簡(jiǎn)諧荷載作用下拱型結(jié)構(gòu)線性動(dòng)力穩(wěn)定性

(武漢科技大學(xué)，湖北武漢 430060)

1 拱型結(jié)構(gòu)的頻率分布特點(diǎn)

對(duì)于一般荷載，一般的分析方法是將它分解成為不同頻率的周期荷載的線性疊加［1］，這些具有不同頻譜特性的周期荷載，結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)不同［2］。具有相同幅值，但頻率不同的周期荷載對(duì)結(jié)構(gòu)的影響不大一樣，因此荷載的頻譜特性對(duì)結(jié)構(gòu)的影響和動(dòng)力穩(wěn)定性起著重要的作用［3，4］。

弄清結(jié)構(gòu)的自振特性是進(jìn)行頻譜分析的基礎(chǔ)，結(jié)構(gòu)對(duì)任意荷載的動(dòng)力響應(yīng)程度不僅取決于荷載的幅值，而且和結(jié)構(gòu)自身的頻率分布也有著密切的關(guān)系［5］，因?yàn)橐话愕娜我夂奢d類似白噪聲，幾乎包含所有的頻率，帶寬較大，頻率較集中的結(jié)構(gòu)在此白噪聲荷載的作用下，更容易引起共振［6］，而且共振時(shí)間更長(zhǎng)，強(qiáng)度更大，為了全面了解拱型結(jié)構(gòu)的自振特性，計(jì)算了不同矢跨比和不同桿件截面結(jié)構(gòu)的前200階頻率，具體結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 拱型結(jié)構(gòu)參數(shù)表

從圖1，圖2可以看出，拱型結(jié)構(gòu)的頻率分布是連續(xù)“光滑的”、中間沒(méi)有斷層。對(duì)于同一種矢跨比、不同截面的拱型結(jié)構(gòu)，頻率分布特點(diǎn)也不盡相同，桿件較小的結(jié)構(gòu)，剛度小，周期長(zhǎng)，頻率分布比較密集，密集區(qū)間較長(zhǎng)，截面較大的結(jié)構(gòu)，剛度較大，密集區(qū)間短。分析還發(fā)現(xiàn)，不同矢跨比的結(jié)構(gòu)，自振頻率的分布也有各自的特點(diǎn)，矢跨比大的結(jié)構(gòu)平面外剛度較小，縱向振型不多，較密集，橫向(平面外)的振型較多，較密集，同時(shí)伴隨著與縱向及豎向的耦合扭轉(zhuǎn)［7］，矢跨比小的結(jié)構(gòu)，豎向振型較多。

圖1 單拱自振頻率分布曲線（不同矢跨比）

2 拱型結(jié)構(gòu)的線性諧響應(yīng)分析

持續(xù)的周期載荷作用于結(jié)構(gòu)或部件上都產(chǎn)生持續(xù)的周期響應(yīng)(諧響應(yīng))，諧響應(yīng)分析可以確定線性結(jié)構(gòu)在隨時(shí)間以正弦規(guī)律變化的載荷作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，從而得到結(jié)構(gòu)部件的響應(yīng)隨頻率變化規(guī)律。我們可以通過(guò)響應(yīng)隨頻率的變化規(guī)律來(lái)分析結(jié)構(gòu)的持續(xù)動(dòng)力特性，發(fā)生在激勵(lì)開(kāi)始時(shí)的瞬態(tài)振動(dòng)不在諧響應(yīng)分析中考慮，如圖3所示。

圖2 單拱自振頻率分布曲線（不同桿件截面）

圖3 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)

結(jié)構(gòu)動(dòng)力運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)為:

方程右邊的作用力{F}為簡(jiǎn)諧荷載，方程(1)的穩(wěn)態(tài)解表達(dá)為:

其中，umax為位移幅值;ω為外荷載頻率;φ為相位。

將式(2)進(jìn)一步改寫(xiě)為:

令: {u1}={umaxcosφ};{u2}={umaxsinφ}。

則:

同理:

其中，{F1}={Fmaxcosφ};{F2}={Fmaxsinφ}。

將式(3)和式(4)代入式(1)消去 eiωt可得:

對(duì)不同的ω求解方程(5)即可求得不同頻率的外荷載對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

3 水平荷載作用平面內(nèi)的線性諧響應(yīng)分析

計(jì)算取1/3，1/5，1/7矢跨比的單榀拱結(jié)構(gòu)，分別施加橫向水平和縱向水平正弦荷載，激活頻率從0．05 Hz逐漸增加到40 Hz，每增加0．05 Hz就計(jì)算一次結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，阻尼比取0．02，并選取5個(gè)特征點(diǎn)(見(jiàn)圖4)，以節(jié)點(diǎn)1為例，其縱向水平諧響應(yīng)分析結(jié)果見(jiàn)圖5～圖7。

