基于線性預(yù)測分析和差分變換的語音信號壓縮感知

高 悅 陳硯圃 閔 剛 杜 佳

(西安通信學(xué)院基礎(chǔ)部 西安 710106)

1 引言

壓縮感知(Compressed Sensing, CS)理論是2006年 Donoho等人[1?3]首次提出的，其主要原理是利用非自適應(yīng)線性投影以少數(shù)數(shù)據(jù)保持信號的原始結(jié)構(gòu)，通過解決數(shù)值最優(yōu)化問題來近似重構(gòu)原始信號。這一理論為信號處理理論帶來了革命性的突破，具有廣闊的應(yīng)用前景。目前，壓縮感知理論在壓縮成像系統(tǒng)、模擬信息轉(zhuǎn)換、生物傳感等領(lǐng)域都有很好的應(yīng)用[4]。

壓縮感知在實(shí)現(xiàn)邊采樣邊壓縮的同時，還可以實(shí)現(xiàn)對信息的加密，同時具有較強(qiáng)的抗干擾能力。基于壓縮感知的這些優(yōu)點(diǎn)，人們開始將壓縮感知理論應(yīng)用于語音信號。但是目前，關(guān)于語音信號的壓縮感知理論研究并不多見。Griffin等人[5]將CS理論應(yīng)用于多通道語音信號處理，Giacobello等人[6]則將CS理論與語音編碼相結(jié)合，文獻(xiàn)[7]構(gòu)造了一種沖擊響應(yīng)矩陣來實(shí)現(xiàn)語音信號的稀疏化，并利用匹配追蹤算法實(shí)現(xiàn)了對語音信號的重構(gòu)。Christensen等人[8]利用復(fù)正弦窗構(gòu)成的字典對語音和音頻實(shí)信號進(jìn)行稀疏分解，采用壓縮感知理論來實(shí)現(xiàn)語音和音頻信號的重構(gòu)。在國內(nèi)，南京郵電大學(xué)的楊震和解放軍理工大學(xué)的陳亮等開展了 CS理論在語音信號上的應(yīng)用等一系列研究，發(fā)表了關(guān)于觀測矩陣、稀疏變換矩陣、語音端點(diǎn)檢測、說話人識別系統(tǒng)的抗噪和信息隱藏等方面的論文[9?15]。這些都表明 CS理論與語音信號處理技術(shù)相結(jié)合具有廣闊的研究前景。

本文根據(jù)語音信號自身的特點(diǎn)，利用語音信號的線性預(yù)測系數(shù)(Linear Prediction Coefficients,LPC)，提出了一種將LPC與差分矩陣相結(jié)合的聯(lián)合稀疏變換方法，通過與快速傅里葉變換和LPC兩種稀疏變換方法的對比，分析了聯(lián)合變換法重構(gòu)語音信號的性能。

2 壓縮感知基本原理

其中sni為標(biāo)量系數(shù)，且K?N，此時信號x可以被稱為是K“稀疏”(sparsity)的。如果能夠?qū)⑹?1)表示為·x，則Y?1稱為x的稀疏化矩陣，s是只有K個未知非零元素的稀疏化向量。

其中T=FY稱為傳感矩陣。Baraniuk證明約束等距特性的等價條件是測量矩陣F和稀疏變換基Y不相關(guān)，Candés證明當(dāng)F是高斯隨機(jī)矩陣時，傳感矩陣T能以較大概率滿足約束等距條件[16,17]，因此本文采用高斯隨機(jī)矩陣作為測量矩陣。當(dāng)M＜N時，式(2)無唯一解。但如果信號具有K稀疏性，則可以基于以下數(shù)學(xué)最優(yōu)化問題求解：

人們已經(jīng)提出了許多稀疏化問題的求解方法，如匹配追蹤算法、正交匹配追蹤算法[18]、梯度追蹤算法[19]、正則正交匹配追蹤算法[20]和壓縮采樣匹配追蹤算法[21]等。由于 OMP算法運(yùn)算速度快且易于實(shí)現(xiàn)，本文將采用 OMP算法來求解優(yōu)化問題并重構(gòu)信號。

