快速時域有限差分方法計算矩形缺陷接地結構

引 言

矩形缺陷接地結構（RDGS），是一種新穎的微波電路結構，最初是從光子帶隙結構和電磁帶隙結構演變而來，通過在金屬接地平面上蝕刻出一些形狀的柵格“缺陷”，從而讓接地電流的分布發生變化，使得某些頻段的電磁波無法從其中通過，形成明顯的阻帶特性。自RDGS提出以來，各種不同柵格“缺陷”形式的結構不斷被提出和發展，并得到深入的研究。RDGS具有結構尺寸小、插入損耗小、性能優良、易于加工等優點，可以廣泛應用在微波集成電路中，以進一步減小微波電路尺寸，改善微波電路性能，制作寬帶濾波器、抑制天線旁瓣、改善效率等方面，在微波集成電路和天線領域有著巨大的應用前景［1－8］。自RDGS提出以來，針對 RDGS的分析和計算方法也得到了不斷的發展。從最初的等效電路模型方法，到后來的頻域方法，再到現在普遍采用的時域方法。針對各種具體問題，這些方法都有各自的優勢，同時也都有各自的不足。等效電路模型方法以形象直觀和模型清晰而受重視，對于簡單電路結構，計算精度較好，但對于復雜電路結構，其提取相關電路參數十分困難，導致計算精度較低，這致使其適用范圍大大受限［5－6］。頻域方法，例如頻域有限元法（FEM），該類方法從理論到實施都已經非常成熟，其四面體的剖分格式即使對復雜形狀的結構，依然能非常準確地逼近，且計算精度較高，該類方法使用非常廣泛，是一類非常重要的方法［7－8］。對于單一頻率問題，采用頻域方法進行處理是精確且合適的。但對于寬頻帶電磁問題，頻域方法就顯得十分笨拙。時域方法，例如時域有限差分（FDTD）法，該類方法對電磁問題在時域進行直接計算以獲得豐富的時域信息，然后經過簡單的時域頻域變換，就可以得到寬頻范圍的頻域信息［9－10］。雖然時域FEM 也在不斷發展，但在時域FEM的實施過程中，在每一時間步都需要求解大型方程組，導致計算的時間復雜度和空間復雜度較高［11］。RDGS由于其本身的矩形結構特點和寬頻的工作特性，如采用等效電路模型方法。則提取電路參數會十分困難；如采用頻域FEM，則需要重復計算很多的頻率點。考慮到RDGS的幾何特征，采用FDTD對RDGS的寬頻帶特性進行計算較為方便精確。

Courant－Friedrich－Levy（CFL）穩定條件會限制傳統FDTD時間步長的取值，為了保證解的穩定性，時間步長的取值受限于空間離散網格。同時為了保證計算精度，空間離散網格必須遠小于工作波長。在處理精細結構和進行精確計算時，這兩個因素會導致傳統FDTD計算總時間猛增，有時甚至超出當前的硬件條件而不可實現。為了克服傳統FDTD的這個不足，一些無條件穩定的FDTD被提出和發展，例如交替方向隱格式FDTD（ADIFDTD）和Crank－Nicolson格式FDTD（CN－FDTD）等［12－13］。這些無條件穩定的FDTD能擺脫CFL穩定條件的限制，這樣就可以通過增加時間步長，提高計算效率。采用無條件穩定的CN－FDTD和ADIFDTD對RDGS傳輸系數進行精確計算，深入討論了CN－FDTD時間步長對計算效率和計算精度的影響，并將CN－FDTD和ADI－FDTD的計算效率和計算精度進行了比較。

1 CN－FDTD在RDGS中的實施和計算誤差

1.1 RDGS結構特征

RDGS的結構圖和結構參數如圖1和圖2所示，由于RDGS具有長方體的特征，微帶線和柵格“缺陷”也是矩形，完全匹配層（PML）吸收邊界條件的設置也具有長方體特征，如圖3所示。采用FDTD對具有長方體特征的RDGS進行寬頻計算是方便合理的。

1.2 傳統FDTD的Yee離散格式

傳統FDTD的Yee離散格式如圖4所示，在空間上，將電場分量和磁場分量進行錯至，每一個電場分量由周圍四個磁場分量環繞，同時每一個磁場分量由周圍四個電場分量環繞。而在時間上，將電場分量和磁場分量錯開，彼此之間相差半個時間步。這樣就可以基于相應的電磁問題邊界條件和初始值，依靠FDTD逐步推進去計算后各個時刻、計算空間的電磁場分布。

