長春和新鄉雨衰時間序列的馬爾科夫鏈模擬

李 磊 楊瑞科 趙振維

(1．西安電子科技大學理學院，陜西 西安 710071；2．中國電波傳播研究所 電波環境特性及模化技術重點實驗室，山東 青島 266107)

引 言

隨著衛星通信的發展及終端用戶業務需求量的加大，通信容量不斷提高，低頻段變得越來越擁擠，因此，具有較大帶寬和較高頻譜的Ku(14/12 GHz)及以上波段的衛星通信系統越來越受到人們的重視。然而Ku以上波段的通信易受降雨影響，在強降雨時，可使鏈路中斷。要保證信息傳輸的有效性，僅靠傳統的加大鏈路余量的方法是遠遠不夠的，因此需要采用自適應衰落削減技術(FMTs)來對抗這些傳播損失[1]。為了使FMTs更好的應用于實際衛星通信鏈路，需清楚了解此波段的雨衰時間特性。采用傳播實驗來分析雨衰減的動態特性難以實現、成本較高，且只能適用于某特定鏈路，局限性較大。通過計算機模擬雨衰減時間序列成本低、易實現，且能根據衛星通信系統的頻段來模擬相應的雨衰時間序列，可操作性高。

80年代初，Maseng和Bakken基于一階馬爾科夫理論提出了一種模擬雨衰減特性的模型(M-B模型)[2]。90年代末，法國航空航天和國立太空科學研究中心(ONERA CNES)對M-B模型進行了改進，提出了一種可按要求產生降雨事件的模型(E-M-B模型)[3]。2001年歐洲合作科技研究聯盟(COST)在報告COST 280中將上述時間序列發生器模型用在毫米波無線電系統的傳播損耗削減方案中[4]。在國內，關于雨衰靜態特性的研究較多[5-7]，目前，趙振維[8]等人基于雨胞分布提出了一種雨衰減預報模型，楊瑞科[9]等利用E-M-B模型對我國典型地區的雨衰減時間序列進行了仿真研究，對我國雨衰動態特性的研究和發展具有重要的實際意義。

N階馬爾科夫鏈模型是利用馬爾科夫理論建立的一種模擬雨衰時間序列的模型，可按照給定的持續時間和最大衰落深度來產生滿足要求的降雨事件[10]，此模型基于國際電信聯盟無線電通信研究組(ITU-R)推薦的Van de Kamp衰落斜率模型，可應用于世界大多數地區[11]。利用N階馬爾科夫鏈模型模擬了長春和新鄉地區的降雨衰減時間序列，對其概率分布進行了統計分析，并與ITU-R提供的這兩個雨區時間百分概率進行了比較研究。

1. N階馬爾科夫鏈微觀模型

1.1 轉移矩陣的定義

(1)

(2)

式中：pij表示從衰減值Ai至Aj的概率，矩陣模型實例如圖1所示[12]。

圖1 N階馬爾科夫鏈模型的穩態和 轉移概率示意圖

圖2 N階衰減事件示意圖

1.2 狀態轉移矩陣參數

1) 衰落斜率

衰落斜率是指衰落隨時間變化的速率，其概率分布取決于氣候參數、雨滴大小分布。衰落斜率的預測分布由衰減電平A(t)和時間間隔長度Δt以及能夠從信號中濾除對流層閃爍和雨衰快速變化的低通濾波器的3 dB截止頻率決定。該模型經濾波后在某一時間點上的衰落斜率ζ定義為[11]

(4)

2) 衰落斜率條件概率密度函數(CPDF)

衰落斜率的條件概率密度P(ζ|A)可由Van de Kamp衰落斜率模型計算得出。可應用于仰角為8～52°，頻率為10～30 GHz的衛星通信鏈路中[11]，其表達式為

(5)

σζ表示某一特定衰減電平時的條件衰落斜率的標準偏差，

σζ=sF(fB,Δt)AdB/s

(6)

當仰角在10°和50°之間時，s在歐、美洲的平均值為0.01，模擬中同樣采用0.01；F為低通濾波器和采樣時間的函數，

(7)

式中:b=2.3，低通濾波器3 dB截止頻率實驗結果表明當fB=0.02 Hz時，能夠充分的濾除對流層閃爍和雨衰的快速變化。

圖3給出了利用Van de Kamp衰落斜率模型計算出的四個不同衰減值的衰落斜率的條件概率。從而可得出N階馬爾科夫鏈模型的轉移概率[13]，其示意圖如圖4所示。

圖3 不同衰減值衰落斜率的條件概率密度

圖4 狀態轉移概率

3) 狀態轉移矩陣參數

要計算式(2)所示的狀態轉移矩陣，需先計算由當前狀態轉移Ai到下一個狀態Aj的概率pij，如圖4，ζk=(Ai+1-Ai)/2，pi,i+k表示P(ζk=(Ai+k-Ai)/2|Ai)的值，其中j=i±k.因此，能夠描述雨衰改變速率的衰落斜率，ζ(dB/s)，可以用來填充這個狀態轉移矩陣[10]。兩個狀態衰減值之間的轉換滿足下列規則：當|ζ·δt|