圖4 特征點(diǎn)分布圖

圖5 1/3矢跨比節(jié)點(diǎn)1諧響應(yīng)曲線（縱向水平）

圖6 1/5矢跨比節(jié)點(diǎn)1諧響應(yīng)曲線（縱向水平）

圖7 1/7矢跨比節(jié)點(diǎn)1諧響應(yīng)曲線（縱向水平）

首先分析在平面內(nèi)水平正弦荷載作用下的諧響應(yīng)結(jié)果，從圖5～圖7可以看出，在此方向的正弦荷載作用下，各矢跨比的結(jié)構(gòu)均有幾個(gè)共振區(qū)段，在此共振區(qū)間，頻率較密集，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)較其他頻率荷載對(duì)結(jié)構(gòu)的影響大得多，在這個(gè)共振區(qū)內(nèi)包括很多頻率，同時(shí)每個(gè)激勵(lì)頻率對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)是若干振型共同參與的結(jié)果。同時(shí)可以看出在這幾個(gè)共振區(qū)段中，主要是低階頻率的共振區(qū)段內(nèi)的振型占優(yōu)勢(shì)。矢跨比不一樣的結(jié)構(gòu)對(duì)同一幅值的正弦荷載的響應(yīng)情況也不一樣，1/5矢跨比的特征點(diǎn)1在低階頻率共振區(qū)的最大位移達(dá)到0．11 m，而1/3，1/7矢跨比結(jié)構(gòu)相應(yīng)的最大位移只有0．045 m～0．05 m之間，這說(shuō)明參數(shù)矢跨比對(duì)簡(jiǎn)諧荷載的動(dòng)力響應(yīng)很敏感;另外，從矢跨比節(jié)點(diǎn)諧響應(yīng)曲線圖可以看出，在同一個(gè)共振區(qū)段，1/3，1/7矢跨比結(jié)構(gòu)的特征點(diǎn)3，4的位移甚至比拱部特征點(diǎn)1的位移還要大，這說(shuō)明此時(shí)結(jié)構(gòu)中部已經(jīng)發(fā)生很大的外凸或內(nèi)凹變形，材料早已進(jìn)入塑性變形，建筑物也發(fā)生了很大的外觀形變，結(jié)構(gòu)易發(fā)生突然性“垮塌”，設(shè)計(jì)時(shí)不應(yīng)該采用這種矢跨比結(jié)構(gòu)。

4 豎向荷載作用下的線性諧響應(yīng)分析

同樣取矢跨比為1/3，1/5，1/7的不同模型，計(jì)算其在單位豎向正弦荷載下的諧響應(yīng)過(guò)程，見(jiàn)圖8～圖10。

圖8 1/3矢跨比節(jié)點(diǎn)1諧響應(yīng)曲線（豎向荷載）

圖9 1/5矢跨比節(jié)點(diǎn)1諧響應(yīng)曲線（豎向荷載）

圖10 1/7矢跨比節(jié)點(diǎn)1諧響應(yīng)曲線（豎向荷載）

在豎向簡(jiǎn)諧荷載作用下，矢跨比小的結(jié)構(gòu)的響應(yīng)程度比大矢跨比結(jié)構(gòu)要小，共振區(qū)較寬，且位移較小，抗豎向荷載干擾能力較強(qiáng)，大矢跨比的結(jié)構(gòu)的共振區(qū)段出現(xiàn)分化，其中第一階低頻共振區(qū)位移占據(jù)絕對(duì)的地位，其他頻率可以忽略不計(jì)，但位移一般較大，達(dá)到0．24 m，故矢跨比大的結(jié)構(gòu)對(duì)豎向荷載的諧響應(yīng)要大得多，在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該引起足夠的重視。

5 結(jié)語(yǔ)

1)通過(guò)與多層平面框架結(jié)構(gòu)自振頻率分布對(duì)比發(fā)現(xiàn)，單拱結(jié)構(gòu)低階頻率基本呈線性增加，較密集，分布均勻，中間無(wú)“斷層”，類似白噪聲。2)分析拱型結(jié)構(gòu)線性諧響應(yīng)的基本理論，推導(dǎo)出對(duì)不同ω求得不同頻率的外荷載對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)結(jié)果。3)1/5矢跨比的特征點(diǎn)1在低階頻率共振區(qū)的最大位移達(dá)到0．11 m，而1/3，1/7矢跨比結(jié)構(gòu)相應(yīng)的最大位移只有0．045 m～0．05 m之間，這說(shuō)明參數(shù)矢跨比對(duì)簡(jiǎn)諧荷載的動(dòng)力響應(yīng)很敏感。4)在同一個(gè)共振區(qū)段，1/3，1/7矢跨比結(jié)構(gòu)的特征點(diǎn)3，4的位移甚至比拱部特征點(diǎn)1的位移還要大，此時(shí)結(jié)構(gòu)中部已經(jīng)發(fā)生了外凸或內(nèi)凹變形，材料進(jìn)入塑性狀態(tài)，結(jié)構(gòu)易發(fā)生突然性“垮塌”，設(shè)計(jì)時(shí)不應(yīng)該采用這種矢跨比結(jié)構(gòu)。

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