p（x）-Laplace方程解的存在性

劉越里，陳慶娥

（天水師范學院數學與統計學院，甘肅 天水 741001）

p（x）-Laplace方程解的存在性

劉越里，陳慶娥

（天水師范學院數學與統計學院，甘肅 天水 741001）

無流邊界；p（x）-Laplace方程；最小作用原理

1 引言與性質

近年來，具有變指數問題的研究目前是一個很熱的課題，在非線性彈性力學和電子流變流體力學中有著重要的應用［1］。在具p（x）增長性問題的研究中，p（x）-Laplacian方程是其中比較重要的領域。關于p（x）-Laplacian方程的Dirichlet邊值問題，Neumann邊值問題已有很多結果［2，3］。得到這些結果的主要方法是變分法，上下解方法。本文主要考慮了具有無流邊界p（x）-Laplace方程解的存在性，其中無流邊界為

Lp（x）（Ω）：=｛u｜u是Ω上的可測實值函數且∫Ω｜u（x）｜p（x）dx＜∞｝，

Lp（x）（Ω）上的范數為

是Banach空間，叫做變指數Lebesgue空間。

其對應的范數是

2 最小作用原理與主要結果

下面總假設f滿足下述基本假設：

基本假設：假設f滿足Caratheodory條件，且

本文主要結果由下面基本定理得到。

最小作用原理［7］：設（F0）滿足，若I有一個有界的極小化序列，則I有最小值點。

定理2.1設F（x，t）關于t是T-周期的，即?T＞0使得

則Ｉ有最小值點。

證明：因為F（x，t）有界，泛函I有下界c＞-∞。下證I有有界的極小化序列。設｛un｝是I的極小化序列，易證▽un%Lp（x）（Ω）有界。

對?u∈X，有I（u）=I（u+kT），其中k為任意整數。對每個un，可找到某個k（n），使得uˉn+k（n）T≤T。令Vn=un+k（n）T，那么｛Vn｝也是I的極小化序列，ˉVn有界，則｛Vn｝是有界的。所以I有最小值點。即方程（1）有一弱解。

利用類似的方法可得到下面方程解的存在性

因此有I（u）=I（u+kT）。設｛un｝是I的一個極小化序列，則適當選取kn，令Vn=un+knT，可使得ˉVn有界，而｛Vn｝也是I的極小化序列。這時

［1］M.Ruzicka，Eleectoroheological fluids.modeling and mathematical theory［M］.Springer Verlag，Berlin，2000.

［2］X.L.Fan.Solutions for p（x）-Laplacian Dirichlet problem with singular coefficients［J］.JMAA.2005，312（3）：464-477.

［3］M.Mihailescu.Existence and multiplicity of solutions for a Neumann problem involving p（x）-Laplacian Laplacian operator［J］.NA.2007，67（5）：1419-1425.

［4］X.L.Fan，D.zhao.On the space Lp（x）and Wm，p（x）（Ω）［J］.JMAA，2001，63（2）：424-446.

［5］X.L.Fan，J.S.Shen，D.zhao.Sobolev embedding theorems for Spaces Wk，p（x）（Ω）［J］.JMAA，2001，62（2）：749-760.

［6］劉越里，陳慶娥，田玉柱.具有無流邊界條件的Laplacian算子的特征值［J］.天水師范學院學報，2010，30（2）：38 -40.

［7］張恭慶.臨界點原理及其應用［M］.上海：上?？茖W技術出版社，1986.

［責任編輯 賀小林］

Existence of Solution for p（x）-Laplace Equation

LIU Yue-li，CHEN Qing-e
（School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal College，Tianshui 741001，China）

When a term of｜u｜p（x）-2u is involved in p（x）-Laplace equation，it is easy to get the existence of solution and multiplicity of this equation using mountain pass theorem and fountain theorem.Otherwise，We apply the principle least action to obtain the existence of solution of p（x）-Laplace equation with no flux boundary.

no flux boundary；p（x）-Laplace equation；the principle least action

O175.29

A

1004-602X（2012）03-0037-03

10.3969／J.ISSN.1004-602X.2012.03.037

20120421

甘肅省自然科學基金資助項目（096RJZE106）

劉越里（1981—），女，甘肅天水人，天水師范學院講師。