果有著很大的差異。因此，題目的選取應注意以下幾點：一是合理控制難度。以學生經過思考就能直接運用所學知識的程度為宜。二是在推理和思辨上要求不能太高，但一定要有思維含量。三是注重“形”“神”兼備。四是不要求全，突出“精”。五是要自然、貼切，不要刻意雕飾。六是根據學生的特點，在載體和表述上進行適當變化。

3.綜合題目的解法與自然性原則的運用。

綜合題目的解法具有復合性的特點，這種解法可能是學生熟悉卻從未用過的。教學中可以用強化的方式達到從不自然到自然的過渡。當然，強化不等于用大量的題目反復練習，而是要通過有啟發性的問題，引導學生深入思考，通過一定的數學活動使學生發現、提出數學問題，并嘗試從不同的角度尋求解決問題的方法，獲取解題經驗。數學解題應在鞏固知識、理解方法的前提下，使學生形成自己的思維模式，最終具有創新的意識和本領。

4.思維過程的展示與自然性原則的運用。

學生掌握數學方法和形成思維方式需要一定的內化和感悟的過程，要縮短這個過程，只靠分析解題思路是遠遠不夠的，還應有思維過程的展示，而展示思維過程的有效方法之一是“現場直播”。

一般情況下，學生看不到教師解題時在思路受阻后是如何變換角度，最終突破難關的真實情形。面對一道陌生的難題，教師如何繞過思維障礙，變換思路，迅速決策，確定解題方向、目標，是學生最關心、最需要的，也是價值最大的。“現場直播”是教師課前不作任何準備，在課堂上把學生提出的疑難問題當作例題，現場講解，從而讓學生看到教師最自然的解題思路，體驗教師探索問題的軌跡，學會如何思考。這樣，拉近了教師和學生之間的距離，使學生真切地了解解決數學問題的全過程，有利于學生形成良好的思維方式。

（責任編輯 張 嶸）