廣義逆矩陣｛2｝-逆充分必要性的一些新結論

范慶民

（太原理工大學 數學學院，太原030024）

近幾十年來，由于廣義逆矩陣在統計學、測量學、經濟學以及計算數學、控制論和系統分析、優化理論等眾多領域中有著廣泛的重要應用，從而促使廣義逆矩陣的理論、計算方法和應用的研究迅速發展［1－4］。筆者基于相關的廣義逆矩陣理論，得到滿足一定條件的｛2｝-逆充分必要性的一些新結論。

1 術語與符號

設，Cn為復n 維向量空間，Cm×n為復m×n階矩陣的集合，Cm×nr＝｛A∈Cm×n，rank A＝r｝。R（A）＝｛y∈Cm：y＝Ax，x∈Cn｝為A 的值域，N（A）＝｛x∈Cn：Ax＝0｝為A的零空間。AH表示A 的共軛轉置矩陣。S⊥表示子空間S的正交補。

對Cn中任意兩個子空間L和M，若Cn＝L⊕M，則稱Cn的子空間L和M 為互補的。這時，任意x∈Cn都可惟一分解為

稱y為x沿著M到L的投影。

用PL，M表示將任意x∈Cn變為沿著M 到L的投影的變換，即PL，Mx＝y。易知此變換為線性的，也是冪等的，稱變換PL，M為沿著M 到L的投影算子，稱沿著L⊥到L的投影算子PL，L⊥為正交投影算子，記為PL。

定義1.1［5］設A∈Cm×n，如果X∈Cn×m滿足則稱X 為A 的 Moore-Penrose廣義逆，記為A＋。稱定義1中的四個方程為Moore-Penrose方程。由于這四個方程都各有一定的解釋，并且在很多領域的實際應用中也各有方便之處［6－8］，所以出于不同目的，常要考慮滿足部分方程的X。

定義1.2［5］設A∈Cm×n，用A｛i，j，…，l｝表示所有滿足 Moore-Penrose第i，j，…，l個方程的矩陣X∈Cn×m的集合。矩陣 X∈A｛i，j，…，l｝記作 X＝A（i，j，…，l），稱為 A 的｛i，j，…，l｝－逆。

2 已有的相關結論

定理2.1［9］設A∈Cm×n，則

1）（A（1））H∈AH｛1｝；

2）rank A（1）≥rank A；

3）若P和Q 為非奇異矩陣，則Q－1A（1）P－1∈（PAQ）｛1｝；

4）AA（1）和A（1）A 是冪等矩陣，且有

rank AA（1）＝rank A ＝rank A（1）A；

5）（A＋）＋＝A；

6）（AH）＋＝（A＋）H；

7）設P∈Cn×n為冪等矩陣，則Px＝x，當且僅當x∈R（P）。

定理2.2［9］如果A（1）∈A｛1｝，則

R（AA（1））＝R（A），

N（A（1）A）＝ N（A），

R（（A（1）A）H）＝R（AH）.

定理2.3［10］對任一冪等矩陣P∈Cn×n，R（P）與N（P）為互補子空間，則

反之，如果L與M 為互補子空間，則存在著惟一的冪等矩陣PL，M，使得R（PL，M）＝L，N（PL，M）＝M.

定理2.4［10］設Cn＝L⊕M，A∈Cn×n，則

1）PL，MA＝A，當且僅當R（A）?L；

2）APL，M＝A，當且僅當N（A）?M.

定理2.5［11］對任意給定的矩陣A，A＋是滿足X∈A｛1，2｝和R（X）＝R（AH），N（X）＝N（AH）的惟一矩陣。

定理2.6［11］設 A∈Crm×n，R（A）＝L，N（A）＝M，L⊕S＝Cm，且M⊕T＝Cn，則AT（1，S，2）＝PT，MA（1）PL，S是A的惟一具有值域T和零空間S的｛1，2｝-逆。

定理2.7［11］設A∈Crm×n，U∈Cn×p，V∈Cq×m，X＝U（VAU）（1）V，則

1）X∈A｛2｝且，R（X）＝R（U），當且僅當

rank（VAU）＝rank U；

2）X∈A｛2｝且，N（X）＝N（V），當且僅當

rank（VAU）＝rank V；

rank（VAU）＝rank U ＝rank V＝r.

3 滿足一定條件的｛2｝-逆的充分必要性結論

定理3.1 設A∈Crm×n，T為Cn的s（≤r）維子空間，再設S為Cm的m－s維子空間，那么A有滿足R（X）＝T和N（X）＝S的｛2｝-逆，當且僅當

這時，X是惟一的。

證明 充分性。設U∈Cn×ss的列為T 的一組基，VH∈Cm×ss的列為S⊥的一組基。則AU的列生成AT。因為從（1）可推知dimAT＝s，故

而且，s×s矩陣VAU非奇異，這是因為VAUy＝0，所以AUy⊥S⊥，即AUy∈S.

由（3）式有 AUy＝0；

又由（2）式有 y＝0.

因此由定理2.7得

X ＝U（VAU）－1V.

它為A的一個有值域T和零空間S的｛2｝-逆。

必要性。因為A∈X｛1｝，由定理2.1的4）知AX是冪等的。而且由定理2.2

于是（1）式可從定理2.3推出。

唯一性。設X1，X2為A的具有值域T和零空間S 的｛2｝-逆，由定理2.1的4）和定理2.2，X1A為具有值域T的投影算子，而AX2為具有零空間S的投影算子，于是由定理2.4有

推論3.1 設A∈Crm×n，S和T 分別為Cm和Cn的子空間，使得

令AT（2，S）表示A的惟一具有值域T和零空間S的｛2｝-逆，則

推論3.2 設A∈Crm×n，T為Cn的r維子空間，且S為Cm的m－r維子空間，于是下述三種論述是等價的。

1）AT⊕S＝Cm；

2）R（A）⊕S＝Cm，N（A）⊕T＝Cn；

3）存在著一個X∈A｛1，2｝，使得R（X）＝T，N（X）＝S.

定理3.2 設 A∈Cm×n，X∈Cn×m，則 X∈A｛2｝，當且僅當X 為形如X＝（EAF）＋的矩陣。其中E與F為適當的Hermite冪等陣。

證明 充分性。由定理2.5有R（（EAF）＋）?R（F），N（（EAF）＋）? N（E）.因此，由定理2.4

X ＝ （EAF）＋＝F（EAF）＋＝ （EAF）＋E，于是

XAX ＝ （EAF）＋EAF（EAF）＋＝ （EAF）＋＝X.

必要性 由定理2.5和定理2.6有

等式（4）可敘述為，如果X∈A｛2｝，則X為通過將A的列投影到R（XH），其行投影到R（X）上所得到 Moore-Penrose逆。

定理3.3 設P為Hermite冪等矩陣，則X∈P｛2，3，4｝，當且僅當X 為 Hermite冪等矩陣，且R（X）?R（P）。

證明 充分性。因R（X）?R（P），由定理2.1的7）有PX＝X，取其共軛轉置就有XP＝X。由于X是Hermite矩陣，所以PX與XP均為Hermite矩陣。又因為X是冪等的，所以XPX＝X2＝X。于是，X∈P｛2，3，4｝。

必要性 設 X∈P｛2，3，4｝，則 X＝XPX＝PXHX，因此R（X）?R（P）。又由定理2.1的7）有，PX＝X，因為X∈P｛2，3｝，故PX 為 Hermite冪等矩陣。因此X是Hermite冪等的。

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