圖3 設置PML吸收邊界條件

采用傳統FDTD的Yee離散格式，對Maxwell微分方程進行離散，能夠得到三維離散形式，這里僅給出Ez分量的三維離散形式，如式（1）所示，以說明FDTD的計算過程，其他電磁分量的離散形式可以類似得到，參見文獻［10］。由式（1）可知，在每個網格點上各場分量的新值，只依賴于該點在前一時間步長時刻的值和該點周圍鄰近點上另一場分量早半個時間步長時刻的值。

圖4 傳統FDTD的Yee離散格式

1.3 CN－FDTD在RDGS中的實施

傳統FDTD采用古典顯格式差分求解Maxwell微分方程，其時間步長的選擇取決于空間離散網格的大小，而為了保證計算精度，空間最大離散網格又必須遠遠小于工作波長。因此，為了保證計算精度和解的穩定性，空間最大離散網格和時間步長都必須取得很小，這將使傳統FDTD計算十分耗時。

CN－FDTD是一種無條件穩定的FDTD，通過理論分析可知，對CN－FDTD每一時間步長的增長因子ξ，總有≤1成立，詳細的理論分析可以參見文獻［12］。在CN－FDTD中，空間每個網格點上E分量和H分量的放置與傳統FDTD的Yee離散格式一樣。空間偏微分采用中心差分格式，離散Maxwell方程左邊的時間偏微分項仍舊采用中心差分格式，而方程右邊采用的是空間中心差分在n和n＋1時刻的平均值。將Maxwell方程進行離散，可得一組離散方程組，進而聯立離散后的方程組，整理可得一組關于E分量的線性方程組。這里僅給出一個線性方程組，如式（2）所示，以說明CNFDTD的計算過程，其他線性方程組可以類似得到，參見文獻［12］。通過求解該線性方程組可以求得E分量，進而求得H分量。

CN－FDTD需要求解一個大型稀疏矩陣方程組，對這類線性方程組的求解一般有兩類方法：一是直接法，如高斯消去法、LU分解法；二是迭代法，如共軛梯度法。直接法較迭代法數值性能穩定，效率較高，但所需內存大；迭代法數值性能不太穩定，效率較低。為了提高稀疏矩陣方程組的求解效率，可以使用預條件技術，如稀疏近似逆、對稱超松弛等，以使預條件后的矩陣方程適合于迭代算法的快速求解。對一些特殊問題，可以將直接法和迭代法二者結合以兼顧內存和效率。將高斯脈沖源引入到CN－FDTD計算中，采用共軛梯度法對稀疏矩陣方程組進行求解。

2 數值結果

2.1 不同時間步長CN－FDTD計算結果

5、圖6和圖7所示，作為對比，圖中也給出了傳統FDTD計算結果。由圖可知，當CN－FDTD時間步長取為2倍、6倍、10倍、14倍CFL時間步長時，CN－FDTD計算結果與傳統FDTD計算結果符合很好，平均相對誤差 ARE 分別為0.02%、0.22%、0.91%、2.12%；而當 CN－FDTD 時間步長取為18倍、22倍CFL時間步長時，CN－FDTD計算結果與傳統FDTD計算結果符合較差，平均相對誤差ARE分別達到4.11%、7.61%.這里ARE為平均相對誤差，其值等于CN－FDTD計算結果與傳統FDTD計算結果之差，再除以傳統FDTD計算結果所得百分比的絕對值，然后再取平均值。

采用CN－FDTD對圖示RDGS的傳輸系數進行計算，為了對比，文中也給出了傳統FDTD的計算結果。文獻［1］已經驗證了所采用FDTD計算程序的正確性和有效性。相關參數在FDTD計算中的取值：板長l1＝120mm，板寬l2＝30mm，微帶線寬w＝3mm，單元間距d＝20mm，柵格“缺陷”的長度a＝7mm，柵格“缺陷”的寬度b＝7mm，介質材料的相對介電常數εr＝2.65，板厚為1mm，周期單元為5，空間離散網格分別為Δx＝0.25mm、Δy＝0.50mm、Δz＝0.25mm，離散網格為4×60×480.采用如圖4所示的PML吸收邊界條件，吸收層層數為15.傳統FDTD時間步長為CFL步長，即ΔtFDTD＝0.42ps，推進步數為18 000步，物理時間為7 560ps.CN－FDTD時間步長分別取為2倍、6倍、10倍、14倍、18倍、22倍CFL時間步長：2ΔtFDTD＝0.84ps、6ΔtFDTD＝2.52ps、10ΔtFDTD＝4.2ps、14ΔtFDTD＝5.88ps、18ΔtFDTD＝7.56ps、22ΔtFDTD＝9.24ps，物理時間設置相同。

