極限思想和微積分學相輔相成的關系初探

趙金榮

摘要：極限思想方法是全部高等數學必不可少的一種重要方法，也是高等數學與初等數學的本質區別之處。高等數學之所以能解決許多初等數學無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題），正是由于它采用了極限的思想方法。

關鍵詞：極限思想；發展；符號表達

極限是高等數學中起著基礎作用的概念，在某程度上可以說高等數學的整個體系都建立在這一概念的基礎之上. 而極限思想則是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。極限思想作為一種數學思想，從其遠古的思想萌芽，發展到現在完整的極限理論，其發展道路上布滿了歷代數學家們的嚴謹務實、孜孜以求的奮斗足跡。也是數千年來人類認識世界和改造世界的過程中的一個側面反應，亦是人類追求真理、追求理想、創新求實的生動寫照。極限思想的產生與完善是社會實踐的需要，它的產生為數學的發展增加了新的動力，成為了近代數學思想和方法的基礎和出發點。

極限思想是微積分學的基本思想，數學中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數以及定積分等等都需要借助于極限來加以定義。 微積分則是現代數學的基礎，要學好微積分，就應該了解極限思想，學會用極限思想來理解這些概念，進而把微積分學知識應用于日常生活和生產實踐中，體會數學源于生產實踐，服務于生產實踐的事實。但是，極限思想較為晦澀，一向被視為是一難于理解的數學概念，若在教學中，加入一些涉及極限思想的故事及發展歷程，則會有利于學生了解極限思想與微積分學之間的關系，從而加深對其概念的理解。

極限思想的發展，總數起來可認為有三個階段：

階段一，小荷才露尖尖角，樸素極限思想的出現。與所有的科學思想方法相同，極限思想同樣是社會生產實踐的產物。追溯到古代，戰國時莊子與其弟子所著的《莊子》一書中的《莊子·天下篇》中，提到：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭。” 即：若取一根一尺長的棍子，第一天截去一半，第二天截去剩下的一半，此后每天都截取剩余的一半，如此永遠也不能取盡。此說法認為物質是可以無限分割的，其中蘊含了樸實的極限思想，具有很高的學術價值，但卻偏重于哲學的角度，與數學的聯系還沒有建立。而三世紀的劉徽的 “割圓術”：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，公元五世紀祖沖之計算圓周率的方法、公元前五世紀希臘學者德漠克利特為解決不可公度問題創立的“原子論”、公元前三世紀古希臘詭辯學家安提豐在求圓面積過程中提出的“窮竭法”等等問題中，在蘊含了最原始的樸素的極限思想的同時，開始從數學角度思考問題。

16世紀時，荷蘭的數學家斯泰文在三角形重心的研究中，改進了由歐道克斯提出的“窮竭法”，借助幾何圖形的直觀性，利用極限思想考慮問題，并在無意中“指出了把極限方法發展成為一個實用概念的方向”，但卻沒有脫離當時的社會實際。

階段二，極限思想在數學上的正式提出，改善和發展階段。極限思想的進一步發展與微積分的建立緊密相聯。16世紀的歐洲，資本主義正處于萌芽時期，生產力得到極大的發展。隨著生產力的發展，生產和技術中出現了大量的問題，只用初等數學的方法根本無法解決，例如描述和研究變速直線的過程、曲邊梯形的面積等等。這些問題的解決需要數學突破只研究常量的傳統范圍，這些是促進極限發展、建立微積分的社會背景。

當牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立微積分時，遇到了邏輯困難。牛頓在描述作變速運動的物體在某一時刻t時的瞬時速率時，用路程的改變量△S與時間的改變量Δt的比值ΔS/Δt表示運動物體的平均速度，當Δt無限趨近于零，該比值無限趨近于一與Δt無關的常數，該常數即物體在時刻t時的瞬時速度，并由此引出導數概念和微分學的基本理論。在敘述瞬時速率時，他已意識到了極限概念的重要性，也想以極限概念作為微積分的基礎，初步提出了極限的直觀性定義：“如果當n 無限增大時，如果an無限接近于常數A，那么就說an以A為極限。”但牛頓給出的極限觀念與荷蘭斯泰文同樣也是建立在幾何直觀上的，這種直觀的定性解釋并沒有給出極限的嚴格表述，也沒有解決當時的數學危機，因此在此基礎上，同時代及后起許多數學家對極限的概念進行了完善。

也是因為當時缺乏嚴格的極限定義，微積分理論才會在那個時代受到人們的懷疑與攻擊，例如，在瞬時速度概念的描述中，究竟Δt是否等于零？而如果說是零，零是不能做分母的，怎么能用它去作除法呢？但是若Δt不是零，卻又不能把包含著Δt的項去掉。這就是數學史上所說的無窮小悖論。在攻擊微積分學的大家中，英國哲學家、大主教貝克萊的攻擊最為激烈，他認為微積分的推導是“分明的詭辯”。

貝克萊激烈攻擊微積分的原因有兩個，首先他要為宗教服務，其次也是因為當時的微積分缺乏牢固的理論基礎，即使牛頓自己也無法清楚地解釋極限概念中的混亂。事實證明，嚴格極限的概念，建立嚴格的微積分理論基礎，既是數學本身發展的需求，也有認識論上的重大意義。

階段三，極限概念的定量化和數學符號表達階段。這階段主要指由柯西精確定義，維爾斯特拉斯用符號精確表達極限的階段。

19世紀，法國數學家柯西在他的著作《分析教程》中指出：“當一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當一個變量的數值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成為無窮小”。盡管這個定義是建筑在前人工作的基礎上，但還是相對完整地闡述了極限概念及其理論。但是這個定義仍然欠粗糙，說用語句中的“無限接近”、“要多小就有多小”等都只能給人一種模糊的直覺，并沒有徹底擺脫殘存在頭腦中的幾何直觀印象。

19世紀后半葉，德國的維爾特拉斯則提出了關于極限的純算數定義，并給出了沿用至今所用的極限的符號。

極限的定義經過幾代人的不斷完善、嚴格，最終解決了微積分理論發展期所面臨的強大邏輯質疑，給微積分學提供了嚴格的理論基礎。也正是如此，數學由常量數學正式進入變量數學的時代，極限的數學定義，沿用至今，成了微積分發展的重要里程碑。

極限思想在現代數學和物理學、天文學、化學甚至經濟學、建筑學等學科中都有著廣泛的應用，這也是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統一關系，是唯物辯證法的對立統一規律在數學領域中的應用。極限又是微積分的基本概念，是微積分學的直接基礎，也是微積分學區別于常量數學的重要工具，二者是相輔相成、密不可分的。極限思想擴展了數學能夠分析研究的范圍，促進了微積分的發展和完善，而微積分學在各個學科中的應用也是源于極限思想這個堅實理論基礎。

參考文獻

[1]白淑珍：《對極限思想的辨證理解》[J]；《中國校外教育》2008（02）：39-40

[2]李文林.數學史教程[M].北京：高等教育出版社，2000：255

[3]錢佩玲，邵光華.數學思想方法與中學數學[M].北京：北京師范大學出版社，1999：319

[4]吳振英、陳湛本：《論極限的思想方法》[J]；《廣州大學學報》2003（10）：410-412

[5]沈長華：《微積分概念的發展及其哲學解析》[D]；《蘭州大學碩士學位論文》2007：10-15