3 基于LPC分析的稀疏變換

由壓縮感知理論可知，信號的稀疏化矩陣和測量矩陣是對信號進(jìn)行壓縮感知的兩個重要因素。如何找到信號最佳的稀疏域，是壓縮感知理論應(yīng)用的基礎(chǔ)和前提。同一信號在不同的稀疏變換域下，表達(dá)信號的稀疏程度和能量集中的程度會有所不同，經(jīng)壓縮感知變換后重構(gòu)信號的精度也會有很大差異。目前常用的稀疏變換域有FFT，離散余弦變換，離散小波變換，Curvelets, Gabor，冗余字典以及Karhunen-Loeve變換(KLT)[13,15]等。

無論這些稀疏化變換基如何，其原理都是對信號進(jìn)行某種變換，使信號在變換域上有部分值較大，而其余值為0或接近于0。根據(jù)這個原理，考慮語音信號處理中常用的LPC分析，對于信號x=，可以用過去的p個樣點(diǎn)值來預(yù)測現(xiàn)在或未來的樣點(diǎn)值

則

由此可以通過在某種準(zhǔn)則下使預(yù)測誤差 =[r(1),R最小的方法來得到唯一一組線性預(yù)測系數(shù)。利用線性預(yù)測系數(shù)可構(gòu)成一個N×N矩陣A：

由于預(yù)測誤差R是在某種最佳準(zhǔn)則下得到的最小值，因此其值多數(shù)是接近于0的，這與稀疏變換的定義相一致。如果將預(yù)測誤差R看作稀疏變換的結(jié)果，那么矩陣A就可以看作是一種稀疏變換域。本文將采用矩陣A作為稀疏變換的方法簡稱為LPC方法。

4 基于差分變換的稀疏變換

對于連續(xù)信號來說，相鄰樣點(diǎn)之間相關(guān)性較好。因此，如果采用差分矩陣，對信號相鄰的兩個樣點(diǎn)進(jìn)行相減運(yùn)算，就會得到包含很多近似零值的稀疏信號。一階差分矩陣為

任意信號與一階差分矩陣相乘，可得到相鄰兩個樣點(diǎn)值的差。LPC分析得到的預(yù)測誤差R本身可以看作是經(jīng)過稀疏變換的結(jié)果，如果再與差分矩陣相乘，則可使預(yù)測誤差相鄰樣點(diǎn)兩兩相減，由此得到更多的近似零值，這樣在LPC基礎(chǔ)上將得到另外一種稀疏變換基，即

為了方便，這里將稀疏變換基?1=CA Y稱為聯(lián)合變換矩陣，這種稀疏化變換方法稱為聯(lián)合變換法。為了說明LPC法和聯(lián)合變換法的性能，本文將會對基于FFT法，LPC法和聯(lián)合變換法3種稀疏變換方法的信號重構(gòu)性能進(jìn)行比較和分析。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)語音為男聲“把悠遠(yuǎn)而短暫的人生”，16 kHz采樣率，研究其中幀長為100樣點(diǎn)的濁音幀，如圖1所示。

可以看出，圖 1(a)所示的濁音信號，在分別經(jīng)過FFT, LPC以及聯(lián)合變換基的稀疏變換后，在變換域都呈現(xiàn)出了稀疏性，滿足采用壓縮感知算法的條件。從變換域來看，聯(lián)合變換法的近似零點(diǎn)較多，稀疏域較好，在理論上應(yīng)該重構(gòu)效果最好。為了更好地比較這幾種稀疏變換域的性能，本文將采用OMP算法對語音信號進(jìn)行重構(gòu)，其中稀疏矩陣分別采用FFT, LPC及聯(lián)合變換矩陣，測量矩陣均采用高斯隨機(jī)矩陣。