(8)

式中kmax=ζmax·δt/da取整數。

1.3 雨衰序列的模擬及與實測序列比較

圖5和圖7分別為利用頻率為12.5 GHz信標測量的長春2010年7月27日晚和新鄉2010年8月10日凌晨的兩場降雨的雨衰時間序列。測得此序列的最大衰落深度分別為：0.40～14.3 dB，0.30～12.95 dB，衰減間隔da=0.01 dB，時間采樣周期1 s.根據其實測衰落深度和持續時間，利用式(8)求出N階馬爾科夫鏈模型在各狀態的轉移概率，隨后利用N階馬爾科夫鏈模型分別模擬了兩場降雨的衰減時間序列，如圖6和圖8所示。

圖5 長春實測降雨衰減時間序列

圖6 長春模擬降雨衰減時間序列

圖7 新鄉實測降雨衰減時間序列

圖8 新鄉模擬降雨衰減時間序列

從圖5～圖8可以看出，N階馬爾科夫鏈模型可按照給定的衰落持續時間和最大衰落深度模擬出相應的與實測雨衰序列相似的時間序列。

2. N階馬爾科夫鏈模型的驗證

2.1 N階馬爾科夫鏈的性質

無論初始衰減值為多少，只要時間足夠長，N階馬爾科夫鏈的每一個狀態衰減值的概率分布都可以在時間序列中體現出來。根據馬爾科夫鏈的遍歷性[14]，對于固定的狀態j，不管鏈在某一時刻從什么狀態出發，通過長時間的轉移，到達狀態i的概率都趨近于一個固定值πi，因此，

(9)

構成一分布律，稱為N階馬爾科夫鏈的極限分布，其矩陣表達式為

(10)

(11)

2.2 N階馬爾科夫鏈模型的驗證

1) 實測和模擬雨衰時間序列的比較

圖9 長春實測與模擬比較

圖10 新鄉實測與模擬比較

2) ITU-R和模擬雨衰序列統計概率比較

為了驗證N階馬爾科夫鏈微觀模型的可用性，僅通過與單個實測雨衰序列的比較是遠遠不夠的，必須進行多個模擬樣本序列的統計分析。因此，根據ITU-R提供的長春和新鄉所在雨區及其年0.01%概率降雨率(如表1)，利用N階馬爾科夫鏈模型分別模擬了50組雨衰時間序列，統計其概率分布，并與ITU-R提供的衛星軌道位置為92°E、頻率為12.5 GHz在線極化情況下的雨衰概率分布進行了比較，如圖11和圖12所示。

表1 長春和新鄉所在雨區及0.01%概率降雨率

圖11和12的比較結果表明：當降雨衰減較小時，利用N階馬爾科夫鏈模型模擬的雨衰時間序列的概率分布與ITU-R提供的降雨時間百分概率分布一致性很好，當發生小概率降雨事件時，兩者會出現一定偏差。由于在大部分時間百分概率下，兩者比較一致，從而進一步驗證了N階馬爾科夫鏈微觀模型在我國的可用性。

圖11 長春模擬和ITU-R衰減時間概率比較

圖12 新鄉模擬和ITU-R衰減時間概率比較

3. 結果和結論

基于馬爾科夫理論建立的N階馬爾科夫鏈模型，模擬了長春和新鄉地區的雨衰時間序列并分別與兩個地區的實測雨衰序列進行了比較，結果表明，此模型可以模擬出與實測雨衰時間序列相似性較好的序列。

為了驗證此模型的可用性，統計比較了長春和新鄉地區單個模擬和實測序列的概率分布以及轉移矩陣的穩態概率分布。隨后進一步的對這兩個地區50組模擬雨衰時間序列的概率分布進行了統計分析，并與ITU-R提供的衛星位置為92°E、頻率12.5 GHz線極化情況下這兩個地區的不同降雨衰減值下的時間百分概率進行了比較。結果表明：在大多時間概率下，模擬序列的概率分布與實測或ITU-R給出的概率分布基本吻合，只有當小概率事件時，由于實測和模擬數據較少，會出現一定偏差，從而表明該模型在我國的可用性。

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