不同時間步長CN－FDTD計算結果分別如圖

圖7 CN－FDTD和傳統FDTD計算結果

2.2 CN－FDTD時間步長與計算效率

用CFLN表示CN－FDTD時間步長與CFL時間步長的比值；用TSR表示時間節省率，其值等于傳統FDTD計算時間和CN－FDTD計算時間之差，除以傳統FDTD計算時間所得的百分比。

圖8給出了CN－FDTD時間步長與時間節省率的關系。當CN－FDTD時間步長取為2倍、6倍、10倍、14倍、18倍、22倍CFL時間步長時，時間節省率 TSR 分 別 為 9.1%、37.2%、62.8%、77.2%、82.8%、86.5%.由圖8可知，隨著 CN－FDTD時間步長的增大，時間節省率越大，即CN－FDTD時間步長越大，計算效率越高。

圖8 CN－FDTD時間步長與時間節省率

2.3 CN－FDTD時間步長與計算精度

如前所述，用ARE表示平均相對誤差。圖9給出了CN－FDTD時間步長與平均相對誤差的關系。

由圖可知，隨著CN－FDTD時間步長的增大，平均相對誤差越大，即CN－FDTD時間步長越大，計算精度越低。在實際CN－FDTD計算中，考慮到計算效率和計算精度兩方面的因素，應該根據實際的工程需要，合理選擇CN－FDTD時間步長，以盡量兼顧計算效率和計算精度。基于計算結果可知，在采用CN－FDTD對這類結構的傳輸系數進行計算時，取10～14倍CFL時間步長，可以同時獲得較高的計算效率和計算精度。

圖9 CN－FDTD時間步長與平均相對誤差

2.4 CN－FDTD與ADI－FDTD計算誤差比較

如前所述，CN－FDTD和ADI－FDTD都是無條件穩定的FDTD，都可以通過增大時間步長，以提高效率。采用ADI－FDTD對同樣的問題進行了計算，將各種時間步長CN－FDTD和ADI－FDTD的計算誤差進行了比較，圖10給出了不同時間步長CN－FDTD與ADI－FDTD計算結果的平均相對誤差。由圖10可知，在相同時間步長下，CN－FDTD的計算誤差要遠小于ADI－FDTD。例如，當時間步長取6倍CFL時間步長時，ADI－FDTD的平均相對誤差為2.2%，而CN－FDTD的平均相對誤差僅為0.22%.CN－FDTD較 ADI－FDTD計算誤差要低的根本原因在于，Crank－Nicolson格式具有較高的精度，且ADI－FDTD還存在時間步的分裂誤差。

圖10 CN－FDTD與ADI－FDTD的平均相對誤差

3 結 論

將CN－FDTD應用于RDGS傳輸系數的計算，基于計算結果，可以得出如下結論：

1）CN－FDTD時間步長可以取遠大于CFL時間步長，以獲得高計算效率，同時計算精度依然較高。例如當CN－FDTD時間步長取14倍CFL時間步長時，時間節省率達到77.2%，而平均相對誤差僅為2.12%.

2）另一方面，隨著CN－FDTD時間步長的加大，計算精度會降低。例如當CN－FDTD時間步長取6倍CFL時間步長時，平均相對誤差為0.22%；而當CN－FDTD時間步長取22倍CFL時間步長時，平均相對誤差達7.61%.

3）為了盡量兼顧計算效率和計算精度，在實際工程計算中，應該合理選擇CN－FDTD時間步長。基于對RDGS傳輸系數的計算，取10～14倍CFL時間步長是合適的。

4）在CN－FDTD和ADI－FDTD時間步長取值相同的情況下，CN－FDTD的計算誤差要遠小于ADI－FDTD.

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