圖2～圖4分別是利用FFT變換，LPC變換和聯(lián)合變換對圖 1(a)信號進(jìn)行的壓縮重構(gòu)。其中。可以看出，用FFT法對信號進(jìn)行稀疏化變換，得到的重構(gòu)信號效果最差，這是由于語音信號的非周期性導(dǎo)致頻譜泄露而引起的。聯(lián)合變換法的重構(gòu)效果最好，幾乎可以完全重構(gòu)。這一結(jié)論與從變換域得到的結(jié)論相一致。

定義壓縮比b=M/N,x和分別表示原始信號和重構(gòu)信號，則重構(gòu)信號信噪比為

圖1 不同稀疏變換域的比較

圖2 FFT變換基重構(gòu)信號

圖3 LPC變換基重構(gòu)信號

圖4 聯(lián)合變換基重構(gòu)信號

圖5所示是在不同壓縮比時，分別采用 FFT,LPC和聯(lián)合變換3種稀疏化矩陣下重構(gòu)信號的信噪比。為了消除高斯隨機(jī)矩陣F產(chǎn)生的誤差，圖5所示曲線是對圖1(a)信號進(jìn)行100次重構(gòu)運(yùn)算得到的平均信噪比。從圖中可以看出，無論壓縮比大小如何，LPC法和聯(lián)合變換法得到的重構(gòu)信號，其性能都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于FFT法得到的重構(gòu)信號性能。在壓縮比小于0.4時，LPC法略優(yōu)于聯(lián)合變換法，而壓縮比較大時，聯(lián)合變換法的重構(gòu)性能則比LPC法有了明顯的提高。

圖5 3種變換基在不同壓縮比時的SNR

圖6(a)為男聲“把悠遠(yuǎn)而短暫的人生”中的一段語音，16 kHz采樣率，幀長100點(diǎn)，幀數(shù)50幀，分別采用3種稀疏變換方法，計(jì)算50幀重構(gòu)語音的信噪比，壓縮比為0.5。同樣為了消除高斯隨機(jī)矩陣帶來的不確定性，圖6(b)所示的SNR為多次計(jì)算的平均信噪比。可以看出，聯(lián)合變換法的重構(gòu)信噪比最高，其次是LPC方法，F(xiàn)FT法最差。另外，圖6(a)所示語音包含一段靜音，比較圖6(a), 6(b)可以發(fā)現(xiàn)，無論采用哪種稀疏化方法，濁音段的重構(gòu)信噪比都比較高，靜音段的信噪比則較低。而實(shí)際上，這里得到的結(jié)論同樣適用于女聲以及清音信號。

圖7(a)為16 kHz采樣的女聲“運(yùn)輸壓力加大”中的一段語音，同樣取50幀，幀長100點(diǎn)，其中包括部分清音。圖7(b)是這段語音在不同變換下的重構(gòu)信噪比，壓縮比為0.6，圖中SNR也是多次計(jì)算得到的平均信噪比。從圖7(b)可以得到與圖6(b)相同的結(jié)論，即聯(lián)合變換的重構(gòu)性能最好。另外，在清音段，3種方法的重構(gòu)性能接近，重構(gòu)信噪比都比較低。

無論采用哪種方法，由于在壓縮比較小時信號的重構(gòu)信噪比總體較低，重構(gòu)語音的音質(zhì)較差，因此在分析時一般選擇壓縮比在 0.4以上。從以上的分析可以看出，在壓縮比大于 0.4時，聯(lián)合變換的方法是一種非常有效的信號稀疏化變換方法。語音信號通過聯(lián)合變換的方法進(jìn)行稀疏化變換，會得到較高的重構(gòu)信噪比。而從圖6(b)和圖7(b)可以看出，采用聯(lián)合變換的方法，濁音段的重構(gòu)信噪比一般都在20 dB以上，即可以很好地重構(gòu)濁音信號。

