簡諧荷載作用下拱型結構線性動力穩定性

(武漢科技大學，湖北武漢 430060)

1 拱型結構的頻率分布特點

對于一般荷載，一般的分析方法是將它分解成為不同頻率的周期荷載的線性疊加［1］，這些具有不同頻譜特性的周期荷載，結構動力響應不同［2］。具有相同幅值，但頻率不同的周期荷載對結構的影響不大一樣，因此荷載的頻譜特性對結構的影響和動力穩定性起著重要的作用［3，4］。

弄清結構的自振特性是進行頻譜分析的基礎，結構對任意荷載的動力響應程度不僅取決于荷載的幅值，而且和結構自身的頻率分布也有著密切的關系［5］，因為一般的任意荷載類似白噪聲，幾乎包含所有的頻率，帶寬較大，頻率較集中的結構在此白噪聲荷載的作用下，更容易引起共振［6］，而且共振時間更長，強度更大，為了全面了解拱型結構的自振特性，計算了不同矢跨比和不同桿件截面結構的前200階頻率，具體結構參數如表1所示。

表1 拱型結構參數表

從圖1，圖2可以看出，拱型結構的頻率分布是連續“光滑的”、中間沒有斷層。對于同一種矢跨比、不同截面的拱型結構，頻率分布特點也不盡相同，桿件較小的結構，剛度小，周期長，頻率分布比較密集，密集區間較長，截面較大的結構，剛度較大，密集區間短。分析還發現，不同矢跨比的結構，自振頻率的分布也有各自的特點，矢跨比大的結構平面外剛度較小，縱向振型不多，較密集，橫向(平面外)的振型較多，較密集，同時伴隨著與縱向及豎向的耦合扭轉［7］，矢跨比小的結構，豎向振型較多。

圖1 單拱自振頻率分布曲線（不同矢跨比）

2 拱型結構的線性諧響應分析

持續的周期載荷作用于結構或部件上都產生持續的周期響應(諧響應)，諧響應分析可以確定線性結構在隨時間以正弦規律變化的載荷作用下的穩態響應，從而得到結構部件的響應隨頻率變化規律。我們可以通過響應隨頻率的變化規律來分析結構的持續動力特性，發生在激勵開始時的瞬態振動不在諧響應分析中考慮，如圖3所示。

圖2 單拱自振頻率分布曲線（不同桿件截面）

圖3 結構系統的瞬態和穩態動力響應

結構動力運動方程可寫為:

方程右邊的作用力{F}為簡諧荷載，方程(1)的穩態解表達為:

其中，umax為位移幅值;ω為外荷載頻率;φ為相位。

將式(2)進一步改寫為:

令: {u1}={umaxcosφ};{u2}={umaxsinφ}。

則:

同理:

其中，{F1}={Fmaxcosφ};{F2}={Fmaxsinφ}。

將式(3)和式(4)代入式(1)消去 eiωt可得:

對不同的ω求解方程(5)即可求得不同頻率的外荷載對應的結構穩態響應。

3 水平荷載作用平面內的線性諧響應分析

計算取1/3，1/5，1/7矢跨比的單榀拱結構，分別施加橫向水平和縱向水平正弦荷載，激活頻率從0．05 Hz逐漸增加到40 Hz，每增加0．05 Hz就計算一次結構的穩態響應，阻尼比取0．02，并選取5個特征點(見圖4)，以節點1為例，其縱向水平諧響應分析結果見圖5～圖7。

圖4 特征點分布圖

圖5 1/3矢跨比節點1諧響應曲線（縱向水平）

圖6 1/5矢跨比節點1諧響應曲線（縱向水平）

圖7 1/7矢跨比節點1諧響應曲線（縱向水平）

首先分析在平面內水平正弦荷載作用下的諧響應結果，從圖5～圖7可以看出，在此方向的正弦荷載作用下，各矢跨比的結構均有幾個共振區段，在此共振區間，頻率較密集，結構的動力響應較其他頻率荷載對結構的影響大得多，在這個共振區內包括很多頻率，同時每個激勵頻率對應的結構響應是若干振型共同參與的結果。同時可以看出在這幾個共振區段中，主要是低階頻率的共振區段內的振型占優勢。矢跨比不一樣的結構對同一幅值的正弦荷載的響應情況也不一樣，1/5矢跨比的特征點1在低階頻率共振區的最大位移達到0．11 m，而1/3，1/7矢跨比結構相應的最大位移只有0．045 m～0．05 m之間，這說明參數矢跨比對簡諧荷載的動力響應很敏感;另外，從矢跨比節點諧響應曲線圖可以看出，在同一個共振區段，1/3，1/7矢跨比結構的特征點3，4的位移甚至比拱部特征點1的位移還要大，這說明此時結構中部已經發生很大的外凸或內凹變形，材料早已進入塑性變形，建筑物也發生了很大的外觀形變，結構易發生突然性“垮塌”，設計時不應該采用這種矢跨比結構。

4 豎向荷載作用下的線性諧響應分析

同樣取矢跨比為1/3，1/5，1/7的不同模型，計算其在單位豎向正弦荷載下的諧響應過程，見圖8～圖10。

圖8 1/3矢跨比節點1諧響應曲線（豎向荷載）

圖9 1/5矢跨比節點1諧響應曲線（豎向荷載）

圖10 1/7矢跨比節點1諧響應曲線（豎向荷載）

在豎向簡諧荷載作用下，矢跨比小的結構的響應程度比大矢跨比結構要小，共振區較寬，且位移較小，抗豎向荷載干擾能力較強，大矢跨比的結構的共振區段出現分化，其中第一階低頻共振區位移占據絕對的地位，其他頻率可以忽略不計，但位移一般較大，達到0．24 m，故矢跨比大的結構對豎向荷載的諧響應要大得多，在設計時應該引起足夠的重視。

5 結語

1)通過與多層平面框架結構自振頻率分布對比發現，單拱結構低階頻率基本呈線性增加，較密集，分布均勻，中間無“斷層”，類似白噪聲。2)分析拱型結構線性諧響應的基本理論，推導出對不同ω求得不同頻率的外荷載對應的結構穩態響應結果。3)1/5矢跨比的特征點1在低階頻率共振區的最大位移達到0．11 m，而1/3，1/7矢跨比結構相應的最大位移只有0．045 m～0．05 m之間，這說明參數矢跨比對簡諧荷載的動力響應很敏感。4)在同一個共振區段，1/3，1/7矢跨比結構的特征點3，4的位移甚至比拱部特征點1的位移還要大，此時結構中部已經發生了外凸或內凹變形，材料進入塑性狀態，結構易發生突然性“垮塌”，設計時不應該采用這種矢跨比結構。

［1］歐進萍．結構隨機振動［M］．北京:高等教育出版社，2001．

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