圖6 男聲語音及其重構(gòu)信噪比

圖7 女聲語音及其重構(gòu)信噪比

與濁音相比，清音段的重構(gòu)性能則差得多。從圖6(b)和圖7(b)可以看出，對于清音部分，聯(lián)合變換法的重構(gòu)性能與LPC法相當(dāng)，比FFT法略好。這是由于壓縮感知的前提條件是信號具有稀疏性，濁音信號的相關(guān)性較強(qiáng)，說明濁音的可壓縮性較好，即稀疏性較好。而清音信號的相關(guān)性則差得多，因而稀疏性也較差。因此，無論采用哪種稀疏化方法，都很難對清音信號進(jìn)行良好的稀疏化變換，這是清音信號重構(gòu)信噪比都比較低的主要原因。

在CASIA標(biāo)準(zhǔn)漢語語音庫中隨機(jī)選取30段語音，其采樣頻率為16 kHz，每段語音以幀長為100樣點(diǎn)分幀，分別采用3種方法對語音進(jìn)行稀疏化變換并重構(gòu)，壓縮比為0.5。首先計(jì)算每段語音各幀的重構(gòu)信噪比，然后再計(jì)算這段語音所有幀的平均重構(gòu)信噪比，如圖8所示。可以看出，聯(lián)合變換法的語音重構(gòu)質(zhì)量最好，而FFT法則最差。

圖8 30段語音的平均重構(gòu)信噪比

采用3種不同的稀疏變換方法，對16 kHz采樣的女聲“She turned in his hotel”進(jìn)行分析。壓縮比分別取0.4～0.9，采用PESQ語音質(zhì)量測評方法對重構(gòu)語音進(jìn)行MOS對比，如表1所示。從表1可以看出，在壓縮比為0.4時，LPC法的MOS值最高，但此時整體的 MOS值都比較低，重構(gòu)語音的語音質(zhì)量較差。在壓縮比大于 0.4時，聯(lián)合法重構(gòu)語音的 MOS值都比另外兩種方法高，尤其在壓縮比為0.7以上時，重構(gòu)語音的MOS值較高，這也說明，雖然采用聯(lián)合變換法沒有明顯提高重構(gòu)清音的信噪比，但是對整段語音的重構(gòu)效果影響不大，重構(gòu)語音的 MOS值較高，其可懂度、清晰度和自然度也較好。

表1 不同壓縮比時重構(gòu)語音的MOS值

6 結(jié)論

本文根據(jù)語音信號LPC分析得到的殘差，提出了一種將 LPC分析和差分變換相結(jié)合的語音信號稀疏化變換方法。分別采用常用的FFT變換，LPC變換和聯(lián)合變換作為語音信號的稀疏變換矩陣，高斯隨機(jī)矩陣作為測量矩陣，以 OMP算法重構(gòu)語音信號，對語音信號的重構(gòu)性能進(jìn)行了對比分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在壓縮比大于 0.4時，以聯(lián)合變換的方法對語音信號進(jìn)行稀疏變換，信號的重構(gòu)性能最優(yōu)。非周期的語音信號在FFT變換域有頻譜泄露，影響了其重構(gòu)性能。LPC分析法的信號重構(gòu)性能比聯(lián)合變換的方法略差，主要因?yàn)槠湎∈枳儞Q域的信號稀疏性相對較差。這也說明在信號重構(gòu)性能相同時，聯(lián)合變換法的信號壓縮比最小。采用PESQ語音質(zhì)量測評方法對采用3種方法重構(gòu)的語音信號進(jìn)行MOS對比，在壓縮比大于0.4時，聯(lián)合變換法的MOS值最高。這說明對于語音信號而言，基于LPC分析和差分變換的方法是一種很好的稀疏化變換方法，它能夠顯著提高重構(gòu)語音信號的信噪比，如果將其應(yīng)用于語音編碼中，則具有非常重要的理論探索意義。

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